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1、9/8/20239/8/20231 1第二章第二章 线性控制系统的运动分析线性控制系统的运动分析1.线性定常齐次状态方程的解2.矩阵指数函数3.状态转移矩阵4.线性定常非齐次状态方程的解Ate)(0tt 9/8/20239/8/20232 2：线性定常系统在没有控制作用，即u0时，由初始状态引起的运动称自由运动。),(BA 0 u)0(|)(,0 xtxAxxt x线性定常系统在控制u作用下的运动，称为强迫运动。)(|)(,00txtxBuAxxtt ),(BA ux9/8/20239/8/20233 3第一节第一节 线性定常齐次状态线性定常齐次状态方程的解方程的解9/8/20239/8/20
2、234 4满足初始状态 的解是：1、标量齐次微分方程：axx )0(|)(0 xtxt 满足初始状态 的解是：满足初始状态 的解是：2、齐次状态方程()()x tAx t00)(,)()(0tttxetxttA )0(|)(0 xtxt 0,)0()(txetxAt)(|)(00txtxtt )0()(xetxat 其中：022!1!1!21kkkkkAttAktAktAAtIe 定义为矩阵指数函数，和A一样也是nn阶方阵Ate9/8/20239/8/20235 5：仿标量方程求解将式(4)代入式(1)，即可得到通解为：0022)!1!21()(xextAktAAtItxAtkk （5）0!1
3、bAkbkk 式(3)左右两边t的同次幂的系数两两相等得：（4）)(222101121 kkkktbtbtbbAtkbtbb(1)(2)代入状态方程得：（3）设齐次状态方程的解为in 1是列向量b kktbtbtbbtx2210)(当 时，由上式可得 0 t0)0(bx 此处（1）式(1)左右求导得：1212)(kktkbtbbtx（2）axx 标量齐次状态方程待定系数法待定系数法！9/8/20239/8/20236 6)()0()(sAXxssX 两边取拉氏变换得：)0()()(1xAsIsX 整理得：齐次状态方程：Axx 初始状态为：)0(|)(0 xtxt )(11 AsILeAt与直接
4、求解的结果(5)比较，由解的唯一性得：)0()()(11xAsILtx 拉氏反变换得：（6）9/8/20239/8/20237 7第二节第二节 矩阵指数函数的性质矩阵指数函数的性质和计算方法和计算方法9/8/20239/8/20238 82、IeeAttA 0)(矩阵指数函数定义中，令t0即可得证3、总是非奇异的，必有逆存在，且：AtAtee 1)(AteIeeeteeeAAtAttAAAt 0)(，有，有，令，令 AtAtee 1)(1、设A为nn阶矩阵，t1为t2两个独立自变量，则有：2121)(AtAtttAeee 根据定义证明9/8/20239/8/20239 95、对 有：AteAe
5、AeedtdAtAtAt )(BtAttBAeee )(4、对于nn阶方阵A和B：如果A和B可交换，即AB=BA，则 如果A和B不可交换，即AB BA，则BtAttBAeee )(6、如果P是非奇异阵，即 存在，则必有：PePeAtAPtP11 Ate根据定义证1 P11 PPeeAPtPAt和PAPPAAAPAPPAPPAPPiii11111)()(个个个个：此性质经常用于计算由定义证明9/8/20239/8/202310107、如果A是nn阶对角阵，则 也是nn阶对角阵：Ate ttttttAtnneeeeeediage 00,2121 nndiagA 00,2121则有：如果：根据定义证
6、9/8/20239/8/202311118、如果 是mm阶的约当块：mmiiiiA 0101则有：略。根据定义证。iA tttmttmttAiiiiiiieteetmteettmtee 000)!1(11000)!1(11119/8/20239/8/20231212其中 是约当块其中 是对应约当块 的矩阵指数函数。9、当A是约当矩阵时：tAtAtAAtneeee0021 nAAAA0021则有：iAtAieiA 2000120001200001A9/8/20239/8/20231313 直接求解法：根据定义 拉氏变换求解：标准型法求解：对角线标准型和约当标准型非奇异变换 待定系数法：凯莱哈密顿
7、（简称C-H）定理求出的解不是解析形式，适合于计算机求解。kkAkkkAAAttttAtIekk!0!2!22 对所有有限的t值来说，这个无穷级数都是收敛的 9/8/20239/8/20231414)(11 AsILeAt关键是必须首先求出（sI-A）的逆，再进行拉氏反变换。：根据矩阵指数函数性质6：对A进行非奇异线性变换，得到：APPA1 联立上两式，得到：1 PPeetAAt有二种标准形式：对角线矩阵、约当矩阵A11 PPeeAPtPAt9/8/20239/8/2023151511001 PeePPPeetttAAtn 其中：P为使A化为对角线标准型的非奇异变换矩阵。（1）当A的特征值 为
8、两两相异时：n ,21 1）先求得A阵的特征值 。2）求对应于 的特征向量 ，并得到P阵及P的逆阵。3）代入上式即可得到矩阵指数函数的值。i i ivPvvAIAIAiiii 0)(0)det(即：即：9/8/20239/8/20231616（2）当A具有n重特征根 ：i 其中：Q为使A化为约当标准型的非奇异变换矩阵。111000)!1(1 QeteetnteeQQQeetttntttAAtiiiii 的的矩矩阵阵指指数数函函数数约约当当矩矩阵阵A：此时的步骤和对角线标准型情况相同：求特征值、特征向量和变换阵Q。说明：对于所有重特征值 ，构造约当块，并和非重特征值一起构成约当矩阵。根据矩阵指数
