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1、第10讲 开集的可测性 目的：熟悉一些常见的可测集，了解Borel 集类与Lebesgue集类的差别。重点与难点：第10讲 开集的可测性基本内容：一Borel集问题问题1：按按Lebesgue可测集的定义，我们所可测集的定义，我们所 熟悉的哪些集合是可测的？熟悉的哪些集合是可测的？第10讲 开集的可测性问题问题2 2：由：由LebesgueLebesgue测度的性质以及上面测度的性质以及上面所熟悉的可测集，还能构造出哪些可测所熟悉的可测集，还能构造出哪些可测集？所有这些可测集构成什么样的集类？集？所有这些可测集构成什么样的集类？第10讲 开集的可测性（1）开集与闭集的可测性命题1 Rn中任意开
2、长方体都是可测的，且 。证明：我们在前一节已经证明对任意开长方体I，有 ，所以只需证明I是可测的就行了，又由关于可测集定义的讨论，我们只要证明对任意开长方体J，有|ImI|*IIm)(*)(*cIJmIJmJm 第10讲 开集的可测性 注意到 仍是个长方体，故不难得知（这与证明 类似）因此 从而I可测。证毕。IJ)(IJJIJc|,|)(*IJIJm|)(*IJJIJmc|*IIm|*IJJIJJJm )(*)(|*cIJmIJm 第10讲 开集的可测性定义1 Rn中的集合 称为左开右闭长方体。与直线上开集的构造有所不同，Rn中的开集未必可以表示成互不相交的开长方体的并，但可以表示成互不相交的
3、左开右闭长方体之并，即,1|),(1nidxcRXxGiiinn 第10讲 开集的可测性引理1 Rn中的非空开集G都可表示成最多可数个互不相交的左开右闭的长方体之并，即 是左开右闭长方体。证明：对每一正整数K,Rn可以分解成可数个形如 mi是正整数）的互不相交的左开右闭长方体之并。假设K=1时上述长方体中完全包含在G内的那些为 iiiJJG,2/)(2/|)(1kiikinkkmxmxxB ,1ni,2,1)1(iIi第10讲 开集的可测性（有限或可数个）。对于k1，用 表示上述那些完全被G包含但与任何 不相交的长方体。这样就得到可数多个左开右闭的长方体 且它们互不相交，并满足 。如果 ，则存
4、在 ，使 注意到 故当k充分大时，含x的形如Bk的长方体一定完全包含在 中，从而也包含在G ，所以 一定在某个 中，即 )(kiI)1()(klIki iIki1)(GIukiki)(,G 0 GO),(02/1|knkB),(O)(kiI)(,kikiI 第10讲 开集的可测性于是，（2）G型集、F型集、Borel集定理1 Rn中的任意开集、闭集、F型集、G型集均为可测集。证明：由命题1知任一左开右闭长方体J 可测且mJ=|J|，从而由引理1知任意开集可测，进一步闭集、F 型集、G 型集均可测。证毕。,)(kikiIG 第十讲 开集的可测性 注：从定理1可知，可数个F6型集或G8型集的并或交
5、仍是可测的。事实上，由开集经过可数次的交、并、差运算后，所得的集合仍然是可测集。于是，由Rn中所有开集经过上述运算而得的域就是一个可测集类。我们将这个集类记作B（Rn）或B，称为Rn中的Borel集类。B中元称为Rn中的Borel集。因此我们又可以将刚才的结论叙述为：Rn中任一Borel集合是Lebesgue可测集。第十讲 开集的可测性二Borel集类与Lebesgue集类的比较问题问题3 3：根据：根据LebesgueLebesgue外测度及可测集的外测度及可测集的定义，你认为定义，你认为LebesgueLebesgue可测集与可测集与BorelBorel集差别有多大？集差别有多大？第十讲
