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1、希望杯第二届(1991年)初中二年级第二试试题一、选择题：(每题1分，共10分)1 .如图29,已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N为线段AC的中点，P为NA的中点，Q为MA的中点，贝WN：PQ等于()k-1-AQPMNBCA.1;B.2;C.3;D.4图292 .两个正数m,n的比是t(tl).若m+n=s,则m,n中较小的数可以表示为()tsSA.ts;Bs-ts;C.;D.1+51+r3 .y0时，J-fy等于()A.-Xyfy;B.Xyxy;C.-XJ-xy;D.XQXy.4 .(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式，则a,b,c的关系
2、可以写成()A.abc.B.(a-b)2+(b-c)2=0.C.caBD2+CD2.C.2AD2=BD2+CD2.D.2AD2BD2+CD27 .方程-l=-1.(+)的实根个数为()A.4B.3.C.2D.1/38 .能使分式一-1.的值为1126的X?、/的值是()yX.x2=l+5/3,y2=2+53；B.x2=2+53寸=2-丛;C.x2=7+43,y2=7-43;D.x2=l+23,y-3.9 .在整数0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中，设质数的个数为x,偶数的个数为y,完全平方数的个数为z,合数的个数为u.则x+y+z+u的值为()10 .两个质数a,b,恰好是X的整系数方程
3、Y-21x+t=0的两个根,则+f等于（）ab582402365A.2213;B.;C.;D.214938二、填空题（每题1分，共10分）1.198919911991-1991X19891988=2.分解因式：a2+2b2+3c2+3ab+4ac+5bc=3. (a2+ba+bc+ac):(b2+bc+ca+ab):(c2+ca+ab+bc)的平方根是4.边数为a,b,c的三个正多边形，若在每个正多边形中取一个内角，其和为180,那么11=5.方程组Vx+ay有正整数解,则正整数a=y-x=l升;搅匀后,再倒6.从一升酒精中倒出g升,再加上等量的水,液体中还有酒精出!升混合液,并加入等量的水，
4、搅匀后,再倒出!升混合液，并加入等量的水,这时,33所得混合液中还有.升酒精.7.如图31,在四边形ABCD中.AB=6厘米，BC=8厘米，CD=24厘米，DA=26厘米.且NABC=90 ,则四边形ABCD的面积是.8.如图32, Z1+Z2+Z3Z4+Z5+Z6=9 . x + 2 + 2x4310 .已知两数积abWL且2a2+1234567890a+3=0, 3b2+1234567890b+2=0,.b的最小值的整数部分是语言力求简明，字三、解答题：（每题5分，共10分，要求：写出完整的推理、计算过程,迹与绘图力求清晰、工整）1.已知两个正数的立方和是最小的质数.求证：这两个数之和不大
5、于2.2.一块四边形的地（如图33）（EOFK,0HKG）内有一段曲折的水渠，现在要把这段水渠EOHGKF改成直的.（即两边都是直线）但进水口EF的宽度不能改变，新渠占地面积与原水渠面积相等，且要尽可能利用原水渠，以节省工时.那么新渠的两条边应当怎么作？写出作法，并加以证明.答案与提示一、选择题题号答案1B2D3C4B5A6D7C8C9A10D提示：1 .VMN=AN-AM.PQ=第一竿.二选(B).2 .设m=3,n=1则t=3,s=4.只有l=n.故选(D).1+t1+33 .由y0,可知XV0.故选(C).4 .容易看到a=b=c时，原式成为3(x+a)2,是完全平方式.故选(B).5
6、.ZkACD是等边三角形,4BCA和aADE均为等腰三角形.故知NBAC=30,而NBAE=I20,所以选（八）.6 .以等边三角形为例，当D为BC边上的中点时，有AD2BD2+CD2,当D为BC边的端点时，有AD2=BD2+CD2,故有2AD2BD2+CD2.故选(D).7 .当回1时，有方程x*.(工+石),由根与系数关系可知，方程有一正根一负根，且正根符合要求，当时，有方程Tq(+,同理可知也是一正根一负根，正根符合要求，所以共有2个根.故选(C).故选(C).0.X3y34-y4(2-y2)(2+y2)O.-=yXxyXyAx2=7+4,y2=7-43,代入，是112收选(C).9 .
