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1、等式与不等式笔记首先，等式和不等式与方程和函数之间具有一定的联系，学好等式和不等式有利于对函数以及多元方程的学习；其次，初中阶段我们只是了解了不等式，但是对不等式的意义和性质并没有进行深层研究，这也是我们高中阶段的学习内容。等式的性质我们在初中阶段已经学习过了等式的基本性质:1）如果a=b,那么b=a；2）如果a=b, b=c,那么a=c；3）如果a=b，那么ac=bc;4）如果a=b,那么ac=bc；5）如果a=b,c0,那么ac=bc;这五个等式的基本特性表明了等式在运算过程中的相等关系传递，类似的我们也可以得出不等式的基本性质。不等式的性质不等式是用来表示不相等关系的，因此其意义和等式是
2、一样的，都是用来表示数量关系，等式是为了表示数量关系的相等，而不等式则是用来表示数量关系的不相等，而更确切，不相等是通过比较对数量的大小进行表述的。既然不等式与等式一样是用来表示数量关系的，那么两者之间的性质就会有类似之处，那么根据等式的性质，我们也就可以得到以下不等式的基本性质：1）如果ab,那么ba；如果bb;2）如果 ab, bc,那么ac；3）如果ab,那么a+cb+c；4）如果ab, c0,那么acbc；如果ab,c0,那么acb, cd,那么a+cb+d;6）如果abO,cdO,那么acbd;7）如果abO,那么anbn（nN.n22）；同学们可以利用数轴对不等式的性质进行理解和证
3、明，课本上也给出了对应的证明。不等式性质实例由于有的同学并不能理解数学语言的证明，我们尝试着通过生活化的例子去理解这些不等式的基本性质（不过大家在做题时还是要用规范的数学语言，这里只是帮助同学们对不等式的性质进行理解）：1）我们把a和b想象成一对亲姐弟，姐姐是a,弟弟是b,那么姐姐比弟弟大，也就意味着弟弟比姐姐小，反之亦然，这就是不等式的性质一；2）在上一个例子的基础上，我们把c想象成a和b刚刚出生的小妹妹，此时弟弟也是比小妹妹大的，姐姐又比弟弟还要大，那么姐姐也是比小妹妹大的；3）如果我们给了弟弟5颗糖果记为a,姐姐2颗糖果记为b,当我们再给姐弟两人分别1颗糖果c,弟弟的糖果为6颗（a+c）
4、,姐姐的糖果为3颗（b+c）,依然是弟弟的糖果多于姐姐的糖果；当我们收回姐弟两人分别1颗糖果c,弟弟的糖果为4颗（a+c）,姐姐的糖果为1颗（b+c）,依然是弟弟的糖果多于姐姐的糖果；4）还是姐弟两个人，姐姐一步的距离是1米a,弟弟一步的距离是0.5米b,假设两个人朝一个目标前进了2步c,姐姐向前了2米（ac）,弟弟向前了1米（be）,此时由于两人同时向前（c0）,姐姐朝向目标的行进距离是大于弟弟的；假设两个人朝一个目标后退了2步c,姐姐后退了2米（ac）,弟弟后退了1米（be）,此时由于两人同时退后（cdO）,姐姐朝向目标的行进距离是大于弟弟的；7）在上一个例子的基础上，使两人前进的步数与一
5、步的距离相等，那么C就成为了a,而d就成为了b,当一步的距离和步数进行多次累乘结果是不变的，也就是姐姐朝向目标的行进距离永远大于弟弟。知识点等式与不等式1.等式与不等式的性质等式文字语言符号语言的性等式的两边同时加上同一如果a=b,那么对任性质质个数或代数式，等式仍成意c,都有a+c=b+1立C性等式的两边同时乘以同一如果a=b,那么对任质个不为零的数或代数式，意不为零的c,都有2等式仍成立ac=bc不等别名性质内容注意式的性质性质1可加性如果ab,那么a+cb+c可逆性可乘性如果ab,cC的符号质20,那么acbc性质3可乘性如果ab,c0,那么acb,bc,那么ac同向性质5对称性abbc
6、,那么ac-b可逆推论2同向可加性如果ab,cd,那么acb+d同向推论同向同止司乘性如果ab0,cdO,那么同向同正3acbd推论4可乘方性如果abO,那么a的n次方b的n次方(nN,nl)同正推论5可开方性如果abO,那么a的算数平方根b的算数平方根同正2.等式与不等式的运用比较大小方法依据应用范围的方法作差法abO=ab;abb；abOa0,b0,则ablab;ab=l=a=b;ablab乘积式、指数式的大小比较a0,bl=aVb;ab=l=a=b;ablab乘方a的平方b的，且a无理数(式)的大法0,bO=ab小比较十字相乘对于二次三项式Ex2+Fx+G,如果能找到a,b,c,法d,使得E=ac,G=bd,且F=ad+bc,则Ex2+Fx+G=(ax+b)(cx+d)一元二次如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两根是方程根与xLx2,那么xl+x2=-ba,xlx2=ca系数的关系3.常用结论重要不a-2+b-222ab,当且仅当a=b时，等号成立等式基本不(a+b)2NJ(ab)(a0,b0),当且仅当a=b等式时，等号成立最值定理设X,y都是正数.(1)若x+y=S(和为定值)，则当x=y时，积Xy取得最大值；(2)若xy=P(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最小值.说明：应用均值不等式求最值的条件为“一正、二定、三相等”。