6、开集的可测性问题问题4 4：对任意集合：对任意集合E E，能否找到包含，能否找到包含E E的的BorelBorel集集GG，使得它们有相同的外测度，使得它们有相同的外测度？问题问题5 5：对上述对上述E E，能否找到包含在，能否找到包含在E E中的中的BorelBorel集集F F，使得它们具有相同的外测度？，使得它们具有相同的外测度？如果如果E E是可测集，情形又如何？是可测集，情形又如何？第十讲 开集的可测性 Lebesgue可测集的结构 Borel集类已包含了我们经常见到的Rn中的大多数集合，然而，的确仍有不少集合不是Borel集，如本章第一节中构造的不可测集显然不可能是Borel集。那
7、么，是否存在Lebesgue可测但却不是Borel集的集合呢？有的，而且很多，我们已经看到，如果一个集合的外测度为0，则它一定可测，但是外测度为0的集合却未第十讲 开集的可测性 必是Borel集，要证明这件事并不困难，比如，可以证明直线上Borel集全体的势为2c。事实上，Lebesgue可测集的全体显然有不大于2c的势，只需证明其势不小于2c就可以了，我们已经知道Cantor集是一个零测集，且有势c，因而它的一切子集也是零测集，且其子集全体有势2c。由此立知，Lebesgue可测集全体 第十讲 开集的可测性 远比Borel集全体的势力，上面的证明同时告诉我们，Cantor的一切子集中，确有很
8、多不是Borel集，但它们都是Lebesgue可测集。现在我们来看看，Lebesgue可测集与Borel集差别有多少，假设E是一个可测集，且不妨设 ，则对任意，存在可数个开长方体 ，使 mE),2,1(,)(iIni,)(1EInii 第十讲 开集的可测性且由此易知事实上,由于故由及,|1|1)(1)(iniiniImEnInEImnii1)()(1 mEImmEImniinii )()()(1)(1 1)()(1|)(ininiiIIm nImEImininii1|)(1)()(1 第十讲 开集的可测性易得记 则Gn是开集，从而是G型集，而且 ，由立知 是Borel集与一个Lebesgue零
9、测集之差。类似的办法可以证明，能找到Borel集 ，使 ，即E也 nEImmii/1)()(1 )(1miinIG niGG 1EG nEGEGmn/1)()()(EGm EF 0)(FEm第十讲 开集的可测性 是Borel集与一个Lebesgue零测集之并。换言之，对任一Lebesgue可测集E，都可以找到包含于其中的Borel集，使它们有相同的测度，也可以找到包含E的Borel集，使它们也有相同的测度。因此，Borel集与Lebesgue可测集的差别在于零测集上。第十讲 开集的可测性问题问题6：问题：问题4中能否使中能否使G-E的外测度为零？的外测度为零？为什么？举例说明。为什么？举例说明
10、。第十讲 开集的可测性 即使 不是可测集，我们也可以找到Borel集，使它们有相同的外测度。这就是下面的 定理2 设 ，则存在Rn中的G8型集G，使 且 。证明：若 ，则显然可找到这样的G，（比如Rn本身就是其中一个）。故不妨设 ，此时 类假刚才的讨论，可nRE nRE ,EG EmmG*Em*Em*第十讲 开集的可测性以找到开集Gn，使且令，令G即为所求。证毕。应该指出的是，如果E是不可测集，虽然可以找到Borel集 ，使 ，但的外测度不可能等于0，否则E=G-（G-E）将是可测集。EGn nEmmGn/10*nnGG 1EG EmmG*EG 第十讲 开集的可测性定理3 若 是可测集，则有R
11、n中的 Borel集F，使 且证明：若E无界，则可作一列长方体 ，使 且 ，于是 是一列有界可测集列，且 ，从而 nRE EF 0)(,FEmmEmFnI1 nnIIEInn 1EIEnn 1 nnEE)()(1EImEmnn 第十讲 开集的可测性若对每一En，可找到Borel集 ，使且则令，则，于是)(1EImnn )(limEImnn nnEF ,nnmEmF ,0)(nnFEmnnnnmFmEmE limlimnnFF 1EF nnnnmFmFmFmE limlim第十讲 开集的可测性进而 ；另一方面，由于故 。因此，我们只需就E是有界可测集情形证明就可以了。若E是有界的，则存在长方体