9、函数的性质8和9，求得 。i tAe9/8/20239/8/20231717：将 化为A的有限项多项式来求解：Ate：在证明有关矩阵方程的定理或解决有关矩阵方程的问题时，凯莱-哈密尔顿定理是非常有用的。0|)(0111 aaaAIfnnn 0)(0111 IaAaAaAAfnnn设nn维矩阵A的特征方程为：则矩阵A满足其自身的特征方程，即：9/8/20239/8/20231818 10njjmjmAA：A所有高于(n-1)次幂都可由A的0(n-1)次幂线性表出。并令 即可得到如下的：0!)(mmjmjmtt 即：将此式代入 的定义中：Ate 0100010!mmjmnjjmmjnjmjmmmA
10、tmtAAmtAmte 其中：为t的标量函数，可按A的特征值确定。Ate根据C-H定理，可将 化为A的有限项表达式，即封闭形式：111010)()()()(nnnjjjAtAtaAtaItaAtae)(,),(),(110tatatan Ate9/8/20239/8/202319191）A的特征值 两两相异时，n,21tttnnnnnnnneeetatata211121222211211110111)()()(注意求逆：利用了A可化为对角阵的矩阵指数函数求法。1110111011)()()()()()(nnnnAttAAtaAtaItaPAtaAtaItaPPePeiiiiAAPPAPPAPP
11、PAAAPPAP 个个)()(11111：tniniietatata1110)()()(推导时可看到：121210()().()()Atnnnnet At At At I12nttAtteeee12kkkknAA特征值互异，为:n.,21tttnnnnnnnneeettt21)()()(111110121222211211 由上式可计算)(),(.),(),(0121ttttnn9/8/20239/8/20232121 tttnntnnnnnnnnnneteetetntatatata1111!112)!2(11)!1(111121121!11131!2)2)(1(11210121000)1(1
12、001000)()()()(注意求逆2）A的特征值为 (n重根）1)3()()()(1111110tnnetatata ：此时只有一个方程：缺少n-1个独立方程，对上式求导n-1次(按特征值)，得到其余n-1个方程：不管特征值互异、还是具有重根，只需要记住式(3)。特征值互异时，对于每个特征值，直接得到方程(3)；特征值为n重根时，则式(3)针对 求导n-1次，补充缺少的n-1个方程。联立求出系数。1 9/8/20239/8/20232222：求以下矩阵A的矩阵指数函数 3210AtAie 1）用第一种方法定义求解：(略）2）用第二种方法拉氏变换法求解：)2)(1()2)(1(2)2)(1(1
13、)2)(1(3)23(213112321ssssssssssssssssAsI 11)(AsILeAt1()atL esa9/8/20239/8/20232323 ttttttttssssssssssssssssssAteeeeeeeeLLe222222112212211121121)2)(1()2)(1(2)2)(1(1)2)(1(3122223）用第三种方法标准型法求解：得：，具有互异特征根，用对角线标准型法。且A为友矩阵形式。2,121 先求特征值：0)2)(1(23321|2 AI9/8/20239/8/20232424 11121112211111121PP tttttttttttt
14、ttAteeeeeeeeeeeeeee22222222222111221112002111112100PeePPPeetttAAt9/8/20239/8/20232525 ttAteetataAtaItae21121101011)()()()(4）用第四种方法待定系数法求解.tttttttteeeeeeeetata2222110211122111)()(在第3种方法中已经求得特征根，所以得：求得矩阵指数函数如下：9/8/20239/8/20232626 ttttttttttttAteeeeeeeeeeeeAtaItae2222221022223210)(1001)2()()(：由 和 得到：从
15、而求出系数tetata1110)()(tetata2210)()(tteetata21)()(111021 )(tai9/8/20239/8/20232727：求以下矩阵A的矩阵指数函数 032100010AtAie用CH定理求解tetatata1212110)()()(先求特征值：0|AI 求得：1,2321 当 时，有21 tetatata2222210)()()(当 （二重根）时，有132 ttetata2221)(2)(上式对 求导1次，得到另一个方程：2 9/8/20239/8/20232828122201121201222122()()()()()()()2()ttta ta ta
16、 tea ta ta tea ta tte得到方程组：12221102221221()1()012()ttta tea tea tte写成矩阵形式为：整理得：12212011212222()1()1()012ttta tea tea tte9/8/20239/8/20232929 )3()322()68(210111421)()()(2912912911210221ttttttttttttteeeteeeteeeteeetatata 可以求出：2210)()()(AtaAtataeAt 所以：可以求出矩阵指数函数。9/8/20239/8/20233030第三节第三节 状态转移矩阵状态转移矩阵9/8/20239/8/20233131线性定常系统的齐次状态方程：Axx 满足初始状态 的解是：)0(|)(0 xtxt )0()(xetxAt 满足初始状态 的解是：)()(0)(0txetxttA )(|)(00txtxtt ：线性定常系统的状态转移矩阵 )()(0)(0ttetettAAt 令：则有：)()()()0()()(00txtttxxttx 9/8/20239/8/20233232
