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1、2.2 2.2 各向同性媒质中的平面电磁波各向同性媒质中的平面电磁波第四章第四章 薄膜波导的模式理论薄膜波导的模式理论4.1 均匀薄膜波导均匀薄膜波导 结构：结构：y,z方向无限延伸方向无限延伸 x x方向尺寸方向尺寸d d接近于传输光波长量级接近于传输光波长量级 折射率：覆盖层、芯区、衬底分别为：折射率：覆盖层、芯区、衬底分别为：n3、n1、n2，对称波导对称波导:n2=n3 非对称波导非对称波导:n2 n3321nnnn2-an1n3aozx 用波动理论分析薄模波导中的波用波动理论分析薄模波导中的波方法方法：求解满足边界条件的麦氏方程的解，分析其特性求解满足边界条件的麦氏方程的解，分析其特
2、性 麦氏方程和边界条件麦氏方程和边界条件条件：均匀、无损薄模波导条件：均匀、无损薄模波导:0HjEEjH)(zzyyxxxyzzxyyzxEaEaEajyHxHaxHzHazHyHa)(0zzyyxxxyzzxyyzxHaHaHajyExEaxEzEazEyEa方程简化：方程简化：（1 1）y方向无限延伸，场在该方向不受限制方向无限延伸，场在该方向不受限制0yzje（2 2）光波在）光波在z方向为行波，在该方向场变化可用方向为行波，在该方向场变化可用表示表示有有jzyzxzyxyEjdxdHHjHjdxdEHE00yzxzyxyHjdxdEEjEjdxdHEH0 方程组方程组1 1：(TE模）
3、模）方程组方程组2 2：(TM模）模）4.1.1 TE模：模：将（将（4.124.12b b)两边对两边对x求导，将求导，将（4.124.12a a)中的中的Hx和和（4.124.12c c)中的中的Hz代入代入（4.124.12b b),得：得：0222022yyEnkdxEd-亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程薄膜波导中的导波：薄膜波导中的导波：1.导波的场方程：导波的场方程：zjaxyyyeeEEnkaxEnkdxEd ,0)(33232022322320223zjxyxyyexkEEnkkaxEnkdxEd)cos(,0112212022212022zjaxyyyeeEEnkaxEnkdxEd2
4、2222202222222022 ,0敷层：敷层：薄膜：薄膜：衬底：衬底：将上式中将上式中 Ey的解代入的解代入（4.124.12a a)和和（4.124.12b b)，可得三个区域中，可得三个区域中的磁场分量的解的磁场分量的解yxyxyxEHEHEH30320210103330222101sinjEHjEHxkEjkHyzyzxxz在两种不同介质分界面电磁场边界条件：在两种不同介质分界面电磁场边界条件：在在x=-a面：面：在在x=a面：面：zzyyzzyyHHEEHHEE31312121 ,将电场、磁场各分量代入边界条件，得到：将电场、磁场各分量代入边界条件，得到：3313122121sin
5、cossincosEakkEEakEEakkEEakExxxxxxE1、E2、E3间的关系取决与波导的激励条件间的关系取决与波导的激励条件由以上式消去由以上式消去E1、E2、E3，得，得 tan )tan(tan )tan(313212qkakakkpkakakkxxxxxxxx或式中式中p=0，1，2，；q=0，1，2，。将上两式分别相加和相减，即得将上两式分别相加和相减，即得2tan21tan21tantan31213121nkkmkkdkxxxxx式中式中 d=2a，m=p+q=0，1，2，,n=p-q=，-2，-1，0，1，2，,当当m=p+q=偶数，偶数，n=0:当当m=p+q=奇数
6、，奇数，n=1:)cos(11xkEExy)sin(11xkEExyxxkk3121tan21tan21均匀薄膜波导的特征方程均匀薄膜波导的特征方程mdkx3121tantan4.1.2 TM模：模：采用类似方法可得波导中的解：采用类似方法可得波导中的解：TMTM模式的电磁场分量）模式的电磁场分量）axeHH-axeHHax exkxkHHaxyaxyzjxxy )sin()cos()(33)(221132利用（利用（4.1-3)式，求得各区域电场分量式，求得各区域电场分量E1x、E2x、E3x及及E1z、E2z、E3z 利用边界条件，可得利用边界条件，可得TM模的特征方程：模的特征方程：23
7、2131222121232131222121tantan21tantannknnknmnknnkndkxxxxx（作业）（作业）4.1.3 传播模和辐射模传播模和辐射模1.传播模（导波模）传播模（导波模）传播模条件：传播模条件：2、3为实数，为实数，z方向的相位常数方向的相位常数 必为正实数必为正实数电磁场特性：电磁场特性：Z方向：呈无衰减的正弦的行波方向：呈无衰减的正弦的行波x方向：衬底、敷层场随离开芯层表面的方向：衬底、敷层场随离开芯层表面的距离按指数规律迅速衰减距离按指数规律迅速衰减2.辐射模辐射模传播模条件：传播模条件：2 3为虚数；为虚数；电磁场特性：电磁场特性：x方向：电磁场呈行波
8、特性；方向：电磁场呈行波特性；z方向：电磁场在方向：电磁场在z方向的同时在方向的同时在衬底、敷层形成衬底、敷层形成沿沿x方向的辐射。方向的辐射。或或和和,2220222nk2320223nk32nn 若若 时底出现辐射，即时底出现辐射，即200nk传播模：传播模：只能取离散值只能取离散值电磁场为电磁场为离散谱离散谱1020nknk辐射模：辐射模：可取连续值可取连续值电磁场为电磁场为连续谱连续谱波导中的电磁场可表示为波导中的电磁场可表示为dEbEaEbEaEnkTMTEmlTMlmlTElll)()(200114.1.4 截止参数截止参数模式截止：导波中某个模式开始出现衬底辐射，这个模式截止。模
