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1、2023-9-7第一章 行列式1上课绪绪 论论线性代数是是中学代数的继续和发展。线性代数是是中学代数的继续和发展。一、课程内容一、课程内容 “线性线性”即一次，一次函数、方程、不等式即一次，一次函数、方程、不等式均称为线性的。本课程一重要内容均称为线性的。本课程一重要内容解含解含n个个未知数、未知数、m个方程的任一线性方程组。课程给出个方程的任一线性方程组。课程给出了一套有关线性方程组的理论，其中用到一些了一套有关线性方程组的理论，其中用到一些新知识，如矩阵新知识，如矩阵(Ch2)、向量、向量(Ch3)及相关概念。及相关概念。行列式行列式(Ch1)与矩阵概念是人们从求解线性与矩阵概念是人们从求
2、解线性方程组的需要中建立起来的，又远远越出求解方程组的需要中建立起来的，又远远越出求解线性方程组的范围，成为重要的数学工具。矩线性方程组的范围，成为重要的数学工具。矩阵在众多数学分支以及自然科学、现代经济学阵在众多数学分支以及自然科学、现代经济学、2023-9-7第一章 行列式3工程技术等方面也有广泛应用。教材在工程技术等方面也有广泛应用。教材在Ch4进一进一步研究矩阵的有关问题，步研究矩阵的有关问题，Ch5也以矩阵为工具也以矩阵为工具。二、课程应用二、课程应用 线性问题广泛存在于自然科学、管理科学线性问题广泛存在于自然科学、管理科学和技术科学的各个领域，某些非线性问题在一和技术科学的各个领域
3、，某些非线性问题在一定条件下也可以线性化，在线性问题中一次不定条件下也可以线性化，在线性问题中一次不等式又可以通过引进新变量转化为等式等式又可以通过引进新变量转化为等式(“线性线性规划规划”课程课程)即线性方程。即线性方程。因此线性代数的概念和方法应用广泛，尤因此线性代数的概念和方法应用广泛，尤其计算机的应用使得复杂的线性模型得以迅速其计算机的应用使得复杂的线性模型得以迅速、准确求解。准确求解。2023-9-7第一章 行列式4三、课程特点三、课程特点学习方法学习方法五、参考书目五、参考书目1.练习卷练习卷2.线性代数学习指导线性代数学习指导代数繁且抽象。只有一步步稳打稳扎，才能学好代数繁且抽象
4、。只有一步步稳打稳扎，才能学好.预习预习适当适当笔记笔记适时适时复习复习独立独立作业作业及时及时小结小结四、作业要求四、作业要求:及时、独立完成及时、独立完成;格式格式;上交时间上交时间.2023-9-7第一章 行列式5第一章第一章 行列式行列式2023-9-7第一章 行列式6来源来源:解线性方程组解线性方程组11112212112222(1)(2)a xa xba xa xb 考虑用考虑用消元法消元法解解为了求为了求x1,需先消去需先消去x2,于是于是2212(1)(2)aa 得得112212211122212()a aa axb ab a 当当 时时,112212210a aa a 122
5、212111221221b ab axa aa a 1.1 行列式的定义行列式的定义一一.二、三阶行列式二、三阶行列式1.二阶行列式二阶行列式2023-9-7第一章 行列式7类似有类似有:211121211221221b ab axa aa a 这就是两个未知量两个方程的线性方程组在条件这就是两个未知量两个方程的线性方程组在条件021122211aaaa下的公式解下的公式解.公式解的缺点公式解的缺点:不便于记忆不便于记忆改进方法改进方法:引入新引入新定义一定义一:令令abcdadbc 并把此式叫做一个二阶行列式并把此式叫做一个二阶行列式.(结果是个数结果是个数)等式左端是记号等式左端是记号,右
6、端是行列式的算法右端是行列式的算法.记1112112212212122aaa aa aaa(两行两列四元素组成两行两列四元素组成)(两项的代数和两项的代数和)122212111221221b ab axa aa a 2023-9-7第一章 行列式8公式解的便公式解的便于记忆形式于记忆形式11DxD 1112122211122122ababDxaaDaa 记法记法:(2)x1、x2分子不同分子不同,其行列式分别是把系数行其行列式分别是把系数行列式中列式中x1、x2的系数列换成常数项列的系数列换成常数项列(保持原有保持原有的上下相对位置的上下相对位置)所得行列式所得行列式.11 222 2baba
7、11122122aaaa 211121211221221b ab axa aa a 122212111221221b ab axa aa a (1)x1,x2分母的行列式由方程中未知数系数按分母的行列式由方程中未知数系数按其原有的相对位置排成其原有的相对位置排成“系数行列式系数行列式”2023-9-7第一章 行列式9定义二定义二:令令111213212223313233aaaaaaaaa 112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a 并把此式叫做一个三阶行列式并把此式叫做一个三阶行列式.等式左端是记号等式左
8、端是记号,右端是行列式的展式右端是行列式的展式.aij:第第i行第行第j列的元素列的元素 它可以由一个很简单的规则来说明它可以由一个很简单的规则来说明即三阶即三阶行行列式的对角线规则列式的对角线规则.(三行三列九元素组成三行三列九元素组成)(六项的代数和六项的代数和)2.三阶行列式三阶行列式2023-9-7第一章 行列式10可以验证，可以验证，三元线性方程组三元线性方程组的解的解当当D 0时可以表示为时可以表示为:312123,DDDxxxDDD 111122133121122223323113223333(3)(4)(5)a xa xa xba xa xa xba xa xa xb 2023
