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1、1第九节第九节 无穷小的比较无穷小的比较0 无穷小的比较无穷小的比较0 等价无穷小等价无穷小2一、无穷小的比较一、无穷小的比较引例引例xxx3lim20 xxxsinlim02201sinlimxxxx2210,sin,sinxx xx xx当当时时都都是是无无穷穷小小.极限不同极限不同,反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不同程度不同.23;xx比比趋趋近近零零的的速速度度要要快快得得多多sin;xx与与 大大致致相相同同不可比不可比.,0,1 xx1sinlim0 不不存存在在,观察各极观察各极限限3lim(0),;c c 如如果果则则说说是是同同阶阶无无穷穷小小与与lim0,
2、高高阶阶的的无无如如果果则则说说 是是比比穷穷小小 记记作作,0.设设是是同同一一过过程程中中的的无无穷穷小小 且且定定义义lim(0,0),kc ckk 如如果果则则说说 是是关关于于 的的 阶阶lim1,如如果果则则说说 与与 是是等等价价无无穷穷小小,记记作作);(o lim,如如果果则则说说低低阶阶的的是是比比无无穷穷小小;无无穷穷小小；.422023lim0,33()(0).xxxxxxxo xx 因因=0,=0,所所以以当当时时是是比比 高高阶阶的的无无穷穷小小,即即22111lim,1nnnnnn 因因=,所所以以当当时时是是比比低低阶阶的的2239lim3,33.xxxxxx
3、因因=6,=6,所所以以当当时时-9-9与与是是同同阶阶无无穷穷小小例例如如:无无穷穷小小.5201coslim0,1cos.xxxxxx 1 1 因因=,=,所所以以当当时时是是2 2关关于于 的的二二阶阶无无穷穷小小0sinlim0,sinsin(0).xxxxxxxxx 因因=1,=1,所所以以当当时时与与 是是等等价价无无穷穷小小,即即6111.nxxn7二、等价无穷小的性质二、等价无穷小的性质().o定定理理1 1 ,证证 设设则则必必要要性性 limlim(1)(),o 因因此此().o 即即lim1 110,(),o设设 则则充充分分性性 ()limlimo .因因此此()lim
4、(1)o 1,81 0,sin,t2 an,1cos.2xxxxxxx因因例例时时2211cos()2xxo x0,x 所所以以当当时时 有有sin(),tan(),xxo xxxo x9,limlim 定定理理设设且且存存在在 则则也也存存在在,且且2 2,limlim 证证 lim limlimlim limlim.1030sinlim.3xxxx 例例3 3求求 201lim3xx 定定理理2 2表表明明,在在求求两两个个无无穷穷小小之之商商的的极极限限时时,分分子子分分母母都都可可用用等等价价无无穷穷小小来来代代替替,可可使使 注注:计计算算简简化化.3300sinlimlim33xx
5、xxxxxx 解解 1.3 111230(1)1 lim.cos14 xxx 例例求求12223110,(1)1,cos132xxxxx解解 当当1230(1)1limcos1xxx 所所以以 20213lim12xxx 23 见例见例1 11220tan 2lim.1cosxxx 例例5 5 求求210,1cos,tan2 2.2xxxxx解解 当当时时202(2)lim12xxx 所所以以,原原式式.8 13sin01lim.ln(13)xxex 例例6 6 求求313sinlim0 xxx原式原式0,x 解解 当当时时,3)31ln(xx,sin1sinxex 注注:不能滥用等价无穷小代
6、换不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各对于代数和中各无穷小不能分别替换无穷小不能分别替换.1430tansinlim.sin 2xxxx 例例 求求7 7解解.sin,tan,0 xxxxx时时当当 30)2(limxxxx 原式原式.0 解解,0时时当当 x)cos1(tansintanxxxx ,213x,22sinxx330)2(21limxxx 原式原式.161 错错 正正确确解解法法如如下下:15常用等价无穷小常用等价无穷小:,0时时当当 x用等价无穷小可给出函数的近似表达式用等价无穷小可给出函数的近似表达式:lim1,().o 因因若若则则有有.21cos1,1,)1ln(,ar
7、ctan,tan,arcsin,sin2xxxexxxxxxxxxxx tan(),1()xxxo xexo x111.nxxn16思考题思考题1.1.任何两个无穷小量都可以比较吗？任何两个无穷小量都可以比较吗？2.2.比较下列各对无穷小的阶比较下列各对无穷小的阶11)1,1.1xxxx 时时与与2)0,11sintan.xxxxx时时与与33)1,tan(1).xxxxxx时时与与3.已知当已知当x0时时,1)1(312 ax1cos x与与是等价无穷小，求是等价无穷小，求a.17思考题解答思考题解答1.不能不能,x 例例当当时时,1)(xxf xxxgsin)(都是无穷小量都是无穷小量但但
8、)()(limxfxgxxxsinlim不存在且不为无穷大不存在且不为无穷大,()()xf xg x 故故当当时时与与不不能能比比较较.2.解解 1)1)11111limlim111xxxxxxx 18xxx 1112）2000112limlimsintan(11)2 lim(11)xxxxxxxxxx xxx x xx 11是比是比sinx tanx低阶的无穷小低阶的无穷小.1912230021(1)133.limlim1,1cos12xxaxaxxx 解解 .23 a则则3tan(1)xxxxx是是比比高高阶阶的的无无穷穷小小.3200tantan3)limlim0(1)1xxxxxxxxxx3tan(1)xxxo xx
