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1、热热 学学 Heat气体动理论气体动理论第第2章章2.1理想气体的压强理想气体的压强目目 录录 ：自学自学【演示演示】伽尔顿板伽尔顿板 速率分布速率分布 【演示演示】气体压强模拟气体压强模拟 2.2 温度的微观意义温度的微观意义2.3 能量均分定理能量均分定理2.4 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律2.5 麦克斯韦速率分布律的实验验证麦克斯韦速率分布律的实验验证2.6 玻耳兹曼分布玻耳兹曼分布 能量均分定理的证明能量均分定理的证明(补充补充)2.7 实际气体等温线实际气体等温线22.8 范德瓦耳斯方程范德瓦耳斯方程2.9 气体分子的平均自由程气体分子的平均自由程2.10 输运过程输运过程【
2、演示演示】空气粘滞空气粘滞（卧式转盘卧式转盘）32.1 理想气体的压强理想气体的压强一、理想气体的微观假设一、理想气体的微观假设（1）质点质点 ( (分子线度分子线度2）个原子组成的分子，一般最多有个原子组成的分子，一般最多有3n个自由度，其中个自由度，其中3个平动，个平动，3个转动，其余为个转动，其余为振动自由度振动自由度 ，例如，例如n=363 ns3633 skTkTkTsrt62323322 19l直线型分子直线型分子53 ns例如例如CO24533 sO=C=O对称伸缩对称伸缩O=C=O反对称伸缩反对称伸缩O=C=O面内变形面内变形O=C=O面外变形面外变形分子的平均能量：分子的平均
3、能量：kTkTkTsrt2132422322 20二二 、能量均分定理、能量均分定理 分子频繁碰撞，统计地看，能量在分子频繁碰撞，统计地看，能量在各个自由度上均分。各个自由度上均分。 在温度在温度 T 的平衡态下，物质的平衡态下，物质（气体、液体气体、液体和固体和固体）分子的每一个自由度的平均动能都分子的每一个自由度的平均动能都相等，而且都等于相等，而且都等于 。kT21物理解释物理解释：分子运动总平均能量：分子运动总平均能量：,2kTi srti2 转动？振动？转动？振动？2.6证明。证明。21振动能级间隔大振动能级间隔大转动能级间隔小转动能级间隔小平动能量连续平动能量连续eV101042
4、eV101020 常温（常温（T300K，能量，能量102eV）：）：振动能振动能级难跃迁，对能量变化不起作用。级难跃迁，对能量变化不起作用。 “冻结冻结”振动自由度，分子可视为振动自由度，分子可视为刚性。刚性。1 eV 热能相当温度热能相当温度 104 K22刚性分子刚性分子：常温，不计振动自由度常温，不计振动自由度 ）（）（）（）（直直线线型型多多原原子子非非直直线线型型多多原原子子双双原原子子单单原原子子kTkTkTkTkTrt25325232 晶格点阵上的离子晶格点阵上的离子：kTkTkTs323222 只有振动自由度只有振动自由度23 一个小球落在哪里一个小球落在哪里有偶然性；少量小
5、球有偶然性；少量小球的分布每次都可能不的分布每次都可能不同；大量小球的分布同；大量小球的分布却是稳定的。却是稳定的。 统计规律：统计规律：对大量偶然事件整体起作用的对大量偶然事件整体起作用的稳定的规律稳定的规律 。2.4 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律【演示演示】伽尔顿板伽尔顿板一、统计规律一、统计规律24l对任何一个分子，速度取值和取向都是偶然对任何一个分子，速度取值和取向都是偶然事件，不可预知。但对平衡态下大量气体分事件，不可预知。但对平衡态下大量气体分子，速度的分布将具有稳定的规律子，速度的分布将具有稳定的规律 麦克麦克斯韦速度分布律。斯韦速度分布律。l只考虑速度大小的分布只考虑速
