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1、小升初奥数知识讲解八一-行程问题一一画画、算算是你的好帮手讨论有关的物体运动的速度、时间、距离这三者关系的问题叫做行程问题。行程问题在各类竞赛中经常碰到，它内容丰富、变化多端，是小学数学中的重点和难点。因此可采用作图的手段，画画、算算，展示它们的内在关系，帮助思考。只要分析正确，思路对头,处理妥当，问题不难解决。本数量关系式是：速度=距离时间时间=距离速度距离=速度X时间例1甲、乙两地相距56千米，汽车行完全程需1.4小时，步行要14小时，一个人由甲地出发，步行3.5小时后改乘汽车，他到达乙地总共用了几小时？（小学生数学报第二次全国小学数学邀请赛五年级试题）解法1：（1）求步行的距离是多少？（
2、5614）3.5=14（千米）。（2）求乘汽车用的时间是多少？（56-14）（561.4）=1.05（小时）。（3）求到达乙地总共用的时间是多少？1.05+3.5=4.55（小时）。答：他到达乙地总共用了4.55小时。解法2：设剩余路程改乘汽车要用X小时。步行路程：（5614）X3.5千米；乘车路程：（561.4）x千米。得方程：（5614）3.5+（561.4）=56。14+4x=56,x=1.05o到达乙地总共用：3.5+1.05=4.55小时。答：略。例2甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相向开出，甲车每小时行56千米,乙车每小时行48千米，两车在离中点32千米处相遇。求AB两地间的距离是多
3、少千米？（1983年小学生报第一次数学邀请赛四年级试题）ewcMVIMAGE,MVIMAGE,!16000100_0097_1.bmp解法1：（1）相遇时甲车比乙车少行了多少千米？322=64（千米）o（2）甲车比乙车每小时多行多少千米？56-48=8（千米）。（3）甲、乙两车同时从出发到相遇要多少小时？648=8（小时）。（4）A、B两地间的距离是多少千米？（56+48）8=832（千米）。答：A、B两地间距离是832千米。解法2：设A、B间距离是X千米，则甲行驶路程是（i32）千米，乙行驶路程是（1x-32）千米，根据甲、22乙所行时间相等，得方程：-x+32-x-322255-48答：略
4、。例3东西两城相距75千米，小东从东向西而走，每小时6.5千米；小希从西向东而走，每小时走6千米；小辉骑自行车从东向西而行，每小时走15千米。三人同时动身，途中小辉遇见了小希即折回向东行；遇见了小东又折回向西而行；再遇见小希又折回向东行，这样往返一直到三人在途中相遇为止，小辉共行了多少千米？（北京市第三届小学生“迎春杯”数学竞赛试题）解：本题关键是“三人同时动身，小辉往返途中，没有间断，直到他们三人相遇”。所以，小辉所行的时间与小希和小东相遇的时间相同，小辉行的路程等于他骑自行车的速度乘以小东和小希相遇的时间。1575（6.5+6）=15X6=90（千米）。答：小辉共走了90千米。例4甲、乙两
5、辆汽车同时从东站开往西站。甲车每小时比乙车多行12千米。甲车行驶四个半小时到达西站后，没有停留，立即从原路返叵I,在距离西站31.5千米的地方和乙车相遇，甲车每小时行多少千米？（1987年小学生数学报小学五年级邀请赛试题）ewcMVIMAGE,MVIMAGE,!16000100_0099_1.bmp解：（1）甲车比乙车多行了多少千来？31.5X2=63（千米）o（2）两车同时从甲站出发到相遇，甲车和乙车各行了多少小时？6312=5.25（小时）。（3）甲车从西站开始返回到两车相遇，行了多少小时？5.25-4.5=0.75（小时）。（4）甲车每小时行多少千米？31.50.75=42（千米）。答：
6、甲车每小时行42（千米）。例5B处的兔子和A处的狗相距56米，兔子从B处逃跑，狗同时从A处跳出追兔子，狗一跳前进2米，狗跳3次时间与免子跳4次的时间相同，兔子跳出112米到达C处，狗追上兔子，问兔子一跳前进多少米？（1990年上海市黄浦区小学四年级数学选拔赛试题）ewcMVIMAGE,MVIMAGE,!16000100_0100_1.bmp）根据追及问题，当兔跳112米时，狗跳56+112=168（米）。因J比，狗跳的次数是：1682=84（次）。兔子跳的次数是：8434=112（次）。兔跳一次前进112112=1（米）o解法2：设兔子一跳前进X米，由题意可知狗跳（2X3）米与兔子跳（X4）米
7、的时间相同，根据题意，得方程：（56+112）64x=112,解得X=Io例6一列慢车在上午9点钟以每小时40千米的速度由甲城开往乙城同一列快车在上午9点30分以每小时56千米的速度也由甲城开往乙城，铁路部门规定，向相同方向前进的两列火车之间相距不能少于8千米，问：这列慢车最迟应该在什么时候停车让快车超过？（1990年小学生数学报第四届小学生数学邀请赛预赛试题）解：（1）慢车开出几千米后快车才开出？40（9i-9）=20（千米）2（2）快车追及慢车的实际距离不能超过多少千米？208=12（千米）o（3）快车所经过时间是多少？312（5640）=一（小时）=45（分）。4所以，9小时30分+45
8、分=10小时15分。答：这列慢车最迟在10点15分停车让快车通过。例7一列火车长200米，它以每秒10米的速度穿过200米长的隧道，从车头进入隧道到车尾离开隧道共需要多少时间？ewcMVIMAGE,MVIMAGE,!16000100_0101_1.bmp解：火车过隧道，就是从车头进隧道到车尾离开隧道止。如图而示，火车通过隧道时所行的总距离为：隧道长+车长。（200+200）10=40（秒）。答：从车头进入隧道到车尾离开共需40秒。例8某人沿着铁路边的便道步行，一列客车从身后开来，在身旁通过的时间是15秒钟，客车105米，每小时速度为28.8千米，求步行人每小时行多少千米？ewcMVIMAGE,
