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1、1大学文科数学大学文科数学2第一章第一章 函数与极限函数与极限1.1.映射与函数映射与函数2.2.数列的极限与函数的极限数列的极限与函数的极限3.3.极限运算法则极限运算法则4.4.无穷大与无穷小、无穷小的比较无穷大与无穷小、无穷小的比较5.5.函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点6.6.连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性7.7.闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质3第一、二、三节第一、二、三节 函数的概念函数的概念0 函数概念函数概念0 函数的几种特性函数的几种特性0 初等函数初等函数 4一、基本概念一、基本概念 1.集集合合概概念念具有某种特定性质
2、的事物的全体具有某种特定性质的事物的全体.组成集合的事物称为该集合的元素组成集合的事物称为该集合的元素.个体个体总体总体,A B Ca b c 通通常常用用大大写写拉拉丁丁字字母母表表示示集集合合,小小写写拉拉丁丁字字母母表表示示集集合合的的元元素素.有时在表示数集的字母的右上角标上有时在表示数集的字母的右上角标上“*”来来表示该数集内排除表示该数集内排除0 0的集的集,标上标上“+”+”来表示该数集来表示该数集内排除内排除0 0与负数的集与负数的集.5,.xAxBABAB子子若若则则必必就就说说 是是 的的记记作作集集 Mx xP 具具有有性性质质描描述述法法 ,(),aM aMaM集集合合
3、与与或或元元素素的的关关系系 12,nAa aa 列列举举法法;有有限限集集 含含有有限限个个元元素素的的集集合合称称为为含含无无限限个个元元素素的的集集合合称称为为无无限限集集.:具具体体表表示示集集合合的的方方法法不含任何元素的集合称为不含任何元素的集合称为空集空集.()记记作作例如例如,01,2 xRxx规定规定 空集为任何集合的子集空集为任何集合的子集.6常用数集常用数集:-自然数集自然数集-整数集整数集-有理数集有理数集R-实数集实数集0,1,2,Nn,2,1,0,1,2,Znn|,pQpZ qNpqq 且且 与与 互互质质1,2,Nn -正整数集正整数集*|0,Rx xxR|0,R
4、x xxR-非零实数集非零实数集-正实数集正实数集7数集间的关系数集间的关系:.,RQQZZN ,2,1 A例如例如,0232 xxxC.CA 则则,.ABABABAB 若若且且则则称称 是是 的的,记记作作真真子子集集,.ABBAABAB 若若且且就就称称等等,记记作作相相集集合合 与与8 2.集集合合的的运运算算()AB并并集集的的简简称称并并与与|,ABx xAxB 或或()AB交交集集的的简简称称交交与与|,ABx xAxB 且且()AB差差集集的的简简称称差差与与|,A Bx xAxB且且AB设设、是是两两个个集集合合.,IAI全全集集基基本本集集设设 是是(或或)是是 的的子子集集
5、.A的的(余余集集 或或补补集集)cAIA 9集集合合的的并并、交交、余余运运算算满满足足以以下下法法则则ABC设设、是是任任意意三三个个集集合合，则则有有：,;ABBAABBA交交换换律律(1)(1)()(),()();ABCABCABCABC 结结合合律律(2)(2)()()(),()()();ABCACBCABCACBC 分分配配律律(3)(3),()().ccccccABABABAB 对对偶偶)律律(4 (4 10对对偶偶律律的的证证明明:()cccABAB 所所以以()cxAB xAB xAxB且且ccxAxB且且ccxAB()cxAB xAB xAxB或或ccxAxB或或ccxAB
6、 ()cccABAB 所所以以11AB与与 的的(或或直直积积笛笛卡卡儿儿乘乘积积)(,)|ABx yxAyB且且(,)(,)ABx yxA yB即即为为组组有有序序对对成成的的集集合合.,(,)|RRx yxRyR例例如如,2.RRxOyRRR即即为为平平面面上上全全体体点点的的集集合合常常记记作作,:.ABBA地地注注 一一般般12|02,|01,AxxByy设设则则例例 (,)|02,01ABx yxy它它表表示示平平面面直直角角坐坐标标系系中中如如图图所所示示的的矩矩形形区区域域.AB(2,1)Oxy21133.3.区间和邻域区间和邻域.,baRba 且且bxax 称为称为开区间开区间
7、,),(ba记作记作bxax 称为称为闭区间闭区间,ba记作记作oxaboxab(符号符号 表示表示“对每对每(任）一个任）一个”)bxax bxax 称为称为半开区间半开区间,称为称为半开区间半开区间,),ba记作记作,(ba记作记作14 一般地一般地,有限区间是指介于某两个实数之间的有限区间是指介于某两个实数之间的全体实数全体实数.这两个实数叫做区间的端点这两个实数叫做区间的端点.(,),(,)a ba ba ba b有有区区间间都都是是限限区区间间.),xaxa ),(bxxb oxaoxb无限区间无限区间(,),(,(,)ax axbx xbR 也也都都是是无无限限区区间间.两端点间的
