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1、第五章四边形(14怀柔二模)19.如图，已知aABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB,.ZEFB=60o,DC=EF.(1)求证：四边形EFCD是平行四边形；(2)若BF=EF,求证：AE=AD.(14怀柔二模)19.证明:(1)TZkABC是等边三角形，NABC=60.VZEFB=60o,ZABc=ZEFB,EFDC.YDC=EF,四边形EFCD是平行四边形.(2)连接BE.VBF=EF,NEFB=60。，,AEFB是等边三角形,EB=EF,NEBF=60.VDC=EF,EB=DC.:ABC是等边三角形，ZACB=60o,AB=AC,：.ZEBf=ZACB,AEBADC(SAS),
2、AE=AD.(14丰台二模)19.如图，在四边形ABCD中，ADBC,0是NBCD的平分线，且AB_LAC,B=4,AD=6,求AC的长.(14丰台二模)19.解：Y。是/BCD的平分线Z1=Z2VADBCZ2=Z3从而NI=N3VAD=6CD=AD=6作DElAC于E可知AE=CEVZ1=Z2,ZBAC=ZDEcABCEDC3分.CD_CEBCACVAE=CE,CD=6ABC=124分在RtZiABC中，由勾股定理得AC=8近5分(14大兴二模)19.已知：如图，在平行四边形力成刀中，点从尸分别是48、的中点.(1)求证：四边形力跖9是平行四边形；(2)若NJ=60,AB=8,AD=4,求知
3、的长.(14大兴二模)19.(1)证明：Y四边形力四9是平行四边形，ABCDAB=CD.1分V点区少分别是力氏勿的中点，:AE=-AB,DF=-CD.22AE=DF.四边形川见9是平行四边形.3分(2)解：过点作_L仍于点G在Rt力切中，ZAGz)=90。,ZA=60。，49=4,：.AG=ADco=2,DG=ADsin6(T=23;止8,.BG=AB-AG=G.在Rtza期中，.ZDGfi=90OG=2，BG=6,DB=DG2+BG2=12+36=43.5分(14朝阳二模)19.如图，在四边形力及力中，Jj9=43,/加庐90,N庐60,ACLBC.(1)求然的长.(2)若AO之,求切的长.
4、(14朝阳二模)19.解：(1)在Rt48。中,VJ=43,N/60,(2)作EL力。于点/加庐90,ABAC=30,.N%后60,AE=I.心6,CB=5.4分.在Rt朦C中，cd=de2+ce2.CD=27.5分(14昌平二模)18.如图，已知口ABCD,E,b是对角线切上的两点，且除加:(1)求证：四边形力郎是平行四边形;（2）当月E垂直平分比且四边形4涉为菱形时，干脆写出力：力8的值.（14昌平二模）18.（1）证明：连接对角线4C交对角线切于点 四边形力山9是平行四边形，OA=OC,OB=OD.2分 ；点、E,/是对角线加上的两点，且B坟DRJ-OB-BE=OD-DF.即OE=OF.
5、3分 四边形N的是平行四边形.4分（2）5分3（14东城二模）19.在平行四边形4力中，AB=6fAD=9,的平分线交正于点区交呢的延长线于点F,BGLAE于点G,BG=4求VEFC的周长.大7DF（14东城二模）19.解：由题意可证力跖ADF,仔都是等腰三角形.1分又.46,AD=9,可求AB=B拄6,AD=D29.：.CE=CQA2分VBG1AE,BG=42,由勾股定理可求AG=2.3分：/代4.VABCD,：RABESXFCE.CEEF,-.BEAE2EF=2.4分/.哥T的周长为8.5分（14房山二模）19.已知：如图，梯形被Z中，AD=BQF为BC的中点,AB=Qt9ZJ=120o,
6、过点尸作EF工BC文.DC于悬E,且用2=3,求医的长.（14房山二模）19.连接8E,ABEFLBC9且平分及7.BE=CE梯形协卬中，AD=BC9NO=NC=60，鹿T是等边三角形3分.ZBEC=60:.BE/AD4分.ADEB为平行四边形.DE=AB=IEF=3tNC=60aEC=23.CD=2+235分（14海淀二模）19.如图，在力叱中，点、分别是边比;力。的中点，过点力作力尸8。交加的延长线于尸点，连接成(1)求证：四边形力皮加是平行四边形；(2)若NaQ45,BC46F-i,求。产的面积.(14海淀二模)19.(1)证明：V点、分别是边比；力。的中点,:DEAB.1分*：AF/B
