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1、第四节循环群教学内容及要求：了解循环群群的特点，从本质上领会“循环群已经完全弄清楚了”的含义.掌握循环群的阶与生成元的阶的关系.两类循环群的本质区别和它们各自的同构象.循环群中元素之间的联系和性质.教学重点：循环群的结构定理.教学难点：循环群的生成元个数（谁有资格作为生成元）和循环群的子群的性质和子群的生成元问题.教学过程：研究一个代数系统的最大目的可以用一句话说完,就是要解决这种代数体系的下面三个问题：存在问题；数量问题以及结构问题.如果这些问题都得到完满的解答就算达到了目的.关于数量问题，指的是彼此不同构的代数体系的数量，因为同构的代数体系抽象地看可以认为是相同的代数体系.为达到这个目的，
2、我们并不企图一下子把所有的群都找出来，否则问题就太负杂了.我们的方法是：把群分成若干类，比方说有限群，无限群，交换群，非交换群等等，然后看一看，每一类有多少个不同的群.可惜到现在为止，我们对于群的知识还是有限的很，己经完全弄清楚的群只有几类.循环群就是其中一类，是所有群中最简单的一种群.它是由一个生成元生成的一种特殊的群.循环群它的结构可以完全刻划清楚的.一、循环群的概念设MqG,M0tG中包含M的子群总是存在的，例如，G本身就是一个.当然,一般来说，G中可能还有别的子群也包含M.现在用M表示G中包含M的一切子群的交，则知仍是G中包含M的一个子群，而且G中任何一个子群只要包含“，就必然包含加.
3、所以加是群G中包含M的最小子群.定义1.称加为群G中由M生成的子群，并把M叫做这个子群的生成系.实际上M）=HMqHUG注：1）一个群或子群可能有很多的生成系，甚至可能有无限多个生成系.例如，设（Z，+）,又M=-8,4,6,10,则易知M是偶数加群，而且-8,4,10,M=4,6,2,10,12,等等都是“的生成系.2）当M本身是一个子群时，贝I=.下面我们看一下M中的元素是什么样子的.任取qM,由于M，而M是子群，故对任意整数4,必有心e（M）,从而对cN,M包含如下的一切元素：afa*姆，ai历,=1,2,3,另一方面，一切这样的元素显然作成一个包含的子群.因此，=W*何M,%Z,”=1
4、,2,3,例如，=l,2G则（M）=a,a2,e,aa2iMb2,eybb2,ab,a2b,akbk-y集合”中的元素可以是无限个，也可以是有限个，当”=4，%，/时，把简记为44,特别，当河=。时,有河=.定义2.如果群G可以由一个元素生成，即G=。，则称G为由。生成的一个循环群,并称为G的一个生成元.于是，是由一切形如（三z）的元素作成的群，亦即=a29ai,e,a9a29=akk三Z证明：因是群，-eM所以-G,因而0WgZ立而上Z是一个群，故它是包含。的最小子群，所以G,从而ea.因此=MWWZ注：1）循环群必是交换群.因Vx,yG,必有x=,y=优，则孙=型+=优+?=优d=A2）若
5、群是一个加群，则由。生成的循环群为=-2a,-a,0,a,2a,=kak三Z例L整数加群（Z，+）是无限循环群.显然IcZ,且对”,有=/，故Z=.即Z是无限循环群，1是它的一个生成元，令易知，T是它的一个生成元.例2.次单位根群U”是一个阶循环群.事实上，设是一个次原根，则是”的一个生成元，且Un=（）=l,9293,-,n）这个复数是互异的，而对keZ,必与其中一个相等.例3.z,=0,T,2,，-1.定义万+5=1。，则（Z”,+）构成模剩余类加群.可证亿，+）是循环群，T是生成元.（因为对D而三Z,m,都有沅=+T）二、循环群的性质定理1.群G=。是一个循环群，(1)若同，则G是含有个
6、元素的有限群，且(a=G=e=a0,a,a2,a,(2)若同=8,则G是无限群，且(a)=G=,a2,ae=a0,a,a2,证明：(1)因为同二%任取优匕，令m=nq+rOr,则若有*=e与14=8矛盾，因此stasa,.故(MZ)两两不等.所以G是无限群，且(a)=G=,a2,ae=c,a,a2,)这个定理使我们对循环群的组成和运算一目了然，常常被称为循环群的结构定理.推论.阶群G循环群当且仅当G有阶元素.证明：设G=公是阶循环群，由定理1,生成元。的阶是W反之，设G有阶元素。，贝I易知H=e,a.a,4是G的一个阶子群，但G的阶也是，故G=a故：阶循环群的一个元素。是不是生成元，关键看14
7、=是否成立.由此还可以看出，循环群的生成元不一定唯.定理2.设G=。是一个循环群，(1)若同=，则G有。()个生成元：/，其中1*,且(r,)=L若同=8,则G由两个生成元,。与证明：(1)当(-，)=时，盘,vZ,+U=I于是=E=)，从而=优,因此优是G的生成元.反之，若屋是G的生成元，则G=屋=。，于是=不即。=。=6.因为a=n,所以KST),w(r,n)=l(2)首先。与”显然都是G的生成元.其次设力是G任意生成元，则G=加=。，于是人=,a=blf从而a二.因14=8,所以W=1,从而S=I或，=1,即匕=。或b=a”.例如，4,5,6阶循环群分别有欢4)=2,旗5)=4,奴6)=
8、2个生成元.定理3.设G=。是任意一个循环群，若同=,则=Ufl=Zg(2)若同=8,则岂(Z,+).证明：(1)设同=，则(a)=G=e,a2,3,9anl)于是易知amm(m=0,l,2,-1)是3到S=的一个同构映射，因此0M，.或:一沅(n=0,1,2,n-l)是0到z=D的一个同构映射，因此z(2)设14=8,则当m时，.于是:amm是循环群.到整数加群的一个双射；又由于(ama)=(am+n)=m+n故。是。到Z的一个同构映射.因此=z此定理说明：凡无限循环群彼此同构，凡有限同阶循环群都彼此同构.因此说：在同构的意义下，循环群只有两种，即整数加群和次单位根群.三、循环群的子群定理4.循环群的子群仍为循环群.证明：设HG=3,若=e,则H是循环群.下设“e,且L是中。的最小正累，于是1口”.另一方面，任取优eG,令s=mq+r,0r,G但由于与”）的阶相同，故=，即色的女阶子群是唯一的.至此，我们对循环群的存在问题，数量问题，构造问题都已能解答，循环群已完全在我们的掌握之中.这一节的研讨是近世代数的研讨的一个缩影.在近世代数里,不管是在群论里,还是在七它部门里，我们研究种代数系统就是要解决这一系统的存在问题，数量问题和构造问题.课堂小结：循环群的生成元，循环群的子群及其生成元.课后作业：123,6