7、*.*x=4,y=5,z=4,u=4.，选（八）.10 .由a+b=21,a,b质数可知a,b必为2与19两数.Kb a fJ += a ba2b22,+搜等.故选(D)38ab 219二、填空题题号12345答案1991(a+b+ca+2b+3c)(a+c)11或2题号678910答案877144(cm2)36023提不：1 .198919911991-199119891988=1989(19911O4+1991)-1991(19891O4+1988)=1989X1991-1991X1988=1991.2 .原式=a2+32+c2+2ab+2bc+2ca+b2+2c2+ab+2ac+3bc=
8、(a+b+c)2+(b+c)(b+2c)+a(b+2c)=(a+b+c)2+(b+2c)(a+b+c)=(a+b+c)(a+2b+3c).3 .原式=(a+c)(a+b)：(b+a)(b+c)：(c+a)(c+b)(a + c)2(a + b)=(a + c)2.平方根为(a+c).4 .正多边形中，最小内角为60,只有a,b,c均为3时，所取的内角和才可能为180.5 .两式相加有(l+a)y=6,因为a,y均为正整数，故a的可能值为5,这时y=l,这与y-=l矛盾，舍去;可能值还有a=2,a=l,这时y=2,y=3与y-=l无矛盾.a=l或2.36.倒一次后，剩下装升酒精，倒第二次后剩下的
9、是($2开，倒第三次后，剩下的是号P升酒精.所以应答7 .在直角三角形ABC中，由勾股定理可知AC=IOCnb在AADC中，三边长分别是10,24,26,由勾股定理的逆定理可AADC为直角三角形.从而有面积为110l68+1024=144(cm2).8 .Z1+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6,正好是以N2,Z3,N5为3个内角的四边形的4个内角之和.和为360.9.根据绝对值的几何意义，可知，当X取-/或-2屿时，可能是最小值,比较X=一也时，原式=卜2画+4阎=225-阂.x=-25时，原式=卜26+=25-最小值是24-,其整数部分为2.10.由已知条件可知a是方程22+1234567890
10、x+3=0的一个根，b是方程3y2+1234567890y+2=0的一个根，后者还可以看成：1是3(1)2+1234567890工+2=0的根，或者说yy?是2/+1234567890、+3=0的一个根，从而可以b认为。和?是方程2,+123456789OX+3=。的两个根b1_3.g=g=(注意：ab1,保证了,1是方程2/+b123456789OX+3=。的两个不等的根.三、解答题1 .设这两个正数为a,b.则原题成为已知a3+b3=2,求证a+bW2.证明(反证法)：若a+b2由于a3+b3=2,必有一数小于或等于1,设为bWl,-a2b,这个不等式两边均为正数，a3(2-b)3.fa3
11、8T2b+6b2-b3.a+b8-12b+6b2.-6b2-12b+60.b2-2b+l0.f(bT)2v.矛盾.a+b2.即本题的结论是正确的.2 .本题以图33为准.由图34知OKAB,延长EO和FK,即得所求新渠.这时，HG=GM(都等于OK),且OKAB,故()HG的面积和AKGM的面积相同.即新渠占地面积与原渠面积相等.而且只挖了KGM这么大的一块地.我们再看另一种方法，如图35.作法：连结EH,FG.过0作EH平行线交AB于N,过K作FG平行线交于AB于M.连结EN和FM,则EN,FM就是新渠的两条边界线.又：EHON,EOH面积=ZFNH面积.从而可知左半部分挖去和填出的地一样多，同理，右半部分挖去和填出的地也一样多.即新渠面积与原渠的面积相等.由图35可知，第二种作法用工较多(要挖的面积较大).故应选第一种方法。
