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1、圆的切线的圆的切线的性质性质及及判定判定定理定理.OlBAOr rMl本节专门讨论直线与圆相切的情形.我们知道我们知道,直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系，这直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系，这是从直线与圆的公共点个数刻画的是从直线与圆的公共点个数刻画的.（1）直线与圆有两个公共点，称直线与圆相交直线与圆有两个公共点，称直线与圆相交;(dr).O相交相交相切相切相离相离l因为因为经过一点只有一条直线与已知直线垂直经过一点只有一条直线与已知直线垂直，所以所以经过圆心垂直于切线的直线一定过切点；经过圆心垂直于切线的直线一定过切点；反之反之,过切点且垂直于切线的直线也一定过圆心过切点且垂直
2、于切线的直线也一定过圆心.由此得到：由此得到：1 切线的性质定理切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径圆的切线垂直于经过切点的半径切线的性质定切线的性质定理的推论理的推论:经经过圆心且垂直过圆心且垂直于切线的直线于切线的直线必经过切点必经过切点切线的性质定切线的性质定理的推论理的推论:经经过切点且垂直过切点且垂直于切线的直线于切线的直线必经过圆心必经过圆心O.lA如图如图,点点A是是 O与直线与直线 的公共点的公共点,且且 OA.在直线在直线 上任取异于点上任取异于点A的点的点B,则则OAB是是 RtllllAOB2.而而OB是是Rt OAB的斜边，因此，都有的斜边，因此，都有OBOA,
3、即即B一定点在圆外由点一定点在圆外由点B的任意性的任意性可知，圆与直线只可知，圆与直线只有一个公共点有一个公共点，因此是圆的切线由此可得：，因此是圆的切线由此可得：l切线的判定定理切线的判定定理：经过半经过半径的外端并且垂直于这条径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线半径的直线是圆的切线根据作图根据作图,直线直线l是是 O切线满足两个条件：切线满足两个条件：1.经过半径的外端；2.与半径垂直应用格式(几何语言):OAOA是OO的半径OAlOAl于Al l是OO的切线.下面两个反例说明只满足其中一个条件的直线不是圆的切线：下面两个反例说明只满足其中一个条件的直线不是圆的切线：定理说明：定理说
4、明：在此定理中，题设是在此定理中，题设是“经过半径的外端经过半径的外端”和和“垂直于这条半径垂直于这条半径”，结论为，结论为“直线是圆的切直线是圆的切线线”，两个条件两个条件缺一不可缺一不可，否则就不是圆的切线，否则就不是圆的切线.O.lAO.lAB应用：应用：例如图，例如图，AB是是 O的直径的直径,O过过BC的中点的中点D，DEAC.求证：求证：DE是是 O的切线的切线AODECB证明：连接证明：连接ODBDCD，OA=OB,OD是是ABC的中位线的中位线.OD/AC.又又 DEC90,ODE90.又又 D在圆周上在圆周上,DE是是 O的切线的切线.例如图，例如图，AB是是 O的直径的直径
5、,C为为 O上一点，上一点，AD和过点和过点C的切线互相垂直，垂足为的切线互相垂直，垂足为D.求证：求证：AC平分平分DABAODCB证明：连接证明：连接OCCD 是是 O的切线，的切线，OCCD.又又ADCD,OC/AD.ACO CAD.又又OC=OD,CAO ACO CAD CAO,故故AC平分平分DAB例例3作经过一定点作经过一定点C的的圆的切线圆的切线思考：定点思考：定点C在圆的什么位置？在圆的什么位置？COO.C(1)点C在圆上()点C在圆外作法：连接OC，过点C作ABOC则直线AB就是所要作的切线BA证明：直线AB经过点C，并且ABOC由切线的判定定理可知，AB就是 O的切线，切点
