最新版圆锥曲线专题17之7 抛物线的综合问题.docx

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1、专题7宗远功长抛物线综合问题无结论,不圆锥,可以看出二级结论在圆锥中是多么重要,而抛物线正是这一观点集中体现,接下来我们将从垂直和定值定点两方面来说明二级结论的重要性.第一稀抛物线中的垂直问题抛物线中与垂直有关的有以下结论1.如果抛物线丁二2px弦AB过抛物线的焦点尸(,0),那么以AB为直径的圆与准线相切,设切点为尸则:(1)PAPB(2) PFAB且有以下更进一步的结论:设AB两点在准线上的射影分别为和与,则以线段Aq为直径的圆与AB相切,切点为产(3) PAB的面积的最小值为P?.此时AB垂直于X轴(4)过A点和3点分别作抛物线的切线交于点O,则AZ)人且O在抛物线的准线上,反之过准线上

2、任一点做抛物线的两条切线,则两切点的连线经过焦点(这种情况下开口朝上的抛物线X2=2Py考试出现得更多)2 .若?AoB则弦AB必过定点(2p,0)【例1】(鼓楼模拟)过抛物线C:丁=2p(p0)的焦点F的直线与抛物线C交于A,B两点,且AF=3网,直线AB与C的准线/交于点O,AAA/于A,若的。的面积等于8JI,则P二()3 c5A.-B.2C.-D.422【例2】(山西期中)已知抛物线C的顶点为坐标原点,焦点尸在X轴上,其准线为/,过尸的直线交抛物线于M,N两点,作MrS人/,NT八I,垂足分别为S,T.若MF=3FN,且AST户的面积为与叵,则抛3物线C的方程为()A.)/=?XB.y

3、2=?2xC.y2=?3xD.=74x【例3】(黄冈期中)已知点MG1,2)和抛物线C/=4%,过C的焦点且斜率为左的直线与C交于A,B两点,若?AMB90?,则A=()A.1B.2C.3D.4【例4】(贵阳二模)抛物线y2=2px(p0)的焦点为,已知点A,8为抛物线上的两个动点,且满足IMNl?AFB90?.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MV,垂足为N,则丁工的最大值为()IABlA.B.C.1D.G22第二饼定值定点问题过抛物线焦点弦的几何性质重要结论1. IAFI=BBF=-R.1 -cosa1+cos2. AB=xi+x2+p=.sinaP23SMoB-.2sm44设二则cos=

4、W=-.、a、u,AFBF5.设AB交准线于点?,则丁豆7=cos:=cos.I/AI/恒抛物线中其他定值定点结论:1 .对于抛物线y2=2px上两点AB,经过焦点/,则XA4=?,=-P20A?OBP2f推广到更一般的形式,若AB经过点(zn,0)则XAX&=/,yAyB=-2pm.2 .若直线/与抛物线V=2px交于M、N两点,P(X0,%)为抛物线C上一点,且PM人PN,则直线/必过定点(2p+%,-y0).特别地,当尸点位于抛物线顶点(0,0)时,直线/必过定点(2,0).3 .过定点七(山,0)的直线/与抛物线丁二2彳交于A,B两点、,与直线X=交于M点,若MA=/fE,MB=LBE

5、,则/+/,=_竺S.m【例1】(长沙模拟)已知抛物线Uf=4),的焦点为F,A是抛物线C上异于坐标原点的任意一点,过点A的直线/交y轴的正半轴于点8,且4,4同在一个以尸为圆心的圆上,另有直线/勿,且悭与抛物线C相切于点O,则直线AD经过的定点的坐标是()A.(0,1)B.(0,2)C.(1,0)D.(2,0)【例2】(湖北月考)已知F为抛物线J=X的焦点,点a、B在该抛物线上且位于工轴的两侧,而且OA?OB2(。为坐标原点),若AABO与ZAFO的面积分别为Sl和S2-则,+4S?最小值是()7万A.B.6C.23D.432【例3】(遂宁期末)设尸为抛物线k=8x的焦点,A、B、C为该抛物

6、线上不同的三点,且FA+FB+FC=O,O为坐标原点,若4QOFB.ZXOfC的面积分别为S、S2.S3,贝”;+S;+S;=()A.36B.48C.54D.64【例4】(湖南长沙高三模拟题)已知点M(-5,0)、C(1,O),MB=2BC.尸是平面上一动点,且满足IPCI?IBClPB?CB.求点P的轨迹C的方程;已知点A(m,2)在曲线C上,过点A作曲线C的两条弦4)、AE,且4)、AE的斜率人、心满足kjk22.试推断:动直线Z)E是否过定点,证明你的结论.【例5】(渝中区月考)设直线/与抛物线J=4%相交于A,8两点,与圆5)2+/2=/“0)相切于点加,且同为线段AB的中点,若这样的

