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1、一一 理解理解质点对固定点的角动量、质点对固定点的角动量、力力 矩的概念。矩的概念。二二 理解理解角动量守恒定律及适应条件，角动量守恒定律及适应条件， 并能用该定律分析计算有关的问题。并能用该定律分析计算有关的问题。 在自然界中经常会遇到质点围绕着一定的中心在自然界中经常会遇到质点围绕着一定的中心运转的情况。例如，行星绕太阳的公转，人造卫星运转的情况。例如，行星绕太阳的公转，人造卫星绕地球转动，电子绕原子核转动以及刚体的转动等绕地球转动，电子绕原子核转动以及刚体的转动等等。等。 在这些问题中，动量定理及其守恒定律未必适在这些问题中，动量定理及其守恒定律未必适用，这时若采用用，这时若采用角动量角
2、动量概念讨论问题就比较方便。概念讨论问题就比较方便。角动量与动量一样，是一个重要概念。角动量与动量一样，是一个重要概念。5.1 5.1 质点的角动量定理质点的角动量定理一、质点的角动量一、质点的角动量(Angular momentum of particl ) 对于作匀速直线运动的质点对于作匀速直线运动的质点，既可以用动量也，既可以用动量也可用角动量的概念进行描述。可用角动量的概念进行描述。 设质点沿设质点沿 AB 作匀速直线运作匀速直线运动，在相等的时间间隔动，在相等的时间间隔t 内，走内，走过的距离过的距离 S = vt 都相等。都相等。由于各三角形具有公共高线由于各三角形具有公共高线 O
3、H ， 选择选择O 为原点，从为原点，从O 到质点到质点处引位矢处引位矢 。 在单位时间内扫在单位时间内扫过的面积，称为过的面积，称为掠面速度掠面速度。rr 引例因此掠面速度相等因此掠面速度相等: :常常量量12v t OHdSdtt sin12vr 212r 式中式中 sinvr 相当于质点绕相当于质点绕O点转动的角速度点转动的角速度。由上式可得：由上式可得：sinmvr 常常量量写成矢量式：写成矢量式：rprmv常常量量因此角动量保持守恒。因此角动量保持守恒。 再来看有心力场的简单情形再来看有心力场的简单情形。质点在向心力的作用下作匀速圆周运动质点在向心力的作用下作匀速圆周运动此时动量此时
4、动量pmv因速度的方向一直在改变而不守恒，因速度的方向一直在改变而不守恒，但质点的位矢与动量的矢量积但质点的位矢与动量的矢量积rmv是一个常矢量是一个常矢量方向始终垂直于纸面向外。方向始终垂直于纸面向外。就是质点的角动量，就是质点的角动量，rmv它的大小为它的大小为 ，mvr显然，位矢显然，位矢 的掠面速度的掠面速度vr / 2在圆周上各点相等。在圆周上各点相等。 r 但在两种情况下，相对于某点但在两种情况下，相对于某点 O O的位矢的的位矢的掠面速度都相等，都相应存在一个守恒量，这就是掠面速度都相等，都相应存在一个守恒量，这就是角动量。因此我们引入角动量。因此我们引入角动量角动量的概念。的概
5、念。 我们已经看到，角动量概念与线动量类似，我们已经看到，角动量概念与线动量类似，但它是描述质点绕某一固定参照点的转动状态的物但它是描述质点绕某一固定参照点的转动状态的物理量。理量。也有时称其为也有时称其为动量矩动量矩。0角动量角动量Lrmv ( (矢量矢量) )Lmvr 的大小为的大小为：LsinLrmv 为为 和和 的夹角的夹角，rmv 的方向为的方向为 和和 的右旋。的右旋。Lrmv定义：定义：关于角动量关于角动量角动量与位矢有关，角动量与位矢有关， 谈到角动量时必须指明是对哪一参照点而言。谈到角动量时必须指明是对哪一参照点而言。当质点作圆周运动时，当质点作圆周运动时，= = / 2/
6、2角动量大小为：角动量大小为：00 xyijkLrpxypp当质点作一般平面运动时，当质点作一般平面运动时，角动量为：角动量为：Lmvr2mr ()yxxpypk讨论讨论在直角坐标系中，角动量在各坐标轴的分量为：在直角坐标系中，角动量在各坐标轴的分量为：角动量的单位为角动量的单位为: kg m2/sxyzijkLrpxyzppp()zyxLxpyp()yxzLzpxp()xzyLypzp二、质点系对固定点的角动量二、质点系对固定点的角动量质点系的角动量是各个质点对同一固定参质点系的角动量是各个质点对同一固定参照点的角动量的矢量和。照点的角动量的矢量和。iiLL三、角动量定理三、角动量定理类比质
7、点的动量定理类比质点的动量定理Fdvmdtdpdmvdtdt考查质点角动量考查质点角动量的变化率的变化率：LrmvdLdrmvdtdt（）()d mvdrrmvdtdtrFvmvdLMdt于是有于是有引起转动状态改变的原引起转动状态改变的原因是由于力矩的作用因是由于力矩的作用可见可见: :rF令令rFM力矩力矩对此式分离变量积分对此式分离变量积分 在应用角动量定理时，一定要注意等式两边的在应用角动量定理时，一定要注意等式两边的力矩力矩和角动量必须都是对同一固定点。和角动量必须都是对同一固定点。比较比较dLMdt角动量定理的微分形式角动量定理的微分形式dpFdt00ttMdtLL00ttFdtp
