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1、第五章方阵的特征值与特征向量第十三次课5.1 特征值与特征向量5.1 特征值与特征向量v目的与要求：1.理解方阵的特征值与特征向量的概念与性质。2.会求方阵的特征值与特征向量。v引例：对于方阵2112A和向量11存在一个特殊关系。112112Av其中A为方阵，为列向量，为数33A33A113 3一、基本概念v定义5.1 设A是n阶方阵，为一个 数，为一个非零列向量。如果A =（5.1）成立，则称 为A的特征 值，为A的属于 的特征 向量。二、特征值与特征向量的性质二、特征值与特征向量的性质v1、一个特征向量不可能对应两个相异的特征值。、一个特征向量不可能对应两个相异的特征值。v2、一对多：每一
2、个特征值对应一系列特征向量。、一对多：每一个特征值对应一系列特征向量。v证明：证明：11A22A)A(k)A(k)kk(A221122112211kk)kk(22111A证明：设2A02121 0的特征向量。的属于也是的非零线性组合，时，当的特征向量，则的属于特征值，都是，、若Akk0kkA32211212211210)(21则v例例1：设方阵：设方阵A满足满足A2=A，v证明：证明：A的特征值只可能是的特征值只可能是0或或1AA 2AAA020)1(10或0幂等阵幂等阵A的特征值只可能是的特征值只可能是0或或1。AAAAAA2，则两边左乘向量，则的一个特征的属于为的任一特征值，为证明：设即即
3、A为幂等阵为幂等阵v三、特征值、特征向量的计算三、特征值、特征向量的计算A0A0A0AI0)(AI的非零解，从而有的非零解，从而有 )2.5(0)(XAI)3.5(0 AI0 AI ，上式是（，上式是（5.2）有非零解）有非零解的充要条件系数行列式的充要条件系数行列式v称称 (I I-A)为为A的特征矩阵的特征矩阵 (I I-A)x=0为为A的特征方程组的特征方程组0aaaaaaaaann2n1nn22221n11211AIf)(为为A的特征多项式的特征多项式0 AI为为A的特征方程的特征方程v设设A是是n阶方阵，若阶方阵，若 是是A的特征值，的特征值，是是A的属于的属于 的特的特征向量，则有
4、征向量，则有是齐次线性方程组，所以因为0v即即v（n n次多项式在复数域中必有次多项式在复数域中必有n n个根，即个根，即n n阶矩阵在复数阶矩阵在复数域中必有域中必有n n个特征值，我们只研究个特征值，我们只研究n n个特征值都是实数的个特征值都是实数的情况）情况）v于是得到求特征值与特征向量的步骤：于是得到求特征值与特征向量的步骤：v1 1、写出特征方程、写出特征方程v2 2、求解特征方程，得到全部特征值（、求解特征方程，得到全部特征值（n n个，包括重根）个，包括重根）0 AIv3 3、对于每个特征值、对于每个特征值 ，求对应的齐次线性方程组，求对应的齐次线性方程组 的一个基础解系，从而
5、得到全部特征的一个基础解系，从而得到全部特征向量。向量。i0 x)AI(iv例例2：求：求v解：解：A的特征方程的特征方程3113A的特征值和特征向量的特征值和特征向量0 AI3113003113132042故故A的全部特征值：的全部特征值：0)2(XAI031132002X0 xx111121对于对于1111111121rr001112rr0 xx0 xx2121对于对于 解齐次线性方程组解齐次线性方程组4 22121同解方程组同解方程组 x1-x2=0 x1=x2取取x2=1 1得一个基础解系：得一个基础解系：(1,1)(1,1)T T于是于是A A的属于的属于1=2=2的全部特征向量的全