9、MVIMAGE,!160001000101_2.bmp解：根据题意,火车和人在同向前进,这是一个火车追人的追及问题”。由图示可知：人步行15秒钟走的距离=车15秒钟走的距离一车身长.所以，步行人速度X15=28.8X1000（6160）15105,步行人速度=28.3X1000（60X60）1055=1米/秒。1.6060=3600米/小时=3.6千米/小时。答：步行人每小时行3.6千米。例9一人以每分钟60米的速度沿铁路步行，一列长144米的客车对面开来，从他身边通过用了8秒钟，求列车的速度？ewcMVIMAGE,MVIMAGE,!16000100_0102_1.bmp解：客车与人是相向行程
10、问题，从图示中可知：人8秒钟走的施离=车身长一车8秒钟走的距离。6060X8=车身长一车速X8,车速X8=车身长一6060X8,车速=（14460608）8=17（米）。答：客车速度是每秒17米。例10马路上有一辆车身为15米的公共汽车，由东向西行驶，车速为每小时18千米，马路一旁的人行道上有甲、乙两名年轻人正在练长跑，甲由东向西跑，乙由西向东跑。某一时刻，汽车追上了甲，6秒钟后汽车离开了甲；半分钟之后，汽车遇到迎面跑来的乙；又过了2秒钟，汽车离开了乙。问再过多少秒后，甲、乙两人相遇？（1989年小学生数学报小学数学邀请赛决赛试题）解：（1）先把车速换算成每秒钟行多少米？1810003600=
11、5（米）每秒车速。（2）求甲的速度。汽车与甲同向而行，是追及问题。甲行6秒钟的距离=车行6秒钟的距离一车身长。所以，甲速X6=5X615,甲速=（5X615）6=2.5（米）每秒甲速。（3）求乙的速度。汽车与乙相向而行，是相向行程问题。乙行2秒钟的距离=车身长一车行2秒钟的距离。乙速X2=15-5X2,乙速=（155X2）2=2.5（米）每秒乙速。（4）汽车从离开甲到离开乙之间的时间是多少？0.5X60+2=32秒。（5）汽车离开乙时，甲、乙两人之间的距离是多少？（5-2.5）X（0.5X60+2）=80（米）。（6）甲、乙两人相遇时间是多少？80（2.5+2.5）=16（秒）。答：再过16秒
12、钟以后，甲、乙两人相遇。例11甲、乙两部汽车同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地75千米处相遇相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回第二次相遇在离B地55千米处，求A、B二地相遇多远？ewcMVIMAGE,MVIMAGE,!16000100_0104_1.bmp）（1978年苏州市初中数学竞赛试题）解：从图中可知，甲、乙两车从出发到第一次相遇合走了一个A、B的全程，其中甲走了75米，从出发到第二次相遇，甲、乙合走了三个A、B的全程，其中甲走了75X3=225（千米），在225千米中，又包括甲从B地返回所走的55米，因此，225千米减去55千米就是A、B之间相距的路程。75X3-55=170（
13、千米）。答：甲、乙两地相距170千米。本题是一道特殊的行程问题,它的解法十分巧妙,要采用画图分析,揭示隐蔽的数量关系，以甲、乙两车从出发到第一次相遇合走了一个A、B的全程，其中甲走了75千米作为突破口，问题就迎刃而解。例12某船来往于相距360千米的两港口之间。上行（逆水）需用18小时，下行要用15小时。这只船在静水中速度和水流速度各是多少？解：本题是行程问题的一种特殊情况，称为“流水问题”。它除了涉及船速、时间和路程外，还涉及到水流速度。由于水流速度的影响，船的实际速度就会发生变化。它的速度变化满足下列关系式：船静水速+水流速=船顺水速船静水速一水流速=船逆水速或（船顺水速+船逆水速）2=船
14、静水速（船顺水速一船逆水速）2=水流速本题已知船上、下行360千米分别需18小时和15小时，则船顺水速：36015=24（千米/小时）；船逆水速：36018=20（千米/小时）。所以，船在静水中速度是：（24+20）2=22（千米/小时）。水流速是：（2420）2=2（千米/小时）。答这只船在静水中的速度是每小时22千米水流速度是每小时2千米。例13一位少年短跑选手顺风跑90米用了10秒钟在同样的风速下，逆风跑70米，也用了10秒钟。问：在无风的时候，他跑IOO米要用多少秒？（1990年第三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试题）解法1：（1）求顺风时每秒跑多少米？9010=9（米）。（2）求
15、逆风时每秒跑多少米？7010=7（米）o（3）求无风时每秒跑多少米？（9+7）2=8（米）。（4）求无风时跑IOo米用了多少秒？1008=12.5（秒）。答：无风时，他跑100米要用12.5秒。解法2：（1）求顺风时每秒跑多少米？9010=9（米）。（2）求逆风每秒多少米？7010=7（米）。（3）求风速每秒多少米？（97）2=1（米）。（4）求无风时每秒多少米？91=8（米）或7+1=8（米）o（5）求无风时跑IOQ米需要多少秒？1008=12.5（秒）o答：略。S14摩托车驾驶员以每小时20千米行了60千米回来时每小时行30千米，问往返全程的平均速度是多少？（1980年美国长岛小学数学奥林匹克赛试题）解：驾驶员往返总时间是：6020+6030=3+2=5（小时）。往返总路程是：60X2=120（
