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1、 32.2复数代数形式的乘除复数代数形式的乘除运算运算 掌握复数的乘法、除法的运算法则并能熟练准确地运用法则解决相关的问题 本节重点:复数代数形式的乘除运算 本节难点:复数除法 1复数的乘法按多项式乘法的规则进行运算,结果中的i2要换成1,并且把实部与虚部分别合并,两个复数的乘积仍然是一个复数 2i的幂的周期性 i4n1i,i4n21,i4n3i,i4n41(nN*)1复数乘法运算法则 设z1abi,z2cdi(a、b、c、dR),则 z1z2(a b i)(c d i).2复数乘法满足交换律、结合律及分配律 对任意z1、z2、z3C,有 z1z2;(z1z2)z3 ;z1(z2z3).(ac
2、bd)(adbc)iz2z1z1(z2z3)z1z2z1z3 例1(1)设复数z11i,z2x2i(xR)若z1z2为实数,求实数x;(2)计算:(4i5)(62i7)(7i11)(43i);(3)计算:(abi)(abi)(a,bR)分析(1)利用乘法法则先求出z1z2,由z1z2的虚部等于零可求得x.(2)主要利用i的性质:i4n1,i4n11,i4n21,i4n3i(nN*)(3)也可直接应用平方差公式 解析(1)z1z2(1i)(x2i)x2ixi2(x2)(2x)i,因为z1z2是实数,所以x20,所以x2.(2)原式2(4i)(3i)(7i)(43i)2(123i4ii2)(284
3、i21i3i2)2(117i)25(1i)4739i.(3)原式a2abibaib2i2a2b2.点评复数的运算顺序与实数的运算顺序相同,即先进行高级运算(乘方、开方),再进行次高级运算(乘、除),最后进行低级运算(加、减)如含有i的幂运算,先利用i的幂的周期性,将其次数降低,然后再进行四则运算(1)若复数(1bi)(2i)是纯虚数(i是虚数单位,b是实数),则b等于()答案A(2)(2009江苏,1)若复数z1429i,z269i,其中i是虚数单位,则复数(z1z2)i的实部为_ 答案20 解析本题主要考查复数的概念及运算 z1429i,z269i,(z1z2)i(429i)(69i)i20
4、2i.复数(z1z2)i的实部为20.分析对于复数的运算,除了应用四则运算法则之外,对于一些简单的要知道其结果,这样起点就高,计算过程就可以简化,达到快速简捷出错少的目的 点评复数的除法与实数的除法有所不同,实数的除法可以直接地约简,得出结论,但复数的除法因为分母为复数一般不能直接约分化简,复数除法的一般作法是,由于两个共轭复数的积是一个实数,因此两个复数相除,可以先把它们的商写成分式的形式,然后把分子分母都乘以分母的共轭复数并把结果化简即可 答案A 答案A 解析(1)设zxyi(x,yR)则集合P(x,y)|x2y26y50(x,y)|x2(y3)24,故P表示以(0,3)为圆心,2为半径的
5、圆 设wabi(a,bR)zx0y0iP(x0,y0R)且w2iz.例4计算:ii2i3i2011.分析由题目可获取以下主要信息:已知虚数单位i的幂,求和 解答本题可利用等比数列求和公式化简或者利用in的周期性化简 点评1.虚数单位i的周期性 i4n11,i4n21,i4n3i,i4n1(nN)n也可以推广到整数集 inin1in2in30(nN)计算:12i3i22012i2011.解析设S12i3i22012i2011 则iSi2i23i32011i20112012i2012 得(1i)S1ii2i20112012i2012 12012(i4)5032013 对于n个复数z1、z2、zn,如果存在n个不全为零的实数k1、k2、kn,使得k1z1k2z2knzn0,就称z1、z2、zn线性相关若要说明复数z112i,z21i,z32线性相关,那么可取k1,k2,k3_.(只要写出满足条件的一组值即可)答案C 答案B 3(2010江西理,1)已知(xi)(1i)y,则实数x,y分别为()Ax1,y1 Bx1,y2 Cx1,y1 Dx1,y2 答案D 解析由(xi)(1i)y得(x1)(x1)iy 二、填空题 4已知复数z032i,复数z满足zz03zz0,则复数z_.答案4