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1、欧拉不等式一个三角形式的类比摘要：本文给出四个有关三角元素欧拉不等式。关键词：欧拉不等式，三角形式，类比引言：设AABC的三边为bc,外接圆和内切圆半径分别为Rr,则有著名的欧拉不等式R32r,文1建立了欧拉不等式的一个三角形式：定理1设Rr分别为AABC外接圆和内切圆半径，则有（加表示循环和）文给出了欧拉不等式的一个三角形式的类似:Rr分别为AABC外接圆和内切圆半径,则有（a表示循环和）定理2设当且仅当AABC为正三角形时取等号.R文提出如下类似不等式:R-asin A ) ,-ACOSA),当且仅当aABC为正三角形时取等号.1上述不等式是从三角函数和的形式对欧拉不等式进行加强，在三角形
2、中还有熟知积形0.式，sin2AA、/ArAAOcos-o1.二，OcotA,本文将从o.3o3ch.T.vytan2J233vysn2TCOS2VyAtanO。对欧拉不等式建立新的类似，得到:COt2一、构建新的欧拉三角不等式定理3设Rr分别为AABC外接圆和内切圆半径，则有（I表示循环积）当且仅当ABC为正三角形时取等号.定理4设Rr分别为AABC外接圆和内切圆半径，则有（口表示循环积）_(cot-3f)当且仅当AABC为正三角形时取等号.定理5设Rr分别为AABC外接圆和内切圆半径，则有（II表示循环积）R1-18(Asin.)A-tan.)当且仅当aABC为正三角形时取等号.定理6设R
3、r分别为AABC外接圆和内切圆半径，则有（II表示循环积）R当且仅当AABC为正三角形时取等号.二、定理的证明843,A-cos.)SA定理3的证明设aABC的半周长为.，因为tan2 =.同理fcot2CM2Acot 2 =tanCA tan B tan Ctan.tan?222IcotHcotI=HHHBiHHH结合不等N16/?r-52W；4R2R+3r2(Gerrestsen不等式)只需证明4/?2+4/?r+3r22/?+(33-4)r平方整理得(2方+(33-4)2-(4R2+4Rr+372)=4(33-5)(R-2)20由欧拉不等式知，显然成立.定理4的证明在ZXABC有SinA
4、Sin8sinC=r故所证式等价于而SITOr，/?- arABC-sinA )因此1.3户 + -nJ)ik陟 3+ .“)/ 2333 = 1.33f+2定理6的证明在ZXABC中有恒等式sinA+sin3+sinC=4cos因此期应Z工-IrJAD-D1.,nIT(D参考文献1钟建新.欧拉不等式的一个三角形式的加强链J1.数学通报，2012,51(1)：:632王圣.欧拉不等式的一个加强的改进及其类似J.数学通报，2017,56(2)：62-633杨续亮苏岳样.欧拉不等式一个三角形式的类比J,数学通报，2018,57(12):56-584何灯.欧拉不等式的一个加强的再改进IJ.中学数学教学，2019,(3):675杨学枝不等式研究(第一辑)C西藏：西藏人民出版社，2010年，6.,134,何灯.一条串联七个基本三角不等式的不等式链J.中学数学研究，2019,(12):19-20
