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1、第第5章章 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换DTFT1.1.离散系统傅里叶变换推导离散系统傅里叶变换推导2.2.离散时间傅里叶变换举例离散时间傅里叶变换举例3.3.离散时间傅里叶变换性质离散时间傅里叶变换性质4.4.卷积性质及其含义和用途卷积性质及其含义和用途推导：类似于连续系统的傅里叶变换，除了 是非周期序列且持续时间有限 N足够大以至于2jnj nee x n 02x nnN如果 2nNNx nx n当而且以 为周期，1.离散系统傅里叶变换推导 002001002,11121jknkkNjknknNNjknjknnNnjjnnjkkx na eNax n eNx n ex n eNNX
2、 ex n eaX eN定义的周期为回顾：离散时间傅里叶级数回顾：离散时间傅里叶级数DTFS 00000112NnkjkjknjkjknkNkNax nX eeX eeNx nx n 当:当 为任何值 000d，的总和积分离散系统傅里叶变换 212=jj njj nnx nX eedX ex n e综合方程分析方程任意2长度区间上的积分注：复变函数与积分变换有更严格的推导。离散时间傅里叶变换对离散时间傅里叶变换对分析方程DTFT综合方程DTFT逆变换x jnX e jj nnX ex n e21x 2jj nnX eed收敛问题收敛问题综合方程：没有，因为是有限区间上的积分分析方程：需要条件，
3、类推于连续时间傅里叶变换，如：有限能量 或 绝对可和 2nx n nx n 2.2.离散时间傅里叶变换举例离散时间傅里叶变换举例1）2）移动的单位抽样上述有相同的幅度（=1），但有一个线性的相位-0n x nn 1jjnnXen e0 x nnn00j njj nnX ennee3）指数衰减函数 无限和公式 ,1nx na u na 01jnjjnjnnaeX ex n eae1111cossinjaeaja211 2 cosjX eaa2110:11 2jX eaaa211:112jX eaaa j1,1 1nx na u naae可当公式用4）离散时间矩形脉冲12N 11111(2)1si
4、n2sin/2NNnjj njjnNnNNX eeeX e5）1sin2Wj nWWnx nedn 1102WjWWxX ed 复指数和的离散时间傅里叶变换（复指数和的离散时间傅里叶变换（DTFTDTFT）回顾连续时间的结果：离散时间会怎样？a）我们期待在 处有一个脉冲（面积为2）b）但是 必须是以2为周期的事实上注意：在综合方程的积分区域超过2周期了，仅需要 在一个2周期内，即：002jtx teXj 0?jnjx neX ejX e0022jmX em 001222jjnj nmX ex nm ede jX e周期序列的离散时间傅里叶变换周期序列的离散时间傅里叶变换DTFS的综合方程由于：
5、DTFT的线性性质 x nx nN 002,jknkkNx na eN0022jknmekm 022jkkNmX eakm 0222kkkkkakaN 见P262-263例例#1#1：离散时间正弦函数：离散时间正弦函数 00011sin22jnjnx nneejj0022jmmX emmjj 例例#2#2：离散时间周期脉冲序列：离散时间周期脉冲序列也是周期脉冲序列，但在频率域！kx nnkN02N 01jknknNax n eN 01011Njknnnx n eNN22jkkX eNN 3.离散时间傅里叶变换的性质离散时间傅里叶变换的性质 分析方程综合方程1）周期性：与连续时间傅里叶变换不同2
6、）线性：jj nnX ex n e 212jj nx nX eed(2)jjX eX e 1212jjax nbxnaXebXe3）时移性：4）频移性：由于周期性，在离散时间里有重要的含义。例子：00j njx nneX e 00()jnjex nX e 0,1nj ny nex nx n 5）时间翻转性：6）共轭对称性：jxnX e*=Xjjx nXee实的jjX eX ee和R是偶函数jjX eX em和I是奇函数和 jx nX e是实的并且是偶的是实的并且是偶的 jx nX e是实的并且是奇的是纯虚的并且是奇的7）时间伸缩性 回忆一下连续时间的性质：时间尺度在连续 时间为无限的好但是在离
7、散时间域：毫无意义；x2n丢失了xn的奇数值。但是我们可以通过插入零值点来“放慢”一个离散时间信:k一个整数 在连续值中插入（k-1）个零值 在本例中插入两 个零值点。（k=3）1x atXjaa2x n1 kxn在时间域通过一 个因数k被伸展在频域通过一个 因数k被压缩 n k0kx n kxn是 的整数倍其他 Xjj nj mkkkknmexn enmkxmk e()j kmjkmx m eX e8）频率域的微分9）帕塞瓦尔定理j两 边 均 乘 以n乘以频域微分 Xjnnx n e je jj nndX ejnx n ed jdnx njX ed 22212jnx nXed 频率域的总能量
