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1、一元函数微分学1、导数定义Iim玉)+)一/*。)记为/，(/)(增量形式)xIim/一/禺)记为/(%)(差式形式)xX-X0注：单侧导数：xO+,此极限记为H(XO)右导数xO,此极限记为(%)左导数可导充要条件：“(x0)存在。力(Xo)存在=E(XO)存在“例题：设F(O)=0,且慝沏存在,能否推出八0)存在?答案：不能例题：设/(0)=0,则/(x)在X=O可导的充分条件是()A1./(1-CoSh)后左_1.f(-e,t)Am-z存在Bhm-i存在0力ft0hCIim如普存在DIi)T存在0%Z0h答案：B若C选项换为，怎样？例题：设/(X)在X=的某个邻域内有定义，则/(X)在X
2、=处可导的一个充分条件是()Alim力(+-)-f(a)存在BIimn(a+-)-f(a)存在hwCIim八耽/Si)存在DIim/()/()存在o2hoh例题：设/(M%=%的某邻域内有定义，在X=XO的某去心邻域内可导。下述论断正确的是：（八）:若Iimf(X)=A,贝旷(XO游在也等于A(B):苟*(x0)存在等于A,则Iimfx)=A.XT为(C):若Iim/(X)=8,贝旷(Xo不存在Xf(D):苟(与库存在则Iim/(%)=00.中值定理:微分及计算定义-函数/(X)在点X。邻域内有定义，当自变量在点与处有增量Ar时，若相应的函数增量可以表示为Ay=/(xox)-(xo)=Ax+o
3、(x),其中A是不依赖加:的常数，O(AV)是x0时比以高阶的无穷小量，则称/3在点/处是可微的，其中Ay的线性主部也称为y=f(x)在点相应于自变量增量曲的微分，记作吼=Ab=A囚易证A=r30),故创Eb=Mr=八%)以二尸&0)公与微分相关的常用公式；5,=(+)-()ry-AxnIim-=OArTOy=Ax+6(x)dy=AAx=,(x0)zlr=Adx一阶微分形式不变性：设y=/(),4=夕(工)，则办=/()(%)公=/()d，即不论是自变量还是中间变量，形式dy=r()d是不变的微分的几何意义如图所示，Ay=(Xo+x)-(Xo)是曲线F(X)在点XO相应于自变量增量8的纵坐标增
4、量，微分囹是曲线y=3在点*J(%)处的切线纵坐标相应的增J=I.里例题：设AX)具有二阶导数，()o,(x)o,以为自变量X在点与处的增量，与与力分别为在点与处对应的增量与微分，若0,则()A,OBdyyOCdyyODydyO答案：A微分计算r(),则函数y=()在点/处的微分为办1=r*o)公，可以把微分计算转化为求导的运算.例题：若函数y=(x)有、1,则当ArO时，函数在=/处的微分力，是/(冗0)=/A与Ax等价的无穷小B与同价的无穷小C比AH氐价的无穷小D比Ar高价的无穷小答案：B例：设函数/()可导，y=(d),当自变量X在X=T处取得增量AC=-0.1时,相应的函数增量Ay的线性主部为0.1,则r=()A-1B0.1C1D0.5答案：D