8、p与动量定理在形式、结构上一致。与动量定理在形式、结构上一致。角动量定理的积分形式角动量定理的积分形式四、力矩四、力矩0MrFsinMrF 其中其中为为 和和 的夹角的夹角rFMrF rFsinMrF rFsinMFr r F 力对某一固定点力对某一固定点的力矩的大小等于此的力矩的大小等于此力和力臂的乘积。力和力臂的乘积。F r 有心力对力心的力矩为零。有心力对力心的力矩为零。在直角坐标系中，力矩在各坐标轴的分量为：在直角坐标系中，力矩在各坐标轴的分量为：力矩的单位为力矩的单位为： Nm关于力矩关于力矩上式也称为力对轴的力矩。上式也称为力对轴的力矩。始终指向某一固定点的力叫有心力，该固定点为力
9、心。始终指向某一固定点的力叫有心力，该固定点为力心。xyzijkMrFxyzFFFxzyyxzzyxMyFzFMzFxFMxFyF讨论讨论五、角动量守恒定律五、角动量守恒定律则有：则有： 若质点或质点系所受外力对某固定参照点的矩若质点或质点系所受外力对某固定参照点的矩的矢量和为零，则质点对的矢量和为零，则质点对该固定点的角动量守恒。该固定点的角动量守恒。角动量守恒定律角动量守恒定律例如：质点在有心力作用下角动量守恒。例如：质点在有心力作用下角动量守恒。由：由：dLMdt若若 0ML常常矢矢量量law of conservetion of Angular momentumolmRc角角动动量量是
10、是否否守守恒恒？参参考考点点的的恒恒？对对参参考考点点的的角角动动量量是是否否守守对对运运动动时时，的的圆圆锥锥摆摆摆摆球球，以以速速率率例例题题：质质量量为为COm解：解：摆球受力如图摆球受力如图mgT 为为参参考考点点以以O1gmRM RmgM TRM RTM 090sinRT cos Rmg 逆时针逆时针顺时针顺时针重力矩重力矩张力矩张力矩量量守守恒恒。点点的的合合力力矩矩为为零零，角角动动对对O 为为参参考考点点以以C2gmlM 重重力力矩矩：张力矩张力矩lmgMsin 0 TlM :夹角夹角角角动动量量不不守守恒恒。点点的的合合外外力力矩矩不不为为零零，对对C例题例题 一颗地球卫星，
11、近地点一颗地球卫星，近地点181km，速率，速率8.0km/s，远地点，远地点327km，求该点的卫星速率。，求该点的卫星速率。解：解：角动量守恒角动量守恒近地点近地点11vr远地点远地点22vr则则2 21 1mv rmv r7.83km/s1212rvvr6370 1818.06370327且且行星对椭圆轨道的另一焦点角动量是否守恒？行星对椭圆轨道的另一焦点角动量是否守恒？1r1v2r2vo用绳系一小球使它在光滑的水平面上做匀速用绳系一小球使它在光滑的水平面上做匀速率圆周运动，其半径为率圆周运动，其半径为 r0 ，角速度为，角速度为0 。现通过圆心处的小孔缓慢地往下拉绳使半径现通过圆心处的
12、小孔缓慢地往下拉绳使半径逐渐减小。逐渐减小。(1)求当半径缩为求当半径缩为 r 时的角速度。时的角速度。(2)这一过程中绳子对木块的拉力所做的功。这一过程中绳子对木块的拉力所做的功。解：例题 ：mr0rov以小孔以小孔 o 为原点为原点绳对小球的拉力为有心力，绳对小球的拉力为有心力，则小球对则小球对o 点的角动量守恒。点的角动量守恒。其力矩为零。其力矩为零。初态初态末态末态角动量守恒角动量守恒所以所以或或20 000mv rmr 2mvrmr 2200mrmr2002rr00rvvr计算一下这个力的的功，可用动能定理计算一下这个力的的功，可用动能定理 0()2200112rmvr2201122
13、mvmv kWE()0rrFdrcos0o0rrFdr0rrWF dr024002rrrmdrr 02rrmrdr 0()2200112rmvr2222000212rrmrr 由此例可见，把质点从较远的距离移到较近由此例可见，把质点从较远的距离移到较近的距离过程中，若维持角动量守恒，必须对质点的距离过程中，若维持角动量守恒，必须对质点做功。做功。星系的形状可能与此有关。星系的形状可能与此有关。星系（银河系）的早期可能是具有动量矩的星系（银河系）的早期可能是具有动量矩的大质量气团，在引力作用下收缩。轴向的收缩不大质量气团，在引力作用下收缩。轴向的收缩不受什么阻碍，很快塌缩。径向却不那么容易，因受
14、什么阻碍，很快塌缩。径向却不那么容易，因而像银河系这样的星系呈扁平状。而像银河系这样的星系呈扁平状。银河系银河系银河系（模拟）银河系（模拟）5.2 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 质点的运动只代表物体的平动，物体实质点的运动只代表物体的平动，物体实际上是有形状、大小的，它可以平动、转动，际上是有形状、大小的，它可以平动、转动，甚至更复杂的运动。因此，对于机械运动的甚至更复杂的运动。因此，对于机械运动的研究，只限于质点的情况是不够的。研究，只限于质点的情况是不够的。 刚体刚体（rigid body）是一种特殊的质点系，是一种特殊的质点系，无论在多大外力作用下，系统内任意两质点无论在多大外力作用下，系统内任意两质点间的距离始终保持不变。即物体的形状、大间的距离始终保持不变。即物体的形状、大小都不变的固体称为刚体。小都不变的固体称为刚体。 刚体考虑了物体的形状和大小，但不考虑它刚体考虑了物体的形状和大小，但不考虑它的形变，刚体同质点一样，也是一个理想化模型。的形变，刚体同质点一样，也是一个理想化模型。