8、距离两端点间的距离(线段的长度线段的长度)称为称为区间的长度区间的长度.15,().aaU a 以以点点 为为中中心心的的任任何何开开区区间间域域 记记作作邻邻称称为为点点 的的.0,且且是两个实数是两个实数与与设设a(),(,),aaxxaaU a 开开区区间间-,+-,+称称为为点点 的的记记作作邻邻域域即即(,).U ax axa,.a 点点 叫叫做做这这叫叫邻邻域域的的中中心心邻邻这这域域的的半半径径做做xa a a 16xa a a (,).aaaU a 点点 的的 邻邻域域去去掉掉中中心心 后后,称称为为点点,记记作作去去心心邻邻域域的的(,)0.U axxa ()aaa 开开区区
9、间间-,-,称称的的左左为为邻邻域域.()a aa 开开区区间间,称称的的右右为为邻邻域域.17二、映射二、映射 1.映映射射概概念念 ,:X YfXxfYyfXYfXY 设设是是两两个个非非空空集集合合,如如果果存存在在一一个个法法则则使使得得对对 中中每每个个元元素素,按按法法则则,在在 中中有有唯唯一一确确定定的的元元素素 与与之之对对应应 定定义义,则则称称 为为从从射射到到映映的的.记记作作(),().yxfyf x 其其中中 称称为为元元素素在在映映射射 下下 的的记记作作 像像()xyf元元素素 称称为为元元素素在在映映射射 下下 的的一一个个原原像像.18,.,(),ffXfD
10、XfRf X集集合合称称为为映映射射 的的定定义义域域 记记作作而而 中中所所有有元元素素的的像像组组成成的的集集合合称称为为映映射射 的的值值域域 记记作作或或即即()()()|R ff Xf xxX (3),.ffRYRY一一般般地地不不一一定定 ,;,;,()XYfxXyf x集集合合即即定定义义域域 集集合合即即值值域域的的范范围围 对对应应法法则则使使对对唯唯一一每每个个有有的的确确定定与与之之对对应应.(1):构构成成映映射射必必须须具具备备三三个个要要素素注注 (2),;,fxXxyyRy 对对每每个个元元素素 的的像像 是是唯唯一一的的 而而对对每每个个元元素素 的的原原像像不
11、不一一定定是是唯唯一一的的.19 2:,1,().fRRxR f xxf 设设对对每每个个则则 是是一一 例例个个映映射射.,|0.fffDRRy y的的定定义义域域值值域域:(,),(,0)fXYx yXxY定定义义,对对每每个个与与之之对对应应.22(,)|1,(,0)|21.Xx yxyYxx例例设设,.fffDXRY则则 是是一一个个映映射射.定定义义域域值值域域1 11 xy1o1 x1oy20 :,1,1,2 22 2()sin.,1,1.232fffxf xxfDR 设设对对每每个个则则 是是一一个个映映射射.定定义义域域值值域域 例例 121212,()(),ffXYRYfXY
12、xxX xxf xf xfXYff 定定义义 设设 是是集集合合 到到集集合合 的的映映射射.若若则则称称 是是 到到的的映映射射或或;若若对对有有则则称称是是 到到 的的;若若 既既是是单单射射,又又是是满满射射,则则称称 为为上上满满射射单单射射一一一一映映射射(或或双双射射).).21 2.逆逆映映射射与与复复合合映映射射 ,().,:fffXYyRxXf xyggRX 设设 是是 到到 的的单单射射 则则对对每每个个有有唯唯一一的的适适合合于于是是可可定定义义一一个个新新映映射射即即,(),().fyRg yxxf xy对对每每个个规规定定其其中中 满满足足111,.fffgffDRR
13、X 映映射射 称称为为 的的记记作作定定义义域域值值域域逆逆映映射射:只只有有单单射射才才注注有有逆逆映映射射.22 12:,:gXYfYZ设设有有两两个个映映射射12.YY 其其中中1,().xXgyg xY 则则对对在在映映射射 下下 有有唯唯一一确确定定的的 12,().()()yYYfzf yZXZzf yf g x 对对这这个个在在映映射射 下下 有有唯唯一一确确定定的的于于是是确确定定了了一一个个从从 到到 的的映映射射,gffg 称称这这个个映映射射为为映映射射 和和映映射射 构构成成射射 记记作作复复合合映映的的即即 ()()(),fgxf g xxX 2312:,:.gfgXYfYZRDfg 对对于于映映射射和和映映射射只只有有当当时时 才才能能构构成成复复合合映映射射注注,fggffggffggf 一一般般地地 若若有有意意义义 但但未未必必有有意意义义.即即使使与与都都有有意意义义,与与也也未未必必相相同同.2:1,1,()sin.:1,10,1,1,1,()14gRxRg xxfuf uu 设设映映射射对对每每个个映映射射对对个个例例每每 2()()()(sin)1sin|cos|fgxf g xfxxx 得得复复合合映映射射