12、，记 ，则S也是可测集，且由定理2知存在Borel集G，使 ，且 mEmF nnnnnFEFE 11)(110)()(nnnnnFEmFEmEI EIS ,|mEImS SG 第十讲 开集的可测性，令，则F仍是Borel集，且 ，显然注意故。证毕。0)(,SGmmSmGIGFc EF 。mEmF mSmImGmIGImmF )(mEmEmImI )(0)(,FEmmFmE第十讲 开集的可测性习题二1、证明有理数全体是R1中可测集，且测 度为0。2、证明若E是Rn中有界集，则3、至少含有一个内点的集合之外测度能否 为零？4、在a,b上能否作一个测度为ba但又 异开a,b的闭集？。Em*第十讲 开
13、集的可测性5、若将1定理6中条件 去掉，等式是否仍成立？6、设E1、E2、是0，1中具有下述性 质的可测集列：对任意 ，从这个 序列中可找到这样的集Ek，使 证明，这些集合之并的测度等于1。7、证明对任意可测集A，B，下式恒成立。”“)(0nknEm nnnnmEEm lim)lim(0。1kmE第十讲 开集的可测性8、设A1、A2是0，1中两个可测集且满足，证明：9、设A1、A2、A3 是0，1中三个可测集 且满足 ,证明：。mBmABAmBAm )()(121 mAmA。0)(21 AAm2321 mAmAmA。0)(321 AAAm第十讲 开集的可测性10、证明存在开集G，使11、设E是
14、R1中的不可测集，A是R1中的 零测集，证明：不可测。12、若E是0，1中的零测集，其闭包 是否也为零测集？13、证明：若E是可测集，则对任意 存在 型集 ，使。mGGm CAE E0 G6,FEG 第十讲 开集的可测性14、证明：位于0 x轴上的任何集E（甚至 它在直线上为不可测集）在0 xy平面 上可测且其测度为零。15、证明有界集E可测当且仅当对任意 ，存在开集 ，闭集 ，使。)(,)(FGmFEm0 EG EF 。)(FGm第十讲 开集的可测性16、证明；若 是单调递增集列（不 一定可测），则17、证明Rn中的Borel集类B有连续势。18、证明对任意闭集F，都可找到完备集 ，使19、
15、证明只要 ，就一定可以找到 使对任意 都有nmRE 。mmmmEmEm*1lim)(*FF 1。mFmF 10 mE，E 0。0),(0(Em第十讲 开集的可测性 （提示：利于闭集套定理）20、如果 可测，记 证明 也可测，且21、设 是零测集，证明 是零测集。nRE 0 a),(|),(11ExxaxaxaEnn aE.)(mEaaEmn 12,)(RExxf|)()(ExxfEf 第十讲 开集的可测性22、设 可测，是含x0的任 一开区间，若下列极限存在 ，则称d是E 在点x0的密度，显然 ，如果 称x0 是E的全密点。（i）点a是否是 的有密度的点？（即d0）1RE ),(,baExo)
16、/(),(lim0),(abEbamdxba 10 d1 d,baE 第十讲 开集的可测性 (ii)作一集合E，使它在给定点x0具有 密度，且密度等于事先给定值23、设是可测集，证明也是可测集，且24、设 是可测集，是旋转变换：。)10(CC1RE|ExxE 。mEEm )(2RE ),2,1(),(),(:yxyxU 第十讲 开集的可测性 证明：UE也是可测集,且25、设 是可测集，如果E 的可测子集列 满足，证明：sincossincosyxyyxx。mEUEm)(nRE mE 1knE。0)lim(kkEm第十讲 开集的可测性三复习（1）可测集的定义（2）可测集的结构（3）练习题评讲作业：P5311，12，15