6、是点C作法：连接作法：连接OC,以以OC为直径的为直径的圆为圆为 O1，与与 O 相交于两点相交于两点P和和P.连接连接CP和和CP,则则CP和和CP都是过已知点都是过已知点C所引所引 O的切的切线线PPO1证明：证明：OPC是是 O1内半圆内半圆上的圆周角，上的圆周角，OPC=90.PCOP.又又OP是是 O的半径，的半径，PC经过经过点点C，PC就是所要作的切线就是所要作的切线.同理，同理，CP也是所要作的切线也是所要作的切线.课堂小结：课堂小结：一一 判定一条直线是圆的切线有判定一条直线是圆的切线有三三种方法种方法1 根据定义直线与圆有唯一的公共点2 根据判定定理3，根据圆心到直线的距离
7、等于半径 二 添辅助线的方法则连接圆心与交点则连接圆心与交点则过圆心作直线的垂线段则过圆心作直线的垂线段1，已知直线与圆有交点，2，没有明确的公共点，OCAB练习练习1.如图如图A是是 O外的一点，外的一点，AO的延长线交的延长线交 O于于C，直线，直线AB经过经过 O上一点上一点B，且，且ABBC，C30.求证：直线求证：直线AB是是 O的切线的切线.证明：连结证明：连结OB,OB,OB=OC,AB=BC,C=30OBC=C=A=30AOB=C+OBC=60ABO=180(AOB+A)=180(60+30)=90 ABAB是是OO的切线的切线.题目中题目中“半径半径”已有，已有，只需证只需证
8、“垂直垂直”,即可即可得直线与圆相切得直线与圆相切.CABDOAOOC，OCAA30,BOC60.BOC是等边三角形是等边三角形.BDOBBC，DBCD30.DCO90.DCOC.DC是是 O的切线的切线.练习练习2已知：如图，已知：如图，AB是是 O的直径，的直径，D在在AB的的延长线上，延长线上，BDOB，C在圆上，在圆上，CAB30,求证：求证：DC是是 O的切线的切线.证明：连证明：连OC、BC，练习练习3 若若RtABC内接于内接于 O,A=30.延长斜边延长斜边AB到到D，使，使BD等于等于 O的半径的半径,求证：求证：DC是是 O的切线的切线.DCAB.O300300120060
9、0600600分析分析:如图如图O练习练习4:4:当圆心到直线的距离等于圆的半径时，该直线是这个圆的切线.已知：O的圆心O到直线l 的距 离等于O的半径r.求证：直线l 是O的切线.证明：过点O作OAl，A为垂足.AOAOAd=rd=r 点A在O上OA是O的半径 l 是O的切线题目的条件中题目的条件中“垂直垂直”和和“距离等于半径距离等于半径”都没有明确显都没有明确显示出来，就必须先作出示出来，就必须先作出“垂直垂直”，再证，再证“距离等于半径距离等于半径”1已知：在已知：在ABC中，中，ABAC，以，以AB为直径作为直径作 O交交BC于于D，DEAC于于E，如图，如图(1)，求证：，求证：D
10、E是是 O的切线的切线.2如图如图(2)，已知在，已知在ABC中，中，ADBC于于D，ADBC/2，E和和F分别为分别为AB和和 AC的中点，的中点，EF与与AD交于交于G，以，以EF为直径作为直径作 O，求证：，求证：O与与BC相切相切.3如图如图(3)，ABC内接于内接于 O，P、B、C在一直线上，且在一直线上，且PA2PBPC，求证：求证：PA是是 O的切线的切线.图1图2图3思考：思考：分析：分析：因为因为DE经过经过 O上的点上的点D，所以要证明，所以要证明DE为切线，可连结为切线，可连结OD，再证再证明明DEOD.分析：分析：要证明以要证明以EF为直径的为直径的 O与与BC相切，只要过相切，只要过O作作OHBC于于H，证，证 明明OH等于直径等于直径EF的一半的一半.分析：分析：PA过过 O上一点上一点A，要证，要证PA为切线，只要证为切线，只要证PAAO，为此，为此，作直径作直径AD，并连结，并连结CD，只要证，只要证PAAD即可即可.