6、度大小的分布 麦克斯韦速率分麦克斯韦速率分布律。布律。l直接给出速率分布律。讲完玻耳兹曼分布律直接给出速率分布律。讲完玻耳兹曼分布律后推导。后推导。自学：自学：速度分布律，速度分布律速度分布律，速度分布律速率分布律。速率分布律。25二、速率分布函数二、速率分布函数vNvNvfdd)( N：分子总数：分子总数vNd：速率：速率vvvd 内的分子数内的分子数xvyvzvvd速度空间速度空间vNd),(zyxvvvv速率分布函数：速率分布函数：26速率分布函数的含义：速率分布函数的含义：vNvNvfdd)( m在速率在速率v附近，单位速率区间内的分子数占附近，单位速率区间内的分子数占分子总数的百分比
7、。分子总数的百分比。 m对于一个分子，其速率处于对于一个分子，其速率处于v附近单位速率附近单位速率区间的概率区间的概率 速率分布的速率分布的 “概率密度概率密度”。【思考思考】 的物理含义的物理含义? 21d)(vvvvf27vNvNvfdd)( 归一化条件：归一化条件： 01d)(vvf一个分子速率处于区间一个分子速率处于区间 的总概率等于的总概率等于1。 01d1d)(00 NvNNvvf因为因为28 )(vf v 0 NNvvfvdd)( T, m vvvd 三、麦克斯韦速率分布律（三、麦克斯韦速率分布律（1859） 温度为温度为T的平衡态下，气体分子速率分布的的平衡态下，气体分子速率分
8、布的 概率密度为概率密度为kTvmvkTmvf2/22/32e24)( 【演示演示】速率分速率分布模拟布模拟 2923024de2 xxx高斯积分：高斯积分： 21de02 xxx2102de2 xx20321de2 xxx250483de2 xxx30验证归一化：验证归一化：kTvmvkTmvf2/22/32e24)( 002/22/3de24d)(2vvkTmvvfkTvm 01d)(vvf23024de2 xxx由积分公式由积分公式 ，得，得31MRTMRTmkTvp41. 122 )(vf v 0 T pv 最概然速率最概然速率：0d)(d pvvvf由由kTvmvkTmvf2/22/
9、32e24)( 32 f(v)0vT1T2 T1vp1vp2同种气体不同温度的分布：同种气体不同温度的分布：1212ppvvTT 01d)(vvf【思考思考】画出相同温度不同画出相同温度不同m气体的速率分布气体的速率分布。mkTvp41. 1 33一般情况下一般情况下四四 、用分布函数计算与速率有关的物理量在速、用分布函数计算与速率有关的物理量在速率率 0 区间内的平均值区间内的平均值vvfvvfvWWd)(d)()(00 vvfvWWd)()(0 01d)(vvf其中，分布函数已归一化其中，分布函数已归一化 。34 如果如果不归一化，则有不归一化，则有证明：证明： 0d)(NNvWWvvvN
10、NvWvddd)(0 vvfvWd)()(0 其中其中 ，满足，满足 。 01d)(vvfvNNvfvdd)( vvfvvfvWWd)(d)()(00 归一化归一化35例例. 计算物理量计算物理量 W（v）在速率区间）在速率区间v1 v2内按内按速率的平均值。速率的平均值。 21d)()(21vvvvfvWvvW对吗？对吗？解：解： 2121d)(d)()(21vvvvvvfvvfvWvvW正确结果为：正确结果为： 000d)()(d)(d)()(0vvfvWvvfvvfvWW36 2121d)(121vNvNvNvWvvNvvW 2121d)(d)()(21vvvvvvfvvfvWvvW证明
11、：证明：vvvvfvWvvNNd)()(2121 vvvvNvNvWvvNNddd)(2121 2121d)(vvvvfNvvN，因此，因此而而37平均速率平均速率：MRTMRTvvvfv60. 18d)(0 方均根速率方均根速率：MRTMRTvvrms73. 132 MRTvvfvv3d)(022 3873. 1: 60. 1: 41. 1 : : 2 vvvp f(v) v 0 2vvvp T kTvmvkTmvf2/22/32e24)( 39 四、麦克斯韦速度分布律四、麦克斯韦速度分布律(自学自学 教材教材 P53 57)1、分子沿、分子沿 x方向速度处于方向速度处于 vx 附近的概率密
