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1、第14课 二次函数及其图象 1定义：定义：形如函数形如函数 叫做二次函数叫做二次函数2利用配方，可以把二次函数利用配方，可以把二次函数yax2bcc表示成表示成 .要点梳理要点梳理yax2bxc(其中其中a、b、c是常数，是常数，且且a0)ya 23图象与性质：图象与性质： 二次函数的图象是抛物线，当二次函数的图象是抛物线，当 时抛物线的开口时抛物线的开口 ，这，这时当时当 时，时，y的值随的值随x的增大而的增大而 ；当；当 时，时，y的值随的值随x的增大而的增大而 ；当；当x 时，时，y有有 .当当 时抛物线开口时抛物线开口 ，这时当，这时当 时，时，y的值随的值随x的增大而的增大而 ；当；
2、当 时，时，y的值随的值随x的增大而的增大而 ； 当当x 时，时，y有有 . 抛物线的对称轴是直线抛物线的对称轴是直线x ，抛物线的顶点，抛物线的顶点 是是 .a0向上向上x减小减小x增大增大最小值最小值a0 B. b0 Cc0 Dabc0 解析：当解析：当x1时，对应的点时，对应的点(1 , y)在在 第一象限内，第一象限内，yabc0.D4(2011威海威海)二次函数二次函数yx22x3的图象如图所示当的图象如图所示当y0时，时，自变量自变量x的取值范围是的取值范围是() A1x3 Bx1 Cx3 Dx3或或x3 解析：如图，可知解析：如图，可知x1或或3时，时， y0；当；当1x3时，时
3、，y0时，时，x的取值范围是的取值范围是1x0，抛物线有最低点，其坐标为，抛物线有最低点，其坐标为(1,2)，选选B.B题型三利用二次函数解决实际应用题题型三利用二次函数解决实际应用题【例例3】 我市某大型酒店有包房我市某大型酒店有包房100间，在每天晚餐营业时间，每间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房费间包房收包房费100元时，包房便可全部租出；若每间包房收费元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高提高20元，则减少元，则减少10间包房租出，若每间包房收费再提高间包房租出，若每间包房收费再提高20元，元， 则再减少则再减少10间包房租出，以每次提高间包房租出，以每次提高20元的这种方法变
4、化下去元的这种方法变化下去 (1)设每间包房收费提高设每间包房收费提高x(元元)，则每间包房的收入为，则每间包房的收入为y1(元元)，但会，但会减少减少y2间包房租出，请分别写出间包房租出，请分别写出y1、y2与与x之间的函数关系式；之间的函数关系式； (2)为了投资少而利润大，每间包房提高为了投资少而利润大，每间包房提高x(元元)后，设酒店老板每后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为天晚餐包房总收入为y(元元)，请写出，请写出y与与x之间的函数关系式，求出之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入，并说明每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入，并说明理由理由
5、解：解：(1)y1100 x，y2 x. (2)y(100 x)(100 x) x250 x10000 (x50)211250， 因为提价前包房费总收入为因为提价前包房费总收入为10010010000， 当当x50时，可获得最大包房收入时，可获得最大包房收入11250元，元， 因为因为1125010000，又因为每次提价为，又因为每次提价为20元，元， 所以每间房费应提高所以每间房费应提高40元或元或60元元 所以为了投资少而利润大，每间房费应提高所以为了投资少而利润大，每间房费应提高60元元探究提高探究提高 解决最值问题的关键是根据已知条件建立二次函数模型，解决最值问题的关键是根据已知条件建
6、立二次函数模型，利用二次函数的最大值或最小值来解利用二次函数的最大值或最小值来解知能迁移知能迁移3某商品的进价为每件某商品的进价为每件40元，售价为每件元，售价为每件50元，每个月元，每个月可卖出可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖元，则每个月少卖10件件(每件售价不能高于每件售价不能高于65元元)设每件商品的售价上涨设每件商品的售价上涨x元元(x为为正整数正整数)，每个月的销售利润为，每个月的销售利润为y元元 (1)求求y与与x的函数关系式并直接写出自变量的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；的取值范围； (2)每件商品的售价定为多少元时
7、，每个月可获得最大利润？最每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？大的月利润是多少元？ (3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于润不低于2200元？元？解：解：(1)y(21010 x)(50 x40) 10 x2110 x2100(0 x15，且，且x为整数为整数) (2)y10(x5.5)22402.5. a100， 当当x5.5时，时，y有最大值有最大值2402.5. 0
8、x15，且，且x为整数，为整数， 当当x5时，时，50 x55，y2400. 当当x6时，时，50 x56，y2400. 当售价定为每件当售价定为每件55元或元或56元，每个月的利润最大，最大元，每个月的利润最大，最大利润是利润是2400元元(3)当当y2200时，时，10 x2110 x21002200， x211x100，解之得，解之得x11，x210. 当当x1时，时，50 x51；当；当x10时，时，50 x60. 当售价定为每件当售价定为每件51元或元或60元时，每个月的利润为元时，每个月的利润为2200元元 当售价不低于当售价不低于51元且不高于元且不高于60元且为整数时，每个月的
