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1、图形与几何例题变式教学原则及策略研究摘要：2011年国家教育部颁布了义务教育数学课程标准（2011年版）（以下简称课标），学生所用的教材根据数学学科特点、课标以及学生心理进行编制，体现着最重要的思想方法和最先进的教学理念。吴立宝等认为教材例题有示范引领、揭示方法、展示新知、巩固新知、思维训练和文化育人的功能。并且近年来许多中考试题来源于教材又高于教材，是教材例题的变式题，由此可见在教学中教师需要对教材例题进行变式教学。课标中将义务教育阶段的课程内容分成了四部分，即数与代数、图形与几何、统计与概率以及综合与实践，图形与几何是初中数学的核心知识点之一，本文选取了“图形与几何”的内容对沪科版初中数学
2、教材中例题进行变式研究。关键词：变式教学;初中数学；图形与几何;教材例题引言：随着教育改革的不断推进，一线数学教师愈发重视回归教材，因此教材中的例题也不断引起师生的注意。在日常培训或是教学教研中我们发现，对几何例题实施变式教学的必要性不言而喻,但是在实际的教学活动中还存在一定的问题，导致教学效果不佳，因此在进行几何例题变式教学时应遵循一定的原则并需要采取合适的策略。一、变式教学遵循的原则1 .尊重教材原则例题作为教材的重要组成部分，是经过许多专家与学者探索研究编撰而成，体现了最新的教育理念以及课标要求。对于图形与几何内容来说，更是包含了重要的几何基本图形以及一般化结论。从学生中询问得知，教师在
3、课堂中进行例题的变式教学的频率很高,但是学生对教材上的几何基本图形的认识似乎还不够,从另一个角度可以说，学生未掌握变式题与几何基本图形的联系，进而学生的解题能力不能得到质的飞跃。因此教师在实施几何例题的变式教学时，应从教材出发，进行例题的变式教学，完成变式题的讲解后，教师再回归教材，帮助学生建立原例题与变式题的连接，完成这样的一个循环，使学生明确变式训练的意图，体会这一过程，同时帮助学生养成及时总结的良好学习习惯。2 .尊重学生心理发展特点数学学习不是一蹴而就的，需要一个长时间积累的过程。在学生的每个阶段有适合学生发展特点的内容知识，超前的内容会增加学生的负担，非但达不到教学效果，也许会导致学
4、生产生厌学的不良情绪。维果茨基提出的“最近发展区”理论正是说明这一问题，教学应该走在发展前面，但是必须在学生的最近发展区内,尊重学生心理发展特点，适量的进行变式教学。3 .适时性原则任何一种行为只有在合适的时间出现才能发挥其价值，变式教学也是如此，当教师追求几何例题的变式教学时，不应盲目，需要注意适量及适时的原则，适量即适度，变式教学更应该追求的是质量而非数量,教师在备课时精心挑选出最有价值、最能锻炼学生能力的变式题组，一步一步引导学生思考。凡事过犹不及，变式题过多会导致学生头脑混乱，把握不住重点所在，得不偿失。适时性则表达的是在恰当的时候进行变式教学，这是一种教学技巧，能够使得课堂丰富且不生
5、硬，学生也较为容易接受，不能为了变式教学而变式教学，在适当的时候引入会显得生动自然，慢慢地将学生的思维水平过渡到另一层次，达到预期的目的。4 .参与性原则课堂不是教师的独角戏，教学是师生共同参与的双边活动，因此在变式教学中，教师不能一直处于出题者的位置，学生也不能一直处于被动接收的状态，教师可以给学生自己亲手设计变式题的机会,学生在原题基础上根据某一知识点进行拓展和延伸，在这一过程中,他们不仅会对某一知识点产生更深刻的理解，对知识点的掌握更加牢固，还能激发学生学习数学的热情，培养他们的创新精神。因此教师要鼓励学生主动参与变题，然后解题，这样能更好的培养学生的创造力和锻炼学生的思维能力。二、变式
6、教学的教学策略研究1 .深入挖掘教材例题价值，巧妙改变条件以及延伸结论。教师在讲解教材几何例题时,不要就题讲题,可对题目条件进行适当的改变，把结论进行延伸。沪科版九年级上册P84,习题2的图形是十分重要的“双垂直三角形”的模型，从名字可以看出来这个图形中包含了两个垂直的条件，结论是高中阶段重要的定理，即射影定理，例题中的图形是射影定理的基本图形。射影定理的应用在初中阶段图形与几何的学习中占据一定的位置。直角三角形以及相似形在初中平面几何中是一大重点内容，而该模型同时包含了这两大基本元素，并且在另一大模块圆当中也经常遇到此类模型，因此在数学课堂中教师可以将其当作一个几何基本图形来进行讲授，提醒同
7、学们牢记模型和结论且理解如何证明此结论。值得注意的是这里的三个直角三角形均相似。因此利用三个三角形相似即可证得此题。对这道题可以通过增加条件来进行变式。2 .基于几何基本图形的图形变式几何基本图形的变式教学能有效的缓解学生对平面几何的“畏难厌学”情绪，此种教学模式使学生以一个全新的视角来看待平面几何知识，也可以从另一方面揣摩命题者的出题意图，思考几何基本图形变式题的内在联系及思维方式，从变化中寻找不变的要素，从复杂的几何图形中寻觅最基本的图形，从而找到解题思路。沪科版九年级下册P16例2这一题是垂径定理(垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧)的应用，在利用该定理解题时，通过作垂
