现代控制理论基础ch2第二章线性控制系统的运动分析.ppt

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1、9/8/20239/8/20231 1第二章第二章 线性控制系统的运动分析线性控制系统的运动分析1.线性定常齐次状态方程的解2.矩阵指数函数3.状态转移矩阵4.线性定常非齐次状态方程的解Ate)(0tt 9/8/20239/8/20232 2:线性定常系统在没有控制作用,即u0时,由初始状态引起的运动称自由运动。),(BA 0 u)0(|)(,0 xtxAxxt x线性定常系统在控制u作用下的运动,称为强迫运动。)(|)(,00txtxBuAxxtt ),(BA ux9/8/20239/8/20233 3第一节第一节 线性定常齐次状态线性定常齐次状态方程的解方程的解9/8/20239/8/20

2、234 4满足初始状态 的解是:1、标量齐次微分方程:axx )0(|)(0 xtxt 满足初始状态 的解是:满足初始状态 的解是:2、齐次状态方程()()x tAx t00)(,)()(0tttxetxttA )0(|)(0 xtxt 0,)0()(txetxAt)(|)(00txtxtt )0()(xetxat 其中:022!1!1!21kkkkkAttAktAktAAtIe 定义为矩阵指数函数,和A一样也是nn阶方阵Ate9/8/20239/8/20235 5:仿标量方程求解将式(4)代入式(1),即可得到通解为:0022)!1!21()(xextAktAAtItxAtkk (5)0!1

3、bAkbkk 式(3)左右两边t的同次幂的系数两两相等得:(4))(222101121 kkkktbtbtbbAtkbtbb(1)(2)代入状态方程得:(3)设齐次状态方程的解为in 1是列向量b kktbtbtbbtx2210)(当 时,由上式可得 0 t0)0(bx 此处(1)式(1)左右求导得:1212)(kktkbtbbtx(2)axx 标量齐次状态方程待定系数法待定系数法!9/8/20239/8/20236 6)()0()(sAXxssX 两边取拉氏变换得:)0()()(1xAsIsX 整理得:齐次状态方程:Axx 初始状态为:)0(|)(0 xtxt )(11 AsILeAt与直接

4、求解的结果(5)比较,由解的唯一性得:)0()()(11xAsILtx 拉氏反变换得:(6)9/8/20239/8/20237 7第二节第二节 矩阵指数函数的性质矩阵指数函数的性质和计算方法和计算方法9/8/20239/8/20238 82、IeeAttA 0)(矩阵指数函数定义中,令t0即可得证3、总是非奇异的,必有逆存在,且:AtAtee 1)(AteIeeeteeeAAtAttAAAt 0)(,有,有,令,令 AtAtee 1)(1、设A为nn阶矩阵,t1为t2两个独立自变量,则有:2121)(AtAtttAeee 根据定义证明9/8/20239/8/20239 95、对 有:AteAe

5、AeedtdAtAtAt )(BtAttBAeee )(4、对于nn阶方阵A和B:如果A和B可交换,即AB=BA,则 如果A和B不可交换,即AB BA,则BtAttBAeee )(6、如果P是非奇异阵,即 存在,则必有:PePeAtAPtP11 Ate根据定义证1 P11 PPeeAPtPAt和PAPPAAAPAPPAPPAPPiii11111)()(个个个个:此性质经常用于计算由定义证明9/8/20239/8/202310107、如果A是nn阶对角阵,则 也是nn阶对角阵:Ate ttttttAtnneeeeeediage 00,2121 nndiagA 00,2121则有:如果:根据定义证

6、9/8/20239/8/202311118、如果 是mm阶的约当块:mmiiiiA 0101则有:略。根据定义证。iA tttmttmttAiiiiiiieteetmteettmtee 000)!1(11000)!1(11119/8/20239/8/20231212其中 是约当块其中 是对应约当块 的矩阵指数函数。9、当A是约当矩阵时:tAtAtAAtneeee0021 nAAAA0021则有:iAtAieiA 2000120001200001A9/8/20239/8/20231313 直接求解法:根据定义 拉氏变换求解:标准型法求解:对角线标准型和约当标准型非奇异变换 待定系数法:凯莱哈密顿

7、(简称C-H)定理求出的解不是解析形式,适合于计算机求解。kkAkkkAAAttttAtIekk!0!2!22 对所有有限的t值来说,这个无穷级数都是收敛的 9/8/20239/8/20231414)(11 AsILeAt关键是必须首先求出(sI-A)的逆,再进行拉氏反变换。:根据矩阵指数函数性质6:对A进行非奇异线性变换,得到:APPA1 联立上两式,得到:1 PPeetAAt有二种标准形式:对角线矩阵、约当矩阵A11 PPeeAPtPAt9/8/20239/8/2023151511001 PeePPPeetttAAtn 其中:P为使A化为对角线标准型的非奇异变换矩阵。(1)当A的特征值 为

8、两两相异时:n ,21 1)先求得A阵的特征值 。2)求对应于 的特征向量 ,并得到P阵及P的逆阵。3)代入上式即可得到矩阵指数函数的值。i i ivPvvAIAIAiiii 0)(0)det(即:即:9/8/20239/8/20231616(2)当A具有n重特征根 :i 其中:Q为使A化为约当标准型的非奇异变换矩阵。111000)!1(1 QeteetnteeQQQeetttntttAAtiiiii 的的矩矩阵阵指指数数函函数数约约当当矩矩阵阵A:此时的步骤和对角线标准型情况相同:求特征值、特征向量和变换阵Q。说明:对于所有重特征值 ,构造约当块,并和非重特征值一起构成约当矩阵。根据矩阵指数

