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1、平面向量知识点总结归纳1、向量：既有大小，又有方向的量.数量：只有大小，没有方向的量.有向线段的三要素：起点、方向、长度.零向量：长度为。的向量.单位向量：长度等于1个单位的向量.平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行.相等向量：长度相等且方向相同的向量.2、向量加法运算：三角形法则的特点：首尾相连.平行四边形法则的特点：共起点.(3)三角形不等式：忖-baba+F卜运算性质：交换律：a+b=b+；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；a+O=O+a=a.Aab=aCAB=bC(5)坐标运算：设a=(x,y),b=(x,y),贝Ja+b=(x+x,y+y).11
2、2212123、向量减法运算：三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量.坐标运算：设a=(x,y),b=(x,y),贝Ja_b=(x_x,y_y).11221212设A、B两点的坐标分别为(x,y),(x,y)，则AB，=(xx,yy).112212124、向量数乘运算：(1陕数入与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作Za.IAHNaJ；当人0时，入a的方向与a的方向相同；当入0时，入a的方向与a的方向相反；当人=0时，入a=0.运算律：XPa=(入p)a；+p)a=p；Qb)入+入b.坐标运算：设a=(x,y)，Ma=(x,y)=kx,入y)5、向量共线定理：向量a(a)
3、与b共线，当且仅当有唯一一个实数入，使b=a.设a=(x,y),b=ky)，其中b丰O,则当且仅当Xy-XY=O时，向量a1122”22人b(bo)共线.6、平面向量基本定理：如果e、e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于12这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数入、入，使a二8号+人2(小共121122线的向量e、e作为这一平面内所有向量的一组基底)127、分点坐标公式：设点P是线段PP上的一点，P、P的坐标分别是(x,y),121211牝1)，当PF二现时，点P的坐标是(仔浅2占寮)8、平面向量的数量不：、ab=附卜0894:6轨0共英180)零向量与任一向量的数量积为0.性质：设a和
4、b都是非零向量，则ab-a.b=O.当a与b同向时，ab=|可；当a与b反向时，a.b=-桐；aaW2或同=,abab.IIUI运算律：ab=b.a；%)b=入(a.b】aXb)b+b),c=a,c+b,c.坐标运算：设两个非零向量a=(x,y)b=(x,y),则a.b=xx+yy.11221212若a-(,y),则a2=X+y2,或IaI=JX2+族.设a=(x,y),b=(V),则可b-x1+y1y2=Ea与b的夹角，则设a、b都是非零向量，a=0y),b=(2,y2),Ca.bXXyycos9=r-&工HN.眄，彳恒书平面向毋部础11i口声习平面向星如强点小结一、向量的基本概念1.向量的
5、概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示.注意：不能说向量就是有向线段，为什么？提示：向量可以平移.举例1已知A(12),B(4,2),则把向量AB按向量a=(1,3卜严移后得到的向量是-结果：(3,0)零向量：长度为。的向量叫零向量，记作：0，规定：零向量的方向是任意的；3 .单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量世二)；AB4 .相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5.平行向量(也叫共线向量)：方向相同或相反的非零向量ab叫做平行向量，记作：ab,规定：零向量和任何向量平行.注：相等向量一定是共线
6、向量，但共线向量不一定相等：两个向量平行与与两条宜线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条宜线平行不包含两条宜线重合；平行向量无传递性！(哽殷)；三点A、B、C共线一AB、AC共线.6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量a的相反向量记作.a举例2如下列命题：(1)若|ab,则a=b.(2)两个向其相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同.(3)若AB=DC,则ABCD是平行四边形-(4)若ABCD是平行四边形，则AB=DC.(5)荐abb=c,则a=c.(6)若a/b，bc则ac其中正确的是结果：(4)(5)二、向量的表示方法1 .几何表示：用带箭头的有向线段表示
7、，如AB,注意起点在前，终点在后；2 .符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如a,b,C等；3 .坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与X轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j为基底，则平面内的任一向量a可表示为a=xi+yj=(x,y),称(x,y)为向量a的坐标，a=(x,y)叫做向量a的坐标表示.结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.三、平面向量的基本定理定理设e,e同一平面内的一组基底向量，a是该平面内任一向量，则存在唯一实数对12(A)，使a二格+入学.定理核心：a=eAe;从左向右看，是对向量a的分解，且表达式唯一；反之，是对向量a的合成(3)向量的正交分
8、解：当e,e时，就说a=Ae+2e为对向量a的正交分解.121122举例3(1)若a=(i),b=(1,J)，c=(J2)，则C=.结果：；a_；b.4 2)下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是BAe=(0,0),e=(1,_2)Be=(J21e(5,7)CeW3,5),e=(6,10)D.e=(2,.3),e12121_21224)(3)已知AD,BE分别是AABC的边BC,AC上的中线,且AD=a，BEb，则BC可用向量a,b表示为-F架：a+M.33一一一一一(4)已知zABC中，点D在BC边上，且CD=2DB,CD=rAB+SAC，则r+s=的值是.结果：O.四、实数与向量的积实
9、数入与向量a的积是一个向量，记作入a,它的长度和方向规定如下：(D模：IAal=I入LIal(2)方向：当入0时，N的方向与a的方向相同，当入Vo时，入a的方向与a的方向相平面!J础知i!句；I反，=0时，a=b,注意：Aa丰0.五、平面向量的数量积1 .两个向量的夹角：对于非零向量a,b,作OA=a,OB=b,则把三AOB=：9(0共9共爪)称为向量a,b的夹角.当9=0时，a,b同向；当9=爪时，a,b反向；当9=?时，a,b垂直.2 .平面向量的数量积：如果两个非零向量a,b,它们的夹角为9,我们把数量Iailblcos9叫做a与b的数量积(或内积或点积),记作：a.b,BPa.b=a.