9、-9-7第一章 行列式11其中其中:111213212223313233aaaaaaaaa112132222333233baabaabaa111132122331333abaabaaba111212122231323aabaabaab例例1 解方程组解方程组123123123302221xxxxxxxxx DD1D2D32023-9-7第一章 行列式12解解311212111 011212111 301222111 310212111 所以所以:12319,6,22xxx 123123123302221xxxxxxxxx DD1=D2=D3=3(-1)(-1)=121(-1)21(-1)(-1
10、)1 12(-1)321 2=2212=1=12=92023-9-7第一章 行列式13小结小结:引入二引入二(三三)阶行列式使二阶行列式使二(三三)元线性方程组元线性方程组的公式解具有同样的规律的公式解具有同样的规律.人们自然想把这一规人们自然想把这一规律推广到律推广到n(n3)个未知量的线性方程组的解法上个未知量的线性方程组的解法上.显然显然,能否推广关键在于怎样恰当地定义能否推广关键在于怎样恰当地定义二二.n阶行列式阶行列式1.二、三阶行列式的推广二、三阶行列式的推广四阶行列式：四阶行列式：4 2 个元素组成个元素组成n阶行列式：阶行列式：111212122212nnnnnnaaaaaaa
11、aan 2 个元素组成个元素组成n阶行列式的形式阶行列式的形式n阶行列式的实质阶行列式的实质?表示代数和表示代数和每项组成每项组成?共多少项共多少项?各项符号各项符号?观察三阶行列式展开式的特点思考上述问题：观察三阶行列式展开式的特点思考上述问题：111213212223313233aaaaaaaaa 112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a(1)每项组成每项组成:(2)多少项多少项:四阶行列式共四阶行列式共4!24项，对角线仅项，对角线仅8条，条，(3)各项符号各项符号:四阶以上是否适用？四阶以上是否
12、适用？取自不同行不同列的三元之积取自不同行不同列的三元之积.由排列组合知识，共由排列组合知识，共3!6项项.有多少不同行、不同列的三元之积有多少不同行、不同列的三元之积?对角线法则对角线法则.对角线法则对四阶以上行列式不适用对角线法则对四阶以上行列式不适用。为确定行列式展式中各项符号为确定行列式展式中各项符号,先介绍先介绍排列理论排列理论(1)排列排列:自然数自然数1,2,n组成的一个有序数组组成的一个有序数组i1i2in称为称为一个一个n级级(元元)排列排列.例例 123、231、312、自然排列自然排列:(2)逆序逆序:大数码排在小数码前面大数码排在小数码前面,称两者构成一称两者构成一个逆
13、序个逆序.排列中的逆序总数称作排列中的逆序总数称作逆序数逆序数,记记2.排列的逆序数排列的逆序数 51243、41352、五级排列五级排列.不是排列不是排列.1242三级排列三级排列,共共3!6种；种；一般排列：不按自然数顺序排列一般排列：不按自然数顺序排列.()(3241)例例2(12345)2+1+1=4;(1)2n n=0;=5;(51243)(1)(2)21)n nn 按自然数顺序排列按自然数顺序排列(左数码左数码1)1)级排列的集合中，奇、偶级排列的集合中，奇、偶排列各占一半。排列各占一半。证证:设设n!个排列中奇、偶排列分别有个排列中奇、偶排列分别有p、q个个.将将p个奇排列经同一
14、对换如个奇排列经同一对换如(1，2)可得可得p个偶排列个偶排列,故故pq；同理可得同理可得q p.所以所以 pq推论推论 奇奇(偶偶)排列可经奇排列可经奇(偶偶)数次对换变成自然排列数次对换变成自然排列利用排列的逆序数可确定行列式中各项的符号利用排列的逆序数可确定行列式中各项的符号.先看三阶行列式中各项符号有何规律先看三阶行列式中各项符号有何规律.111213212223313233aaaaaaaaa 112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a各项正负号与各项正负号与列列标排列标排列:正号正号:123,2
15、31,312负号负号:321,213,132(偶排列偶排列)(奇排列奇排列)定义：用符号定义：用符号111212122212nnnnnnaaaaaaaaa表示的表示的n阶行列式指的是阶行列式指的是 n!项的代数和项的代数和;这些项是这些项是一切可能一切可能的取自表的取自表(1)的不同行与不同的不同行与不同列的列的n个元素的乘积个元素的乘积 ；1212njjnjaaa 项项 的的符号符号为为1212njjnjaaa111212122212(1)nnnnnnaaaaaaaaa1 2 31231 2 3111213()212223123313233(1)j j jjjjj j jaaaDaaaaaa
16、aaa 故故3.n阶行列式阶行列式1 2()(1).nj jj 记作：记作：determinant 简记作简记作易证：易证：1 2121 21112121222()1212(1)nnnnnj jjijjjnjnj jjnnnnaaaaaaaaaaaaa det()ija1 21 21 12 21112121222()()12(1)nnn nnni iij jji ji ji jnnnnaaaaaaaaaaaa 1 2121 2()12(1)nnni iiiii ni iia aa (也可也可)特别特别:n=1,一阶行列式一阶行列式(与绝对值的区别与绝对值的区别!)|a|a2011121222000nnnnaaaaaa 上三角形上三角形行列式行列式 下三角形下三角形行列式行列式 对角形对角形行列式行列式 11111112122121211111000000000000nnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaa 例例3 4.特殊行列式特殊行列式(1)2(1)n n 11212212000nnnnaaaaaa 1122000000nnaaa a11a22ann a1n a2
