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1、6.3 定积分的物理应用定积分的物理应用0 转动惯量转动惯量0 变力沿直线所做的功变力沿直线所做的功0 引力引力问题：问题：物体在变力物体在变力F(x)的作用下，从的作用下，从x轴上轴上a点移动到点移动到 b点，点，求变力所做的功。求变力所做的功。用积分元素法用积分元素法1）在）在a,b上考虑小区间上考虑小区间x,x+x，在此小区间上，在此小区间上 w dw=F(x)dx 2）将）将dw从从a到到b求定积分，就得到所求的功求定积分，就得到所求的功 babadxxFdwW)(一、变力沿直线所作的功一、变力沿直线所作的功例例 1 1 把一个带把一个带 q 电量的点电荷放在电量的点电荷放在 r 轴上
2、坐轴上坐标原点处，它产生一个电场这个电场对周围的电标原点处，它产生一个电场这个电场对周围的电荷有作用力由物理学知道，如果一个单位正电荷荷有作用力由物理学知道，如果一个单位正电荷放在这个电场中距离原点为放在这个电场中距离原点为 r 的地方，那么电场的地方，那么电场对它的作用力的大小为对它的作用力的大小为 2rqkF （k是常数），当是常数），当这个单位正电荷在电场中从这个单位正电荷在电场中从 ar 处沿处沿 r 轴移动轴移动到到 br 处时，计算电场力处时，计算电场力 F 对它所作的功对它所作的功or解解取取r为为积积分分变变量量，ro q a b 1 r,bar drr 取任一小区间取任一小区
3、间,drrr,功元素功元素,2drrkqdw 所求功为所求功为drrkqwba 2barkq 1.11 bakq如果要考虑将单位电荷移到无穷远处如果要考虑将单位电荷移到无穷远处drrkqwa 2 arkq1.akq xoxdxx 5功元素功元素:,2.88dxxdw dxxw 2.885050222.88 x3462(千焦千焦)例例 2 2 一圆柱形蓄水池一圆柱形蓄水池高为高为 5米，底半径为米，底半径为3 米，池内盛满了水米，池内盛满了水.问要把池内的水全部问要把池内的水全部吸出，需作多少功？吸出，需作多少功？解解 设木板对铁钉的阻力为设木板对铁钉的阻力为,)(kxxf 第一次锤击时所作的功
4、为第一次锤击时所作的功为 101)(dxxfw,2k.)(0 hhdxxfw例例3 3 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功厘米，若每次锤击所作的功相等，问第相等，问第 n 次锤击时又将铁钉击入多少？次锤击时又将铁钉击入多少？设设 次击入的总深度为次击入的总深度为 厘米厘米hn次锤击所作的总功为次锤击所作的总功为n hhkxdxw0,22kh 依题意知，每次锤击所作的功相等依题意知，每次锤击所作的功相等1nwwh
5、22kh,2kn ,nh .1 nn次击入的总深度为次击入的总深度为n第第 次击入的深度为次击入的深度为n 由物理学知道，在水深为由物理学知道，在水深为h处的压强为处的压强为hp ，这里，这里 是水的比重如果有一面积为是水的比重如果有一面积为A的平板水平地放置在水深为的平板水平地放置在水深为h处，那么，平板一处，那么，平板一侧所受的水压力为侧所受的水压力为ApP 如如果果平平板板垂垂直直放放置置在在水水中中，由由于于水水深深不不同同的的点点处处压压强强p不不相相等等，平平板板一一侧侧所所受受的的水水压压力力就就不不能能直直接接使使用用此此公公式式，而而采采用用“微微元元法法”思思想想二、水压力
6、例例 4 4 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，设桶的底半径为设桶的底半径为R，水的比重为，水的比重为，计算桶的一端面，计算桶的一端面上所受的压力上所受的压力解解 在端面建立坐标系如图在端面建立坐标系如图xo取取x为积分变量，为积分变量，,0Rx 取取任任一一小小区区间间,dxxx xdxx 小矩形片上各处的压强近小矩形片上各处的压强近似相等似相等小小矩矩形形片片的的面面积积为为.222dxxR ,xp 小小矩矩形形片片的的压压力力元元素素为为dxxRxdP222 端面上所受的压力端面上所受的压力dxxRxPR2202 )(22022xRdxRR
7、RxR032232 .323R 例例 5 5 将直角边各为将直角边各为a及及a2的直角三角形薄板的直角三角形薄板垂直地浸人水中，斜边朝下，直角边的边长与水垂直地浸人水中，斜边朝下，直角边的边长与水面平行，且该边到水面的距离恰等于该边的边面平行，且该边到水面的距离恰等于该边的边长，求薄板所受的侧压力长，求薄板所受的侧压力解解 建立坐标系如图建立坐标系如图xoa2a2a面积微元面积微元,)(2dxxa dxxaaxdP 1)(2)2(dxxaaxPa)(2(20 .373a .,4,20,3050,静静压压力力求求闸闸门门一一侧侧所所受受的的水水的的米米高高出出水水面面如如果果闸闸门门顶顶部部米米
8、高高为为米米米米和和分分别别为为梯梯形形的的上上下下底底如如图图所所示示一一等等腰腰梯梯形形闸闸门门二、二、水压力水压力xyoabxdxx )(xf babadxxxfdPP)()(为为比比重重 例例1、160)2321(2dxxgxP 16023)233(xxg )25623409631(g g 67.4522).(1043.47牛牛 解解xyo164 xdxx AB如图建立坐标系如图建立坐标系,.,4,20,3050,静静压压力力求求闸闸门门一一侧侧所所受受的的水水的的米米高高出出水水面面如如果果闸闸门门顶顶部部米米高高为为米米米米和和分分别别为为梯梯形形的的上上下下底底如如图图所所示示一
9、一等等腰腰梯梯形形闸闸门门 由物理学知道，质量分别为由物理学知道，质量分别为21,mm相距为相距为r的两个质点间的引力的大小为的两个质点间的引力的大小为221rmmkF ，其中其中k为引力系数，引力的方向沿着两质点的为引力系数，引力的方向沿着两质点的连线方向连线方向 如果要计算一根细棒对一个质点的引力，如果要计算一根细棒对一个质点的引力，那么，由于细棒上各点与该质点的距离是变化那么，由于细棒上各点与该质点的距离是变化的，且各点对该质点的引力方向也是变化的，的，且各点对该质点的引力方向也是变化的，就不能用此公式计算就不能用此公式计算三、引力三、引力例例 6 6 有有一一长长度度为为l、线线密密度
10、度为为 的的均均匀匀细细棒棒，在在其其中中垂垂线线上上距距棒棒a单单位位处处有有一一质质量量为为m的的质质点点M，计计算算该该棒棒对对质质点点M的的引引力力2l2l xyoMa解解 建立坐标系如图建立坐标系如图取取y为积分变量为积分变量取取任任一一小小区区间间,dyyy,2,2 lly将典型小段近似看成质点将典型小段近似看成质点小段的质量为小段的质量为,dy rydyy 小段与质点的距离为小段与质点的距离为,22yar 引力引力,22yadymkF 水平方向的分力元素水平方向的分力元素,)(2322yadyamkdFx 2322)(22yadyamkFllx ,)4(22122laalkm 由对称性知，引力在铅直方向分力为由对称性知，引力在铅直方向分力为.0 yF2l2l xyoMarydyy