9、利润元且为整数时，每个月的利润不低于不低于2200元元. (或当售价分别为或当售价分别为51,52,53,54,55,56,57,58,59,60元时，每个月的元时，每个月的利润不低于利润不低于2200元元)题型四结合几何图形的函数综合题题型四结合几何图形的函数综合题【例例4】 如图，已知直线如图，已知直线y x1交坐标轴于交坐标轴于A，B两点，以线两点，以线段段AB为边向上作正方形为边向上作正方形ABCD，过点，过点A，D，C的抛物线与直线的抛物线与直线另一个交点为另一个交点为E. (1)请直接写出点请直接写出点C、D的坐标；的坐标； (2)求抛物线的解析式；求抛物线的解析式； (3)若正方
10、形以每秒个单位长度的若正方形以每秒个单位长度的 速度沿射线速度沿射线AB下滑，直至顶点下滑，直至顶点D 落在落在x轴上时停止设正方形落轴上时停止设正方形落 在在x轴下方部分的面积为轴下方部分的面积为S，求，求S 关于滑行时间关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；的取值范围；(4)在在(3)的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时D落在落在x轴上时轴上时停止，求抛物线上停止，求抛物线上C、E两点间的抛物线弧所扫过的面积两点间的抛物线弧所扫过的面积解题示范解题示范规范步骤，该得的分，一分不丢！规范步骤，该得的分，
11、一分不丢！ 解：解：(1)C(3,2)，D(1,3) 22分分 (2)设抛物线为设抛物线为yax2bxc，抛物线过，抛物线过(0,1)，(3,2)，(1,3)， 解得解得 y x2 x1. 66分分 c1,abc3,9a3bc2.a ,b ,c1.(3)当点当点A运动到点运动到点 F 时，时，t1， 当当0t1时，如图时，如图1， OFAGFB， tanOFA ， tanGFB ， GB t， SFBG FBGB t t2； 88分分 图图1 1当点当点C运动到运动到x轴上时，轴上时，t2， 当当1t2时，如图时，如图2， ABAB ， AF t ， AG ， BH ， S梯形梯形ABHG (
12、AGBH)AB t ； 1010分分 图图2 2当点当点D运动到运动到x轴上时，轴上时，t3， 当当20时，函数图象开口向上，当时，函数图象开口向上，当x 时，函数有最小值时，函数有最小值y ；当；当a0时，函数图象开口向下，当时，函数图象开口向下，当x 时，函时，函数有最大值数有最大值y .当涉及到实际问题时，一定要符合实际当涉及到实际问题时，一定要符合实际问题的意义和条件要求问题的意义和条件要求. 方法与技巧方法与技巧 1. 对于二次函数的解析式，要根据不同条件选用不同形式的对于二次函数的解析式，要根据不同条件选用不同形式的解析式：解析式： (1)已知图象上三点，选一般式：已知图象上三点，
13、选一般式：yax2bxc(a0)； (2)已知顶点或对称轴，选顶点式：已知顶点或对称轴，选顶点式：ya(xh)2k(a0)； (3)已知图象与已知图象与x轴的两个交点轴的两个交点(x1,0)，(x2,0)，选交点式：，选交点式：ya(xx1)(xx2)(a0) 2. 字母字母a、b、c的符号的符号a的符号决定抛物线的开口方向；的符号决定抛物线的开口方向；c的符号决定图象与的符号决定图象与y轴的交点的纵坐标；轴的交点的纵坐标；a、b的符号共同决定对的符号共同决定对称轴，当称轴，当a、b同号时，对称轴在同号时，对称轴在y轴的左侧，当轴的左侧，当a、b异号时，对异号时，对称轴在称轴在y轴的右侧，当轴
14、的右侧，当b0时，对称轴是时，对称轴是y轴轴思想方法思想方法 感悟提高感悟提高 3. 二次函数与一元二次方程的关系：二次函数与一元二次方程的关系： 二次函数二次函数yax2bxc(a0)的图象与的图象与x轴的交点横坐标就是轴的交点横坐标就是y0时自变量时自变量x的取值，即是一元二次方程的取值，即是一元二次方程ax2bxc0(a0)的的根根 4. 抛物线的顶点常见的几种变动方式：抛物线的顶点常见的几种变动方式： (1)开口反向开口反向(或旋转或旋转180)，此时顶点坐标不变，只是，此时顶点坐标不变，只是a的符的符号相反；号相反； (2)两抛物线关于两抛物线关于x轴对称，此时顶点关于轴对称，此时顶
15、点关于x轴对称，轴对称，a的符号相的符号相反；反； (3)两抛物线关于两抛物线关于y轴对称，此时顶点关于轴对称，此时顶点关于y轴对称，轴对称，a的符号不的符号不变变失误与防范失误与防范1在考查二次函数概念的有关问题上，常常忽略在考查二次函数概念的有关问题上，常常忽略a0这个条件，这个条件，对二次函数几种不同形式不能正确运用在解决二次函数有对二次函数几种不同形式不能正确运用在解决二次函数有关增减性、最值等问题时，忽略二次项系数的符号就造成了关增减性、最值等问题时，忽略二次项系数的符号就造成了错误，比如：二次函数错误，比如：二次函数yax2bxc(a0)在对称轴左侧在对称轴左侧y随随x的增大而减小；在对称轴右侧的增大而减小；在对称轴右侧y随随x的增大而增大的增大而增大2利用二次函数利用二次函数yax2bxc图象的位置与图象的位置与a、b、c的取值关系，的取值关系，解决解决a、b、c的关系式的符号问题的关系式的符号问题3在解决与二次函数有关的实际问题时，常犯以下错误：一是在解决与二次函数有关的实际问题时，常犯以下错误：一是不能建立正确的函数关系，缺乏建模思想；二是对自变量取不能建立正确的函数关系，缺乏建模思想；二是对自变量取值范围的忽略值范围的忽略