6、部特征向量k(1,1)k(1,1)T T（K K为任意非零常数）为任意非零常数）对于对于2=4=4时，齐次线性方程组时，齐次线性方程组(4I-A)x=0(4I-A)x=00X31134004对于对于得同解方程组：得同解方程组：x x1 1+x+x2 2=0=0 x x1 1=-x=-x2 2取取x x2 2=-1=-1得到一个基础解系：得到一个基础解系：(1,-1)(1,-1)T T于是，于是，A的属于的属于2=4=4的全部的特征向量为的全部的特征向量为K(1,-1)K(1,-1)T T（k k为任意非零常数）为任意非零常数）0X11110011r)1(r111112v例例3：求：求v解：解：
7、A的特征方程为的特征方程为314020112A0 AI的特征值和特征向量。的特征值和特征向量。314020112)2(4)3)(2)(2()2)(2(20)1()2(2故故A的全部特征值：的全部特征值：1=-1=-1 2=3=2=2（二重根）（二重根）当当1=-1=-1时时解齐次线性方程组解齐次线性方程组 (-I-(-I-A)x=0)x=00X414030111 即314020112000000v对于对于414030111030030111)4(13rr000010111)31(000030111223rrrv同解方程组同解方程组令令x3=1得一个基础解系得一个基础解系(1，0，1)T于是于是
8、A的属于的属于1=-1=-1的全部特征向量为的全部特征向量为k(1,0,1)k(1,0,1)T T（k k为任意的非零常数）为任意的非零常数）02321xxxx当当2=3=2=2时时解齐次线性方程组解齐次线性方程组(2I-A)x=0(2I-A)x=0即即0314020112200020002X对于对于0114000114X114000114000000114)1(43rr得到同解方程组得到同解方程组令令000000114)1(1r3124xxx10,0131xx1,4x2v 2=3=2 =2 二重根取二重根时基础解系有两个解向量。二重根取二重根时基础解系有两个解向量。v R(2I-A)=1R(
9、2I-A)=1于是得到它的一个基础解系为于是得到它的一个基础解系为110,041v故故A属于属于2=3=2=2的全部特征向量为的全部特征向量为（k k1 1,k,k2 2不全为零的任意实数）不全为零的任意实数）11004121kkv例例4：求：求解：解：A的特征方程的特征方程201034011A0 AI的特征值，特征向量。的特征值，特征向量。201034011)2(4)2)(3)(1(4)3)(1()2()12)(2(20)1)(2(2故故A的全部特征值为的全部特征值为 1=2=22=3=1=1当当1=2=2时，解齐次线性方程组时，解齐次线性方程组(2I-A)x=0(2I-A)x=00X001
10、014013001014013r)1(0010140133013014001rr13010010001r)3(rr)4(r1312R(2I-A)=2R(2I-A)=2基础解系中只含一个解向量基础解系中只含一个解向量同解方程组同解方程组令令x x3 3=1=1（自由量）（自由量）000010001r)1(r230021xx (0,0,1)T100k对应特征向量对应特征向量（k为任意非零常数）为任意非零常数）当当2=3=1=1时时v解齐次线性方程组解齐次线性方程组(I-A)x=0(I-A)x=0v即即v对于对于0101024012X101024012101024012)1(3r0120241011
11、3rr210420101)2()4(1312rrrr210000101)2(32rr00021010123rr R(I-A)=2 R(I-A)=2对应基础解系中只含一个解向量（虽然是二重根，但是只含一对应基础解系中只含一个解向量（虽然是二重根，但是只含一个解向量）得同解方程组个解向量）得同解方程组令令x x3 3=1=1（自由量）（自由量）32312xxxxv得到一个解向量为得到一个解向量为(-1,-2,1)T。于中属于。于中属于2=3=1=1的特征向量为的特征向量为（k为任意非零常数）为任意非零常数）121kv例例5：设矩阵：设矩阵v求参数求参数a,ba,bbaA6633331有特征值有特征