7、直线/恰有2条,则r的取值范围是()A.(0,2B.(0,5)C.(2,4)D.(0,2)E(4,5)本题用到了结论:AB是抛物线y?=2px的一条弦,弦中点为C(Xo,%),贝的=%【例6】如图,已知点尸(1,0),直线Lx=-I,尸为平面上的动点,过点P作/的垂线,垂足为点Q,且QP?QFFP?FQ.求动点P的轨迹C的方程;过点尸的直线交轨迹C于A、B两点,交直线/于点M,且MA=A,MB=I2BF,求力+八的值.推广到更一般的结论,就是本节最开始的结论三:过定点E(m,0)的直线/与抛物线J=2px交于A,B两点,与直线X=交于M点,若MA=/E,MB=LBE,则L+%=-竺in【例7】

8、(香坊区期中)已知抛物线V=4x的焦点为尸,过点P(4,0)的直线交抛物线A(%,y1),Bx2,y2)两点,直线4/,所分别与抛物线交于M,N点,记直线MN的斜率为直线A8的斜率为区,则区二k?()A.1B.2C.3D.4【例8】过点夙帆,0)作直线4,4与抛物线丁=2庶相交,其中4与抛物线相交于M,P两点,4与抛物线相交于。,N两点,MN过焦点、F,若MN,。的斜率勺,N满足2=f,求证:=k2m2第三稀抛物线的最值问题抛物线里的最值多与焦点准线相关,还经常用到数形结合和函数的值域求法,一般都要代数和几何相结合,用的方法较综合而全面.【例1】(汉中二模)直线/过抛物线丁二4工的焦点尸且与抛

9、物线交于A,B两点,若线段A/,8斤的长分别为m,n则4z+的最小值是()A.10B.9C.8D.7【例2】(重庆期末)设O为坐标原点,?是以尸为焦点的抛物线V=2px(p0)上任意一点.M是线段依上的点,FP=5FM.则直线OM的斜率的最大值为()c TD.【例3】(三明期末)已知抛物线yz=4x的焦点为尸,过尸的直线与抛物线交于A,8,点M在线段AB上,点C在。W的延长线上,且C=2OM.则ZXABC面积的最小值为()C. 8D. 10A.4B.6第四书与抛物线中点弦有关的性质【例1】(苏锡常镇二模)如图,在平面直角坐标系XOy中,已知抛物线U=4x的焦点为。准线为/,过点F且斜率大于0的

10、直线交抛物线。于AB两点,过线段AB的中点/且与X轴平行的直线依次交直线OA,OB,l于点P,Q,N.判断线段PM与NQ长度的大小关系,并证明你的结论.此模型的结论还有很多:(1)过点P作AB平行的直线,与抛物线交于C,。两点,则此时有尸C=PD(2)过点R作AB平行的直线,则此直线为抛物线在点R处的切线;(3)NA,NB均为抛物线的切线,过直线NM上(抛物线外部)任意一点作抛物线的切线,切点弦的中点均在NM上,且互相平行.【例2】在平面直角坐标系XOy中,已知抛物线C:f=4y,直线/与抛物线C交于A8两点,过AB分别作抛物线的切线,两切线的交点尸在直线),=1-5上.若A3=2A尸,求点尸

11、的坐标.事实上作?Py轴,由切点弦的性质知PP平分48,我们先来证明这一结论:关于抛物线中点弦的轨迹也是高考常考题(2016全国三卷考过大题,见本书习题部分)现在也和大家介绍一下:%一0= P-1 %设抛物线V=2px有一条过点(1,0)的弦与抛物线交于AB两点,求AB中点M的轨迹方程.解:设A(X,yj,8(w,、2),则女AB=*近=一且“2一%必+凹Xvf化简整理有yj=(x,w1)并且当X=X2时,也满足上述方程,故中点M轨迹为V=(工一1)若过的定点坐标为(几7),按上述过程推导,则中点轨迹为y2-6y=px-p【例3】在平面直角坐标系X。),中,已知抛物线左丁2=20%(0)和点(

12、3,4)点2在上,且3OQ=GoH.求E的方程;若过点作两条直线hJ4与E相交于AB两点,4与E相交于CO两点,线段AB,C。中点的连线的斜率为3直线A8,CD,A。,BC的斜率分别为%,右,&证明:1=一k3 k2 k为定值.整套系列资料分17讲见:最新版圆锥曲线专题17之1基础知识最新版圆锥曲线专题17之2焦长焦比体系最新版圆锥曲线专题17之3轨迹方程求法最新版圆锥曲线专题17之4三角形相关性质最新版圆锥曲线专题17之5四边形相关性质最新版圆锥曲线专题17之6圆锥曲线与圆综合最新版圆锥曲线专题17之7抛物线的综合问题最新版圆锥曲线专题17之8齐次化问题最新版圆锥曲线专题17之9曲线系方程最新版圆锥曲线专题17之10切线与切点弦的应用最新版圆锥曲线专题17之11极点极线与定点定值最新版圆锥曲线专题17之12阿基米德三角形最新版圆锥曲线专题17之13定比点差体系最新版圆锥曲线专题17之14不联立体系第一讲一单动点问题最新版圆锥曲线专题17之15不联立体系第二讲一双动点问题最新版圆锥曲线专题17之16不联立体系第三讲一三点共线问题最新版圆锥曲线专题17之17不联立体系第四讲一设点与比例问题

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