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1、问题驱动思考讨论生成认知“基本不等式”教学设计与思考摘要：问题教学法是从数学问题出发，以问题带动数学学科的发展的一种教学方法,这是数学学科发展的一条重要途径。本文以“基本不等式”为例阐述如何运用问题教学发驱动学生思考，发展学生的数学核心素养。关键词：问题教学法基本不等式数学抽象引言：数学家哈尔莫斯认为“问题是数学的心脏”，康托尔认为“在数学领域中提出问题的艺术比解决问题的艺术更重要”。问题不仅是数学教学的起点和主线，更是思维的核心。本文以“基本不等式”教学内容为例，阐述在教学中如何通过问题驱动思考，通过讨论生成认知，从而提升学生的数学学科核心素养。一、问题教学法问题教学法是从数学问题出发，以问
2、题带动数学学科的发展的一种教学方法,这是数学学科发展的一条重要途径。问题教学法教学重点明确，教学内容集中，在组织教学上采用问题讨论的方式，对学生的数学阅读能力的培养和学习兴趣的提高起到重要的作用。图1问题教学法的步骤问题教学中边读边议的讨论课是把教学过程转化为“一系列提问”，每个问题都问得很具体，不至于让学生觉得无所适从，由上一个问题引出下一个问题，这样3-5个具体问题串联起来形成一个小的问题链，若干小的问题链再形成一个的大问题链，以此引导学生紧紧围绕主题加以讨论。二、教学过程设计导入语:我们知道，在代数运算中乘法公式发挥着重要的作用，那么，是否也有一些不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法
3、公式类似的作用呢?今天我们就来研究这个问题的课题之基本不等式。请看本节内容在单元知识框架中的位置，对本章整体的知识结构做到脑中有图，心中有谱。设计意图：对本章学习内容进行知识架构，脑中有图，心中有谱。1 .知识回顾，提出对象复习提问:通过上一节探究题的学习，我们借助赵爽弦图得出了重要不等式a2b22ab,a,bR，你能从数和形的角度对重要不等式进行证明吗？师生讨论结果：从数的角度，可以采用比较作差/b22ab（b）20,当且仅当法时等号成立。从形的角度，设直角三角形的边长分别是a、b,则大正方形的边，TV,4个直角三角形的面积之和是2ab,大正方形的面积从，由图象显然/h22ab,当且日.当a
4、=b时等号成立。设计意图：通过回顾前面刚刚学习的知识，为后面问题的提出提供基础。2 .合作探究，形成概念日题1:当a0,b0时，我们瓜北分别代替重要不等式/从2中的a、b,可以得到怎样的式子？师生活动:学生独立思考后回答，教师总结:对于aO,bO,得ab2寂,变形为abbah展）,当且仅当a=b时，等号成立，通常称其为基本不等式，其.也做两日正数a,b的算术平均而叫做两个正数a,b的几何平均数。追问：你能用文字语言来表述一下基本不等式吗？师生讨论结果：两个两个正数的算术平均数不小于它们的几何平的数设计意图：在重要不等式与基本不等式之间建立联系，通过分析基本不等式的代数结构特征，得到基本不等式的
5、代数解释，即：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平的数,加深对基本不等式的认识。3 .体验方法，深挖概念问题2:前面，我们通过代换法获得了基本不等式，也已经学习了不等式的性质，那么能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？师生活动:学生可能采用作差比较法证明上式教师肯定学生的做法后，给出分析法的证明过程，同时指出，只要把上述过程倒过来就能用不等式的性质直接推出基本不等式了。要证只要证a+b2i,h要证，只要证a+b-24ab0要证，只要证（石-P0显然，是成立的.当且仅当=b时，中的等号成立.追问1：上述证明中，每一步推理的基本依据是什么？追问2：上述证明方法叫做“分析法”，你能归纳一下用
6、分析法证明命题的思路吗？师生讨论结果：分析法是一种“执果索因”的证明方法，思路实际上是寻找结论成立的一个充分条件。设计意图：学生体会分析法的思路实际上是寻找结论成立的一个充分条件，明确推理的逻辑顺序，同时引导学生认识分析法的证明思路和证明过程，为学生高中阶段的推理和证明提供了更丰富的策略。问题3:如图，点C是AB上一点,AC=a,BC=b,以AB为直们给出的图形，你能从几何角度给出基本不等式的解释吗？AC+ CB a + b追问：数形结合可以帮助我们更直观的理解问题，结合我师生讨论结果：RtAACDsRtADCBACCDf-CD2=AC-CB=ab=CD=Pa、当且仅当0、C重合，即a=b时，