8、直于弦的直径，由垂径定理构造直角三角形，再结合勾股定理建立相应的方程或代数式。可将图看作基本图形，该图中包含垂径定理、勾股定理、等边对等角、圆周角定理等的知识，常用的辅助线做法亦包含在内。学生在做题亦或是考试过程中，遇到的图形几乎都是经过变式、翻折变化的，直接考查原图的可能性较小，因此教师在介绍几何基本图形时，不应只拘泥于记住该图形，而是对其中的每一条线段和其来龙去脉向学生解.释清楚，使得学生更好的理解这个几何基本图形。在基本图形的变式教学中，要注重对基本图形的挖掘以及图形变式方式，在复杂的几何图中寻找熟悉的基本图形的影子,因此教师在几何变式教学中教师应充分剖析图形的构成、分解，突出基本图形，
9、培养学生识别图形的能力，以怀变应万变的策略应对纷繁复杂的几何题。3 .一题多证，一题多解针对同一道数学题，不同的同学有不同的思路、不同的解法，因此教师应多鼓励学生发散思维,从不同的角度入手，寻找不同的路径,提出不同的解题方法,进而达到综合运用知识的效果以及培养学生创造性思维。(1)一题多证例如沪科版八年级上册第85页的一道习题。要证明角的大小，有直接法及间接法，直接法是利用三角形内角和定理比较各角的大小进而比较NBDC和ZA的大小。间接法则可借助一个“中间角”来比较大小。证法一：NA=180o-(ZABC+ZACB),ZBDC=180o-(ZDBC+ZDCB),而ZABOZDBC,1.ACBZ
10、DCB,因此NABC+1.ACBZDBCZDCB,所以NBDCNA,得证。证法二:连接AD并延长交BC于点E,由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和可知：NBDE=NABD+NBAD,NBDENBAD,同理得NCDENCAD,故NBDE+NCDENBAD+NCAD,即NBDONA得证。证法三:延长BD交AC于点F,由三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和,可得NBDCNCFD,NCFDNA,所以NBDC1.A,得证。(2)一题多解在四边形ABCD中，ZA=60o,ZB=90o,ZD=90o,BC=2,CD=3,求AB的长。第一种解法可以是:延长AD、BC交于点F,由题意易得NF=30,在R
11、tCDF中，可求得各边的长度，再利用aCDF相似于aABF,可求得AB的长。第二种解法与第一种解法基本相同，借助辅助线利用直角三角形以及特殊锐角的度数求得各边，再利用两直角三角形相似求得AB的长。解法三:过点B作BMAD交AD于M,过点C作CNBM交BM于N,于是四边形CDMN为矩形，所以MN=CD=3,由题意可知NBCN=30,因此BN=-BC=I,故BM=4,利用特殊锐角的三角函数值即可求得AB的长。三、变式教学的注意事项虽然说变式教学有其重大的教学意义，但是在日常教学活动中，教师依旧需要注意一些问题：1 .明确变式的目标教师需要明确变式的目标，不能盲目进行，对例题进行变式教学后所达到预期
12、目标要有一个明确清晰的认知，例如掌握一类题型、巩固某个知识点或者渗透某种数学思想方法等。教学目标是教学的起点，同时也是评价一堂课的重要标准。这就需要教师在备课时根据课程标准认真钻研教材，制定切实可行的教学目标。2 .对例题的变式题的选择需要教师认真琢磨在各个教龄的教师在课堂上的变式题大部分来源于教辅资料里,少数教师会选择自己设计，因此这就引出了一些变式题的选择问题。在选择变式问题时，不仅需要充分考虑每个层级学生的实际情况，如学生的当前发展水平与已有的知识结构等，又要确保变式题符合当前的学习和教学目标，且要体现知识的本质特征,能帮助学生区分核心要素与次要元素。变式题的类型可以多变，不仅仅有结构完
13、整（即有唯一解）的问题，可以补充一些结构不完整（即探究性）的问题，探究性问题能培养学生思维的广泛性与深刻性。因此对于变式题的选择也是教师需要注意的问题。3 .适当使用信息技术辅助教学现代信息技术是进行几何教学时的一个重要媒介，也的确给学生学习几何知识带来了便利，它能够帮助学生打破空间的限制，直观具体的展现在学生眼前。但是凡事过犹不及，若不恰当使用信息技术只会适得其反，不仅浪费时间，同时对学生的发展无益。中学阶段的学生正处于抽象逻辑思维发展时期，需要有一些思维的训练，所以要适当使用现代信息技术。让现代技术成为我们实施教学时的一个重要手段。参考文献1李秋丽.变式教学在初中数学教学中的应用研究D.华中师范大学，2021.2黄秀芳.基于“马登理论”的高中数学变式教学研究及案例分析J.数学教学通讯.2021(6):11-12.3顾泠沅.青浦实验的方法与教学原理研究M.北京:教育科学出版社，2020:(64).4郑毓信.变式理论的必要发展J.中学数学月刊.2019,(1):1-3.5鲍建生.变式教学研究J.数学教学.2021(01):11-12.
