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1、曲线与曲面进阶教程赵林1365474442021.1.17本文为原创作品，谢绝转载或用于其他任何商业学术用途，仅供本群交流，请勿上传到百度文库等流氓网站.I前言：本文适合有一定geogebra作图基础的朋友，建议先阅读以下三篇文章作为基础. l.GeoGebra点运算的使用小结修改肖建伟 2.Geogebra中直纹面的绘制(更新)潘立强 3.GeoGebra中一类曲面的作法(以牟合方盖等为例)赵林本文写的仓促,难免有错,请谅解.11.基本语法曲面和曲线,基本语法为：曲面(,终止值)曲线(,j,)其中曲面指令有两个参数,而曲线指令有一个参数.例如：a(u,v)=surfaceu,2v,0,u,0
2、,2,v,0,2这样我们就得到了一个名称为a的曲面，该曲面有2个参数u和V.如果我们输入a(l,1),则得到曲面a中参数u=l,v=l的点,即点(1,2,0),这种用法是不是和二元函数的用法很类似呢？不同的是，a(l,l)是把u,v映射为点,如果我们有一个二维的点A,输入a（八）,则相当于令参数U等于A的横坐标，参数V等于A的纵坐标，即把点A映射为曲面上的点.类似的b(u)=curveu,u2,u,0,2我们就得到了一条名称为b的参数曲线.输入b(l),相当于令U=I,则得到的点为(1,1)另外以下格式的指令都是合乎语法的书写方式,请灵活使用.曲面A+(s,t,0),S,0,l,t,0,l#
3、A是一个点.曲面su+tv,s,0,1,t,0,2pi# 其中u,V为向量.曲面(2;a;B),a,0,2pi,-pi2,pi2# 这是球坐标的形式.曲面(2)+(0,0,h),0,2pi,h,0,2# 这是极坐标和直角坐标的混合形式.I2曲面曲线从曲面到曲线,实质上是把两个参数变为一个参数.2. 1令其中1个参数为常数.以圆柱为例,假如圆柱侧面的曲面方程为:a(u,v)=曲面(2;u)+(0,0,v),u,0,2pi,v,0,2我们令V等于0,即输入：曲线a(u,0),u,0,2pi则得到的曲线即圆柱的下底.输入曲线a(0,v),v,0,2,则得到的是圆柱的一条母线.3. 2消参(即用其中一
4、个参数表示另一个参数)2.2.1平面与曲面的交线.案例1:圆锥的侧面被平面所截的曲线如何画，曲线方程是什么？方法1作图步骤:-第一步:写出圆锥侧面的曲面方程和平面的方程.a(u,t)=曲面(l-t)*(2;u)+t*(0,0,4),u,0,2pi,t,0,lp:x+y+2z=4第二步:打开运算区,输入solvea(u,t)(1,1,2)=4系统会帮助我们解得t和u的表达式,我们右键第一行的结果,选择复制，则在粘贴板中得到了这样一个式子?(r2pi,得到可以引用的曲线f.TiPS在ggb中只有极少数的平面与曲面的交线可以用这种方式获取，比较常见的有：球与平面，圆锥圆柱与平面.2.2.2曲面与曲面
5、的交线案例2维维安尼曲线:已知球eql的方程为：1,圆柱侧面a的方程为:/二w画出eql与a的交线.作图分析：联立方程组可得J=lx圆柱曲面的参数方程为：（x.!（14CoIIa）-.5Rinn于是得到维维安尼曲线的参数方程为：TH1.1,TnI(U-0.5sin三5(l-0)作图方法：输入指令：曲线(0.5(1+cos(),0.5sin(a),sqrt(0.5(1-cos(a),a,0,2)曲线(0.5(1+cos(a),0.5sin(a),-sqrt(0.5(1-cos(a),a,0,2)说明：这种方法本质上也是解方程.这个方程，即可以人工解，也可以类似案例1一样在运算区解.练习2已知圆柱
6、面pqI:Z2+if1,et2:-ri+1,画出eql与eq2的两条相交曲线.2. 2.3绘制曲面上的曲线.案例3知圆柱的高度为2,底面的半径为1,一只蚂蚁从圆柱上的点A（左下角）绕圆柱爬一圈到点B（右上角），你能画出它爬行的最短路线吗.作图分析：将圆柱展开后，找到A,B在展开图的位置，连接A,B,任取AB上一点F,I为AC中点,如图，底面的圆展开后即为AC,设G对应圆上的点的角度参数为,则FGBI=AGAI=a5r,于是FG=akAI=2aM这样就求得了F的高度参数.于是最短路线在圆柱中的参数方程为：TCiYMtAV-sinC2=2a0,2,vj0j4/3),爱心的方程:p=lsinfl,画
7、出随红旗飘扬的爱心.我们只要把爱心的X坐标作为参数t,爱心的y坐标作为参数V,并适当调整大小并做一些平移，即可画出红旗上的爱心,ggb的指令：=滑动条(0,pi2)a=曲面(t,0.2tsin(t-),v,t,0,211,v,0,4/3)b=曲线(a(0.5(l-sin(t)cos(t)+2,0.5(l-sin(t)sin(t)+3),t,2pi)TiPS在本题中,爱心的参数方程：i(1iA)c.y(1Sinj)Si口4可以直接代入，但如果遇到参数方程较为复杂的情况，这样的输入就比较麻烦，比如五角星的方程：b=曲线(0.25(2sin(abs(t-fIoor(t)*72-36o)+18o)sin(18o);0;72ot-18o),t.5)那我们在引用时可以采用x(b(t),y(b(t)的方式引用，避免麻烦的输入.所以红旗上的五角星，可以这样输入(已输入过的不要重复输入)：=滑动条(0,pi2)a=曲面(t,0.2tsin(t-),v,t,2,v,0,4/3)b=曲线(0.25(2sin(abs(t-floor(t)*72-36。)+18o)sin(18o)j72ot-18o),t,0,5)C=曲线a(x(b(t)+l,y(b(t)+3),t,0,2pi要画成实心的五角星，请读者自行思考.