7、等号成立。师生活动:教师通过几何画板动态展示由不等到相等再到不等的转化过程，帮助学生直观理解。设计意图：让学生自己寻找基本不等式的几何解释是非常困难的，因此这里直接给出了几何图形。并引导学生将他与ab图中的几何元素建立起来联系，再观察这些几何元素在变化中表现的大小关系规律，从而获得基本不等式的几何解释，帮助学生进一步理解基本不等式的内涵。4.例题分析，强化认知追问1：本题的含义是什么？师生活动：学生讨论后回答，教师总结：找出一yX1，使V0,都XIy追问2:本题中要求最小值代数式有什么结构上的特点?是否可以利用基本不等式求最小值?如果能，怎么求？师生活动：学生讨论后回答，教师总结：本题中要求的
8、代数式式X1和的形式，而且与X以可以利用基本不等式求解。教师展示解答过程。追问3:若去掉条件x0,最小值还是2吗？追问4:上述解答中，是否必须说明“当且仅X1,即x=1.时，等号成立“？追问5:已知x0,X11成立吗？1X 1的最小值吗？为什么？问题4：你能判断下列命题是否正确，并说明理由吗？4xf的最小值是4?（2） XXx2）的最小值是2?（3） JI卬X24的最小值是2?师生讨论结果：（1）X可以是负值。（2）两个式子的积不是定值。（3）当且仅当时X无解。思考:你能说说满足什么条件的代数式能够利用基本不等式来求最值吗？师生讨论结果：代数式是否能转化为两个正数的积为定值，不等式中等号能否取
9、到，即：“一正、二定、三相等。设计意图：引导学生根据所求代数式的形式，判断是否能利用基本不等式解决问题，同时强调代教式的最值必须是代数式能取到的值，为学生解决代数式的最值问题提供示范。问题5:通过刚才的分析和总结，现在我们一起来尝试解决基本不等式的最值模型？例2：己知下X,y都是正数，求证：（1）如果积Xy等于定值P,那么当x=y时，和x+y有最2#;（2）如果和x+y等于定值S,那么当x=y时，积Xy有最S2。4设计意图:在例1的基础上，学生已经初步找到最值的数学模型，这时借这两个问题指出基本不等式能够解决的两类问题，为基不等式解决实际问题创造了条件。5 .课堂小结回忆本节课的学习内容，回答
10、下面的问题：你可以说一说基本不等式的结构特点吗？基本不等式还可以从别的角度进行解释吗？在应用基本不等式求最大（小）值，以及证明不等式的过程中，哪些知识和方法对于解决问题起了比较重要的作用？在使用基本不等式的过程中，你认为应注意哪些问题？设计意图：引导学生回顾和小结学习内容，提升对基本不等式和不等式性质的整体认识。6 .布置作业必做题:教材第46页习题A组的第12题；选做题:请同学们课后在网上查找基本不等式的其他代数、几何证明方法，整理并相互交流。三、教学评价的设计A组：基础型1 .已知x1.,求证X取得最小值？最小值是多少？2 .当X取什么值时，x设计意图：这是水平一的问题，检测学生利用认识基
11、本不等式的结构特点，练习用基本不等式求具体函数最大（小）值问题的达成情况。B组：提高型1 .已知a0,b0,求证1？2ab2 .已知百角二角彩的面和等干Cm2，当两条直角边的长度各为多少时，两条直角边的和最小？最小值是多少？设计意图：这是水平二的问题，检测学生让学生练习利用基本不等式解决求最大值或最小值的问题的达成情况能力。四、教学反思1 .数学抽象的起点来源于情景数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。本节课通过上一节的探究题“赵爽弦图”引入，从“形”的展示去研究、归纳出“数”，从“数”的内涵然后再外延到“形”的解释。2 .数学抽象的生长点是类比迁移本
12、节课的设计是从问题出发，着眼于迁移。学生在类比重要不等式的数形结合的研究方法上迁移到基本不等式数与形的双向研究。3 .问题驱动思考，讨论生成认知“学起于思，思源于疑”，问题是数学的心脏。本节课从已知的重要不等式的知识和研究方法出发，提出一系列问题，让学生自觉凝练出探究思路，基于学生的最近发展区提出问题“当a0,bO时，我们用“一分别代替重要不等式/b22中的a、b,可以得到怎样的式子？”、“能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？、“你能从几何角度给出基本不等式的解释吗？”等等。这些问题环环相扣，不断促进学生的思维深入，引领学生学会探究，在问题的讨论中生成新的认知。参考文献1中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准M.北京：人民教育出版社，2020.2章建跃.章建跃数学教学随想录上卷M.杭州：浙江教育出版社，2017.