12、度附近的概率密度xxvNvNvgxdd)( xvNd：速度区间：速度区间 内的分子数内的分子数 xxxvvvd N：分子总数：分子总数同样有：同样有：zzzyyvNvNvgvNvNvgydd)(,dd)( 假定假定 互相独立。互相独立。)(),(),(zyxvgvgvg40)()()()(zyxvgvgvgvF 2、分子速度处于、分子速度处于 附近的概率密度速度附近的概率密度速度分布函数分布函数vzyxvvvNvNvNvNzyxdddddd zyxvvvNvNdddd3 xvyvzv速度空间速度空间vN3dzyxvvvdddv413、平衡态分子速度取向各方向等概率，、平衡态分子速度取向各方向等
13、概率，F 应应只是速度大小的函数只是速度大小的函数)()()()(222zyxzyxvvvFvgvgvg 要求要求 ，即，即2e)(xAvxCvg 2222eeee)(3AvAvAvAvCCCCvFzyx 由由 可知可知 ，设，设 0, Fv0 A21 A22/3e)( vCvF 42由归一化条件由归一化条件)(1 C22/33e1)( vvF 得麦克斯韦速度分布律：得麦克斯韦速度分布律：1eddd)(dddd22/-3-3 vzyxzyxvvvCvFvvvNvN -u-due2 （积分公式）（积分公式）434、速度分布律、速度分布律速率分布律速率分布律vvvNFvNd4)(d2 zyxvvv
14、NvNvFdddd)(3 22/-232e4)(4)( vvvvFvvNNvf ddxvyvzvvN3dzyxvvvdddvyvxvzvvdvNdvzyxvvv,445、确定常数、确定常数 ,e4)(22/-23 vvvf 202223d)( vvfvv,23212kTvm mkT22 kTvmvkTmvf2/22/32e24)( kTvmkTmvF2/2/32e2)( kTvmxxkTmvg2/2/12e2)( 0)(xvgxv45例例. 单位时间、碰到器壁单位面积分子数单位时间、碰到器壁单位面积分子数 Adxtvdtvxd单位时间，碰到单位面单位时间，碰到单位面积，速度在区间积，速度在区间
15、 dvx 的的分子数分子数xxxxxxvvvgnvAtvAtvnvgAtnxd)(ddd)dd()(dddd xxvxvAtvnnvgxd)dd(d)( 0d)(dxxxvvgvn 46 2 mkTn x2kTmvxvkTmvnxd22021 e 0d)(xxxvvgvn mkTv 8 用平均速率用平均速率 表示：表示：vn41 单位时间泄漏出单位面积小孔分子数与分子单位时间泄漏出单位面积小孔分子数与分子质量平方根成反比质量平方根成反比（富集（富集235U ，见教材，见教材P57）47zyxvvvNvNvFdddd)(3 221mvk 分子平动动能：分子平动动能：2.5 麦克斯韦速率分布的实验
16、验证麦克斯韦速率分布的实验验证（自学，教材（自学，教材P5760 ）kTkkTm e223麦克斯韦速度分布律麦克斯韦速度分布律（分子速度处于（分子速度处于 附近的概率密度）附近的概率密度）v48玻耳兹曼玻耳兹曼（1844-1906）2.6 玻耳兹曼分布玻耳兹曼分布 能量均分定理能量均分定理 的证明（补充）的证明（补充）L. Boltzmann奥地利物理学家奥地利物理学家49一、重力场中分子数按高度的（等温）分布一、重力场中分子数按高度的（等温）分布kTpnn/0e mghp ,kTnpppkTmgh000 ,e/恒温气压公式恒温气压公式（高度计原理高度计原理）：）： n00 nh Tpp0500dd ShnmgSp kTnmghpkThnnkTp dd1ddhkTmgnndd 两边积分，得两边积分，得证明：证明：平衡态平衡态不同高度处温度相同不同高度处温度相同nmghp ddkTmgnn/0e n0nh+dhh 0 p+dp S p m g T51 zzzyyyxxxddd的分子数（速度任意）：的分子数（速度任意）： 推广推广：温度温度T平衡态下，分子处于（平衡态下，分子处于（x, y
