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1、“玩转”中点弦的结论【摘要】按照解析几何在高考中的命题规律和趋势，我们会发现以下两点：(1)高考的大题定会考查解析几何，尤其是椭圆，抛物线.(2)考察的题型一般是直线与解析几何的位置关系，尤其是定点、定值问题.在解决解析几何图形与直线相切位置关系的题型的时候，如果大家用判别式、位置关系等通法解决此类问题时，会耗费大量时间不说，还不一定能保证结果正确.但巧用中点弦的结论，有些问题能做到在短时间内给出准确结果，体现出较大的优越性.【关键词】中点弦：切线：定斜率.解析几何是高考的大题必考查内容，主要考查直线、椭圆、抛物线间的位置关系，尤其是定点、定值问题经常考查.这类问题较灵活，运算量也偏大，常常让
2、孩子们很棘手.但这类问题规律性也较强，掌握了这些结论在解决相应问题时就体现了较大的优越性，下面我们通过一些典例来探讨这些结论及其变式应用.y?-b2yi-b2+xf-a2q一a2结论：过椭圆喧+会1内的点Pdyo)作一条直线m与椭圆相交于A,B两点，若P为直线m的中点，则直线m的斜率k满足关系式区k=一X。a证明(点差法)：设A(x,%),B(x2,y2)t,A,B在椭圆上，一，得3等*+gp=o,化简得.=_产产,即v-zx-xa2b2a2(x1+x2)(x-x2)=-,即也k=-Mar2x0Xoa“点差法”精髓在于“设而不求”，通过点差法得到的上面结论若能巧用在解析几何中,有时候会化腐朽为
3、神奇，取得较好的效果，下面将从三个典例来说明这一点.【例1】过椭圆C:：+：=1内的点P(T,1)作一条直线m,与椭圆相交于A,B两点，82若P为线段AB的中点，求直线In的方程.解(常规解法)：设直线PA的方程为y-1.=k(x+1.),A(xy1),B(x2,y2)y1=k(x+1)由X2y2-,消去y,得(1.+4k2)2+8k(k+1.)x+4k2+8k-4=0,u-=182XIX1.8k(k+1.)4k28k-4又=_i_8k(k+1.)_?可行工X1+X21+4kzx1.2+4k2.乂21,1.+4k2一/DJ伸K4直线m的方程为y-1.=x+1.）化简得x-4y+5=0若使用中点
4、弦的结论则可得:募k=T.=-k=：直线m的方程为y-1.=*x+1.)化简得-4y+5=O【例2】过椭圆C:?+?=1上的一点P(-2,1)作椭圆C的一条切线m,求切线m的方程.解(常规解法)：设切线m的方程为y-1.=k(x+2),(y-1=k(x+2)由+，消去y，得(1.+4k2)2+8k(2k+1.)x+16k2+16k-4=(82一直线与椭圆相切，=(8k(2k+I)2-4(14c2)(16k2+16k-4)=O即(64(2k+Dp-4(1+4c2)(16k2+16k4)=O展开得16c4+16k3+4k2-4k2-4k+1.-16k4-16Zc3+4/=0合并化简得(2k-I)2
5、=0,即k=，所以切线m的方程为y-1.=*x+2)化简得x-2y+4=0.分析：当P(xo,y。)(XOHo)点是椭圆内的任意一点时，中点弦的结论都成立当P点由椭圆内部运动到椭圆上时，原来中点弦上的A,B,P三点重合，此时的中点弦所在的直线就变成了椭圆在P点处的切线，此切线可以看成中点弦所在直线的一种极限情况，所以上述结论对于求椭圆上任一点P(x。，y。)(xo0)的切线斜率问题同样成立，所以仍然可以使用中点弦的结论来解此题.若使用中点弦的结论则可得：-k=-k=-k=直线m的方程为y-1.=(x+2)化简得X-Xqa-Z82z2y+4=0.常规解法，运算量很大，极其繁琐，极其容易出错，再加
6、上高考考试时间有限，这种类型的题目不少同学会主动选择放弃，但利用中点弦的结论，可以做到较短时间内出结果.【例3】已知椭圆C：+0=1.(abO)的离心率为容且过点P(2,1.)(I)求椭圆C的方程：(11)若人，B是椭圆C上的两个动点，且使tAPB的角平分线总垂直于X轴，试判断直线AB的斜率是否为定值？若是，求出该值：若不是，请说明理由.解(常规解法)：(I)因为椭圆C的离心率为鸟且过点P(2，D，所以捺+ -=1.， = 容因为 2a Ira 2a2=b2+c2,解得a2=8,b2=2,所以椭圆C的方程为三+e=1.82(II)设直线AB的方程为y=kx+b,点A(x,y),B(x2,y2)
7、,则y=kx1+b,y2=kx2+b，直线AP的斜率kpA=泞，直线BP的斜率kpB=泞.X1.ZX2一4因为乙APB的角平分线总垂直于X轴，所以PA与PB所在直线关于直线X=2对称，所以kpA=-kpB,即工=-/，化简得xj2+2Y-(X1+X2)-2(yi+y2)+4=0,把y=kx1+b,y2=kx2+b代入上式，并化简得2kX2+(b-1-2k)(x1+x2)4b+4=0.()y=kx+b兰+仁_,消去y得(4k2+1.)2+8kbx+4b?-8=0,(*)82则Xix2 =8kb_4b2-84k2 + X2 _ 4k2+1.代入(*)得端菖一8kb(b-1.-2k)-4k2+1-4
8、b+ 4 = 0,整理得(2k-1.)(b+2k-I)=0,所以k=T或b=1-2k.若b=1.-2k,可得方程(*)的一个根为2,不合题意.若k=时，合题意.所以直线AB的斜率为定值，该值为分析：记直线x=2与椭圆C的交点为点P(2,1.)和点Po(2,-1.),因为直线AB运动过程中其斜率不发生变化，所以当ZAPB趋近于O的时候，A,Po,B三点趋近于重合，取极限，则直线AB与椭圆C在点后(2,-1)处的切线重合，所以椭圆C在点将(2,-1)处的切线的斜率等于直线AB斜率(见【例3】图解)，所以仍然可以使用中点弦的结论来得到此定斜率的值.利用中点弦的结论可得-k=-k=-.k=-.X0a2
9、282上面常规解法对于一个成绩较好的学生都很难在10分钟内(调研过部分成绩较好学生)算出结果，运算量很大，且将一阻;8)_8kb鼠;2k)_4b+4=0分解为(2k_1.)(b+2k_1)=0,很少有学生可以分解出来，但利用中点弦的结论可以在短时间内得到准确的结论.以上只是中点弦的结论在椭圆中求切线斜率，对称动直线定斜率问题的应用，体现了较大的优越性，在双曲线，抛物线中有类似的结论.“玩转”中点弦的结论，在考试时用常规方法列关系式，用中点弦的结论给出结果，可以让同学们从繁琐的运算中解放出来，秒回答结果的成就感，会让同学们克服对部分类型的解析几何题目的恐惧心理，会让部分同学慢慢喜欢上解析几何.参考文献1龚漪静：用点差法巧解中点弦问题.江西教育学院报,2011-06-15.2郑美华：浅谈圆锥曲线中点弦问题.教育教学论坛,2014-12-24.3赵思林；李正泉：由椭圆中点弦问题引发的研究性学习.数学通报,2016-09-30.