9、式截止：导波中某个模式开始出现衬底辐射，这个模式截止。条件：条件：02220222nk20nk 2320222023222021202nknknknkkxTE模的截止波长：模的截止波长：(2=0,=k2n2代入代入TE模特征方程）模特征方程）22212322122214nnnntgmnnacm=0 TE模模22212322122214nnnntgnnacTM模的截止波长：模的截止波长：22212322231122214nnnnnntgmnnac比较比较TE模和模和TM模截止波长：模截止波长：)()(mcmcTMTETE0模截止波长最长，截止频率最低，称其为模截止波长最长，截止频率最低，称其为基
10、模基模或或主模式主模式4.1.5 4.1.5 单模传输和模式数量单模传输和模式数量单模传输：在波导中只能传输一种模式单模传输：在波导中只能传输一种模式薄模波导的截止波长薄模波导的截止波长：c(TE0)c(TM0)c(TE1)c(TM1)单模传输条件：单模传输条件：c(TM0)0 c(TE0)。当当n1 n3,c(TE0)c(TM0)模式数量模式数量：由截止时的特征方程由截止时的特征方程3222102nndm（1 1）m恰为整数，传播的模式的波指数为恰为整数，传播的模式的波指数为0，1，（，（m-1)(2)m不为整数，传播的模式个数为与它最靠近又比它大的整数。不为整数，传播的模式个数为与它最靠近
11、又比它大的整数。（3）总模式数量）总模式数量=TE模式数量模式数量+TM模式数量模式数量基模：截止波长为最长的模。基模：截止波长为最长的模。4.1.6 导波的场分布导波的场分布:在薄模中：在薄模中：)cos(1xkExy场强场强特征方程特征方程amkx22212232321akx（1）m=0,TE0模在在x=-a处：处：在在x=a处：处：32coscosyyEEaxm32321yE32212023213212022212xxkknnkknn2d ,m3232xnnxm(场振幅峰值位置）偏向衬底场振幅峰值位置）偏向衬底n3n1n2波长波长 0对场强分布的影响：对场强分布的影响：2、3随随 0变化
12、，变化，（1）0 2 ，当，当 2=0时，时，TE0模为临界状态，模为临界状态，Ey的最大的最大值在衬底边界，介质值在衬底边界，介质2中的波无衰减延伸到无限远处，能量不能中的波无衰减延伸到无限远处，能量不能很好地集中在薄膜之中很好地集中在薄膜之中（导波截止导波截止）。）。（2）0 2、3增大，能量集中在薄膜区（远离截止）增大，能量集中在薄膜区（远离截止）（3）0 0，2=3=/2，2和和 3 为无穷，能量全部集中在薄为无穷，能量全部集中在薄膜区膜区（几何光学的情形几何光学的情形）。）。（2）TE1模模（m=1）:-axa k1x2a=+2+3 k1x(TE0)则则 2和和 3(TE1)n2 n
13、3 H HTE波xn3n1n2zn1 n2 n3 H H TM波水平极化波垂直极化波),(:)(:zxyHHHEE)(:),(:yzxHHEEE2.2.菲涅耳公式菲涅耳公式RkjRkjRkjeEEeEEeEE 211022011011反射系数折射系数212010220101jjeTEETeREER22111122112211coscoscos2nT ;coscoscoscosnnnnnnR水平极化波：垂直极化波：21121121122112coscoscos2nT ;coscoscoscosnnnnnnR（2-7）全反射条件：n1n2，c190，c=sin-1(n2/n1)全反射情况下的R，介
14、质1中的波：水平极化波：水平极化波：将全反射时cos2代入R(式2.2-11a)平面波的全反射，导行波的概念平面波的全反射，导行波的概念1sinsin1sin1cos1222112221222nnjnn此时，取此时，取 .221211cossinsintan21222121112221211211sincos1sincoscjjennjnnnnjnneRR210210a)1212121121211cossintan 10c)-(2 cossinsintan1nnRc全反射时：全反射时：讨论：临界状态：1=c，21=0，反射不引起相位突变90：cos1 0 21 180 c 190：0 2118
15、0 垂直极化波：垂直极化波：将全反射时cos2代入R式(2.2-10a)221222111cossinsintan21222111212221112211sincos1sincoscnnjjennjnnnnjnneRR1212122211121222111cossintan cossinsintan1nnnnnnRc 水平极化波与垂直极化波的水平极化波与垂直极化波的 1 1是不同是不同介质介质1 1中波的特点：中波的特点：如图（以水平极化波为例）如图（以水平极化波为例）入射波入射波：sinsin coscos 11011111011101011111 nkkk nkk keeEeEEzxzjk
16、xjkRk jzx其中 反射波反射波：xjkxjkjRk jzxeeeEEE11120111Re 合成波：合成波：)(1101)()()(011111111111)cos(2zkjxxkjxkjzkjzxxzexkEeeeEEEE合成波的变化规律：合成波的变化规律：沿沿z轴方向传播轴方向传播 x方向：方向：按三角函数规律变化，为驻波按三角函数规律变化，为驻波 z方向方向:行波状态，相位常数行波状态，相位常数1101sinnkkz垂直极化波与水平极化波类似。垂直极化波与水平极化波类似。2 2全反射情况下的传递系数全反射情况下的传递系数T T，介质，介质2 2中波的特点中波的特点 以水平极化波为例）以水平极化波为例）将全反射时将全反射时cos 2代入（代入（2.2-11b)cjcjTennjnnneTTcoscos2coscos21sincoscos2111222121111212传递波：传递波：21212101222120220201012sin1sincos2212nnnjknnnjknkkeeeTETeEExzjkxjkjRk jzx)(012111022022121210sin11