10、bcos9.规定：零向量与任一向量的数量积是0.注：数量积是一个实数，不再是一个向量.钠4(I)ZkABC中，IABl=3,AC=4,BC=5,贝JAB.BC=.结果：-9.(2)已知a=(1,),%=(|0,)|，,c=a+kb,d=ab,C与d的夹角为爪，FJk=.结果：1.(2) (l2)4(3)已知a=2,b=5,a.b=-3,则a+b=.结果：.G(4)己知a,b是两个非零向量，且Ial=Ibl=Iab|,则a与a+b的夹角为.结果：30.3.向量b在向量a上的投影：IbIcos9,它是一个实数，但不一定大于0.举例5已知a=3,b=5,且ab=12,则向量a在向量b上的投影为.结果
11、：12.一54 .a.b的几何意义：数量积a.b等于a的模ab在a上的投影的积.5 .向量数量积的性质：设两个非零向量a,b,其夹角为9,贝I：(1) aJba.b=0；(2)当a、b同向时，a.b=|a|.|b|,特别地，=aa=aaJs；a.b=a.b是a、b同向的充要分条件；当a、b反向时，a.b=-a.ba.b=一ab是a、b反向的充要分条件；当9为锐角时，ab0,且a、b不同向，ab0是9为锐角的必要不充分条件；当9为钝角时，a.b0,且a、b不反向；a60是9为钝角的必要不充分条件.非零向量a,b夹角9的计算公式：cos9=ra.b共IallbIaWbl举例6已知a=(入2入)，b
12、=(3入,2),如果a与b的夹角为锐角，则入的取值范围是.结果：入。且3(2)已知AOFQ的面积为S，且OF.FQ=I,若0).用k表示ab；求a.b的最小值，并求此时a与b的夹角9的大小.结果：ab1(kTof-；最小值为咚，4k/9=60六、向量的运算1 .几何运算(1)向量加法运算法则：平行四边形法则；三角形法则.运算形式：若AB=aBC=b,则向量AC叫做a与b的和，即a+b=AB+BC=AC；作图：略.注：平行四边形法则只适用于不共线的向量.平面扁她础知以告JJ1(2)向量的减法运算法则：三角形法则.运算形式：若AB=a,AC=b，则9一b=AB-Ae=CA，即由减向量的终点指向被减
13、向量的线占八、作图：略.注：减向量与被减向量的起点拜同.7(1)化简：AB+BC+CD=1ABADDC,：(ABCD)(ACBD)结果：AD!CB:0：_(2)若正方形ABCD的边长为1,ABa=,BC=b.AC=，则a+b七CJ结果：2(3)若。是ABC所在平面内一点，且满足Lb-oJJobqc-aol,则4abc的形状为结果：直角三角形：(4)若D为ZSABC的边BC的中点，ZXABC所在平面内有一点P，满足PA+BPCP=0,设限=入，则入的值为IPDI结果：2：(5)若点。是ABC的外心，且OA+OB+CO=0，则AABC的内角C为一果：120.2 .坐标运算：设a=(x,y),b=(
14、x,y),则1122(1)向量的加减法运算：a+b=(x+x,y+y),ab=(xXyy).1?JIJ21212举例8已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若AP=AB+AAC入仁R),则当入=一时，点P在第一、三象限的角平分线上.结果：1；2则+y=一结果：已知A(2,3),B(1,4),且JAB=(Sinx1Cosy).x,yq峭(3)已知作用在点A(U)的三个力(3,4)，F=(25)，F=(3,1)，则合力F=F+F+F的终点坐标是结果：(9,1).(2)实数与向量的积：=py)=,).123若A(x,y,B(X)J,则AB=(X24鹏一y),即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.结果：(1,11 ).(7,9).举例9设A(2,3),(B-1,5)