8、时间域的总能量卷积性质卷积性质例#1：x nh ny nh nx njjjY eH eX e=DTFTjHe 频 率 响 应单 位 脉 冲 响 应 的 0022jnjkx neXek 022jjkY eH ek 0(2)022jkkH ek 0022jkHH ek 周期的 00jjny nHee例例#2#2：理想低通滤波器：理想低通滤波器 sin12ccjncnh nedn例例#3#3：sin4sin2sin4nnnnnn卷积性质举例 ,111,111111(1)(1)11(1)(1)(1)(1)11nnjjjjjjjjjjjjjjjjh nu nx nu nH eX eeey nh nx n
9、Y eeeABAeBeeeeeeAeBeABA：Y由 111001 ()jjnnnnAABABeB eBy nAu nBu nu nu n 2221:11111111 11 1 1 (jjjjjjjjjjjjjY eedj edeedY eejedex nX eedX enx njF ed 注意到则由于 (1)(1)1()111111jjnnnx neF ey nnx nnu nnu n（频域微分性质）（时移性质）用线性差分方程描述离散LTI系统000000jNMkkkkjkjNMjkjjkjkkkkMjkkjjkNjkkkH ea y nkb x nkx nkeX ea eY eb eX e
10、b eY eX ea e 从时移性质：je-函数 的有理部分,用分式展开来得到hn例子：一阶递归系统 1,11-11-jjjjjjjny ny nx neY eX eY eH eeX eh nu n初始松弛条件因果例例5.195.19：一个因果：一个因果LTILTI系统的差分方程为系统的差分方程为 3112248y ny ny nx n2231148jjjH eee22311 186()488111(2)(4)(1)(1)824jjjjjjjjeeeeeeee求系统的频率响应和单位脉冲响应求系统的频率响应和单位脉冲响应.解解:对对差分方程两端取差分方程两端取DTFT,DTFT,并利用时移性质有
11、并利用时移性质有因式分解因式分解2421111(1)(1)112824jjjjjH eeeee 114224nnh nu nu n于是于是思考思考:因果假设有什么作用因果假设有什么作用?习题习题5.205.20：一个因果稳定：一个因果稳定LTILTI系统具有性质系统具有性质 4455nnu nnu n1415jjX ee(a)(a)求系统的频率响应求系统的频率响应;(b);(b)系统的差分方程系统的差分方程.解解:分别对输入和输出分别对输入和输出取取DTFT,DTFT,并利用频移性质有并利用频移性质有01014445;0,1,45515jjjjjeY eH ebbaaX ee 441155y
12、ny nx n于是于是21414451155jjjjjddY ejX ejeddee离散系统傅里叶变换的乘法性质 12122121212jjjjjy nx nxnY eXeXedXeXe 周期性卷积 212122122122121()212jjj nnjj nj nnjnjnXejjY ex nxn eXeedxn eXexn edXeXed 推导：计算周期性卷积121211-1212,=0,jjjjjjjY eXeXedXeXedXeXe 假设我们从到 积分：其中其他情况举例：2121212sin4sin4,12jjjnny nx nxnx nxnnnY eXeXe傅里叶分解的对偶性（傅里叶
13、变换是高度对称的）112212=:=-2j tj tjrx tXjedXjx t edtfrgedtrx tg tXjfrtxtf tXjg假设和g是两个跟它有关的函数f那么：让并且让并且:连续系统傅里叶变换：时间和频率都是连续的而且都是非周期性的除了这些区别两式子是一样的除了这些区别两式子是一样的连续傅里叶变换的对偶性举例矩形脉冲在时间或频率域内离散系统傅里叶级数 0002,1jknkkNjknkk NkNx na ex nNNax n eaN时间上离散并且有周期性频率上离散并且有周期性离散系统傅里叶变换的对偶性 001211:gjrmjrmrNmNkkff mg r eg rf m eNm
14、nnkx nf nagkNnmkxnnaf k 假设和g是两个跟它有关的函数那么让并且让r并且连续傅里叶级数和离散傅里叶变换间的对偶性 000222,112jktkkjktkTjj njjj nnx ta ex tTTax t edtTx nX eedX ex n eX e连续傅里叶级数：时间域是周期的频率域上离散离散系统傅里叶变换：时间域上离散频率域上是周期的连续傅里叶级数和离散傅里叶变换的对偶性 2jmmkffg m efx tf tag k假设是一个连续时间信号，g是一个离散时间数组跟它有关那么周期为2 ()()jx ng nX ef傅里叶变换的幅值和相位还有帕塞瓦尔关系 22-222212121212jj tj X jjj nj X ejjjnx tXjedXjXjex tdtXjdx nX eedX eX eex nX ed 能量密度连续系统：帕塞瓦尔关系：离散系统：帕塞瓦尔关系：