9、函数的性质8和9,求得 。i tAe9/8/20239/8/20231717:将 化为A的有限项多项式来求解:Ate:在证明有关矩阵方程的定理或解决有关矩阵方程的问题时,凯莱-哈密尔顿定理是非常有用的。0|)(0111 aaaAIfnnn 0)(0111 IaAaAaAAfnnn设nn维矩阵A的特征方程为:则矩阵A满足其自身的特征方程,即:9/8/20239/8/20231818 10njjmjmAA:A所有高于(n-1)次幂都可由A的0(n-1)次幂线性表出。并令 即可得到如下的:0!)(mmjmjmtt 即:将此式代入 的定义中:Ate 0100010!mmjmnjjmmjnjmjmmmA

10、tmtAAmtAmte 其中:为t的标量函数,可按A的特征值确定。Ate根据C-H定理,可将 化为A的有限项表达式,即封闭形式:111010)()()()(nnnjjjAtAtaAtaItaAtae)(,),(),(110tatatan Ate9/8/20239/8/202319191)A的特征值 两两相异时,n,21tttnnnnnnnneeetatata211121222211211110111)()()(注意求逆:利用了A可化为对角阵的矩阵指数函数求法。1110111011)()()()()()(nnnnAttAAtaAtaItaPAtaAtaItaPPePeiiiiAAPPAPPAPP

11、PAAAPPAP 个个)()(11111:tniniietatata1110)()()(推导时可看到:121210()().()()Atnnnnet At At At I12nttAtteeee12kkkknAA特征值互异,为:n.,21tttnnnnnnnneeettt21)()()(111110121222211211 由上式可计算)(),(.),(),(0121ttttnn9/8/20239/8/20232121 tttnntnnnnnnnnnneteetetntatatata1111!112)!2(11)!1(111121121!11131!2)2)(1(11210121000)1(1

12、001000)()()()(注意求逆2)A的特征值为 (n重根)1)3()()()(1111110tnnetatata :此时只有一个方程:缺少n-1个独立方程,对上式求导n-1次(按特征值),得到其余n-1个方程:不管特征值互异、还是具有重根,只需要记住式(3)。特征值互异时,对于每个特征值,直接得到方程(3);特征值为n重根时,则式(3)针对 求导n-1次,补充缺少的n-1个方程。联立求出系数。1 9/8/20239/8/20232222:求以下矩阵A的矩阵指数函数 3210AtAie 1)用第一种方法定义求解:(略)2)用第二种方法拉氏变换法求解:)2)(1()2)(1(2)2)(1(1

13、)2)(1(3)23(213112321ssssssssssssssssAsI 11)(AsILeAt1()atL esa9/8/20239/8/20232323 ttttttttssssssssssssssssssAteeeeeeeeLLe222222112212211121121)2)(1()2)(1(2)2)(1(1)2)(1(3122223)用第三种方法标准型法求解:得:,具有互异特征根,用对角线标准型法。且A为友矩阵形式。2,121 先求特征值:0)2)(1(23321|2 AI9/8/20239/8/20232424 11121112211111121PP tttttttttttt

14、ttAteeeeeeeeeeeeeee22222222222111221112002111112100PeePPPeetttAAt9/8/20239/8/20232525 ttAteetataAtaItae21121101011)()()()(4)用第四种方法待定系数法求解.tttttttteeeeeeeetata2222110211122111)()(在第3种方法中已经求得特征根,所以得:求得矩阵指数函数如下:9/8/20239/8/20232626 ttttttttttttAteeeeeeeeeeeeAtaItae2222221022223210)(1001)2()()(:由 和 得到:从

15、而求出系数tetata1110)()(tetata2210)()(tteetata21)()(111021 )(tai9/8/20239/8/20232727:求以下矩阵A的矩阵指数函数 032100010AtAie用CH定理求解tetatata1212110)()()(先求特征值:0|AI 求得:1,2321 当 时,有21 tetatata2222210)()()(当 (二重根)时,有132 ttetata2221)(2)(上式对 求导1次,得到另一个方程:2 9/8/20239/8/20232828122201121201222122()()()()()()()2()ttta ta ta

16、 tea ta ta tea ta tte得到方程组:12221102221221()1()012()ttta tea tea tte写成矩阵形式为:整理得:12212011212222()1()1()012ttta tea tea tte9/8/20239/8/20232929 )3()322()68(210111421)()()(2912912911210221ttttttttttttteeeteeeteeeteeetatata 可以求出:2210)()()(AtaAtataeAt 所以:可以求出矩阵指数函数。9/8/20239/8/20233030第三节第三节 状态转移矩阵状态转移矩阵9/8/20239/8/20233131线性定常系统的齐次状态方程:Axx 满足初始状态 的解是:)0(|)(0 xtxt )0()(xetxAt 满足初始状态 的解是:)()(0)(0txetxttA )(|)(00txtxtt :线性定常系统的状态转移矩阵 )()(0)(0ttetettAAt 令:则有:)()()()0()()(00txtttxxttx 9/8/20239/8/20233232

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