12、值1=-2=-2，2=4=4v解：因为解：因为1=-2=-2，2=4=4都是都是A A的特征值。所以有的特征值。所以有AIAI21ba2663233330)4)(5(3baAIAI42ba466343333072273ba解得解得a=-5a=-5，b=4b=4v例6：设 为非零向量，且满足条件 记n阶矩阵求：（1）A2（2）矩阵A的特征值与特 征向量Tnaaa),(21Tnbbb),(210TTAv解：（1）由有0,TTA)(2TTAAATT)(TTT)(00T即A2=0（2）设）设为为A的任一特征值，的任一特征值，A的属于的属于的特征向量为的特征向量为 ，则，则 A =A =)(2 AA)0
13、(022A=0=0对于对于=0=0，有特征方程组，有特征方程组从而从而0但0A)AI0(0 A即，对系数矩阵对系数矩阵A施行初等行变换施行初等行变换由于由于 为非零向量，不妨设为非零向量，不妨设a a1 10,b0,b1 100TAn21Tn21b,b,b ,aaan1n211nn21b,b,baaaAnn2n1nn22212n12111bababababababababaA000000bbbn21的方程组写出同解的最简的等价0 xbxbxbnn2211移项，移项，b b1 1x1 1=-b=-b2 2x2 2-b-b3 3x3 3-b-bn nxn n即即nnxbbxbbxbbx131321
14、21100010,001xxxn32由此可得方程组基础解系由此可得方程组基础解系100bb,010bb,001bb1n1n132121取取于是，于是，A的特征值为零时的全部特征向量为的特征值为零时的全部特征向量为 (k(k1 1,k,k2 2,k,kn-1n-1是任意非零常数是任意非零常数)1n1n2211kkkv例例7：已知方阵：已知方阵A满足满足 A A3 3=5A=5A2 2-6A-6A 求求A A的特征值的特征值v从而可得从而可得v由题设由题设A A3 3-5A-5A2 2+6A=0+6A=0)(2AA2)(A从而从而0)65()65(2323AAA0652300)65(20)3)(2
15、(3,2,0则A 的特征向量。为的特征值，为解：设A0A33AnnA一般地，若一般地，若n阶矩阵阶矩阵A有有n有特征值为有特征值为1 1,2 2,n n则则事实上，由于事实上，由于1 1,2 2,n n是是A A的的n n个特征值，则个特征值，则nA21令令=0=0)()(21nAI)()(21nAnA21若若A的特征值为的特征值为，则矩阵多项式，则矩阵多项式f(A)f(A)的特征值为的特征值为f()f()特别的，特别的，I I的特征值为的特征值为1 1。v例例8：已知三阶矩阵：已知三阶矩阵A的特征值为的特征值为1,-1,2，设矩阵，设矩阵 B=AB=A3 3-5A-5A2 2试计算：试计算：
16、B)1(IA5)2(v解解：（：（1）设）设是是A A的一个特征值，的一个特征值，1 13 3-5-51 12 2=-4=-4(-1)(-1)3 3-5-5(-1)(-1)2 2=-6=-62 23 3-5-52 22 2=-12=-12 故故288)12)(6)(4(B则则B=AB=A3 3-5A-5A2 2有一个特有一个特征值征值3 3-5-52 2由已知，由已知，A A的特征值为的特征值为1,-1,21,-1,2，所以所以B B的特征的特征值为值为（2）设）设为为A A的一个特征值，则的一个特征值，则A-5IA-5I有一个特征值有一个特征值 为为-5-5，由已知由已知A A的特征值的特征值1,-1,21,-1,2。所以，。所以，A-5IA-5I的特征值的特征值1-5=-41-5=-4(-1)-5=-6(-1)-5=-62-5=-32-5=-3故故72)3)(6)(4(5 IA或另解：或另解：A有三个特征值有三个特征值1，-1，2，故特征多项式为，故特征多项式为令令=5得得)2)(1)(1(AI72)25)(15)(15(5 AI725IAv例例9：设：设4阶方阵阶方阵A满足条件满