7、C,四边形4应户是平行四边形.2分(2)解：过点尸作RL4C于G点.：BC4点是边比的中点，：.BD=2.由(1)可知四边形力泌是平行四边形，：.A2BD=2.iM50,：AG-GF二垃.3分在Rl中，ZZ790o,GF=-JlfCF=M,/.GC=yFC2-FG2=22.4分：.AuAG+GC=3近.Scaf=-CFG=-322=3.5分22(14门头沟二模)19.如图，在平行四边形月四9中，点、E,尸分别是月8,的中点.(1)求证：四边形力跖9是平行四边形；若N4=60,49=6,AD=4f求初的长.(14门头沟二模)19.(1)证明：如图四边形力灰力是平行四边形，：.ABCD旦AB=CD
8、.1分,：点,/分别是力6,切的中点，22：, AE=DF. 2分四边形力夕力是平行四边形. 3分，AE=-AB,DF=-CD-解：过点作加于点6.在RtZUG9中，VZAGD=90o,ZA=60o,AD=AfAG=ADcos60=2,DG=ADsin60o=23：.BG=AB-AG=4.在Rt戊汨中,DB=yDG2-BG2=12+16=27(14顺义二模)19.如图，在AABC中，D、/分别是4*的中点，=2DE,试点、C作CFBE交DE的延长线于F.(1)求证：四边形M石是菱形;(2)若CE=4,NBCE=I20,.求菱形BCEE的面积.(14顺义二模)19.(1)证明：Ta分别是力氏4C
9、的中点，：.DE/BC,BC=2DE.1分*：CF/BE1，四边形BC五E是平行四边形.2分YBE=2DE,BC=2DE,：.BE=BC.:口BCFE是菱形3分(2)解：连结即交于点0.A 四边形BCFE是著形,NBCF=120,卜ZBCE=ZFCE=60,BFVCE. ,腔是等边三角形.4分D/f：.BC=CE=4. BF=2BO=2BC.sin60=24=43.2:s弟铅RaP=LCEBF=4x4币=845分cTlz11VO22(14平谷二模)19.如图,在四边形月四9中，对角线切平分乙奶GN4=120,AZ0600,AB=5,A=3.(1)求证：AD=DC;（2）求四边形4笫的周长.（1
10、4平谷二模）19.（本小题满分5分）（1）解：在勿上取一点,使BEMS连结应：T分*：BD平分乙ABC,：.ZABD=ZCBD.在Zu切和阳9中AB=BE,ABD=NEBDBD=BDJ.ABDEBD-：.DE=ADfBED=A.VZJ=120oADEC=60.VZ=60DEC=AC.：.DE=DC,：.AD=DC.-3分(2) VZO60,DE=DCi4比。为等边三角形.一.一一4分：,EC=CD=AD.介3,：.EC=CgY熊=5,：,BE=AB四边形力四的周长为19.5分（14石景山二模）19.如图1,在勿8中，NM9=90,N4吠30,物=2.以必为边，向外作等边胸;是神的中点，连接力并
11、延长交优于反（1）求证：四边形力成石是平行四边形；（2）如图2,将图1中的四边形力发力折叠，使点C与点4重合,折痕为FG, /AEO =60求比的长.又.zac为等边三角形/BCW/AEO=60：.BC/AE1分：ZBAO-ZCOA=90：.OC/AB.四边形力旌是平行四边形.2分(2)解：在Rt力80中：NOAB=90,ZAOB=30o,AB=2：.OA=AB-tan60o=2xQ=2J.3分在Rt力G中，OA2+OG2=AG2,设妗X,由折叠可知：AG=GCA-X,可得V+(25)=(4A：)?4分解得，X2：.OG=-.5分2(14通州二模)20.如图，在平行四边形4版中，E为BC边上的
12、一点,连接力反切交于点用AE=AB.(1)若AEB=2ADB,求证：四边形4伙力是菱形.(2)若的=10, BE=2EC,求露的长.(14通州二模)20.证明(1)：在平行四边形业心9中，AD/BC4ADB=4DBCYA&AB/.ZABB=ZAEb.ZAEB=2ZDB：/AB郎2/DBCV/AB人AB步/DBCC.AABD-ADB：.AD=AB(2分)四边形力成是菱形解(2)Y在平行四边形/1阅9中，AD/BC:、XAFMXEFB.ADAF,tBEEF* ：AD=BCfBE=tIEC.ADAF3,tEEF2* ：AE=AB=XQ.IO-EF3* =EF2EF=4(5分)（14西城二模）19.如
13、图，在四边形被刀中，ABDCtDB平分/ADC,是少的延长线上一点，且ZAEC=-ZADc.2(1)求证：四边形题是平行四边形.(2)若DBlCB,NBCD=60,但12,作AHiBD于H,E求四边形四明的周长.(14西城二模)19.解：(1).：DB*分4ADC,：.Z1=Z2=-ZDC.2又VAEC=-ZADC,2,ZAEC=Z.AE/7BD.1分又.ABEC,四边形AEDB是平行四边形.2分(2),：DB平分4ADC,DC=,AB/EC,Zl=Z2=Z3=30o.:AD=AB.又YDBIBaZDBC=9Qo.在Rl胸中，CD=12,/.BC=6,DB=6y3.在等腰力龙中，AH工BD,.DH=BH=-DB=3.2在RtZU中，AHB=90,：.A*3,AB=6.4
