高数课件a63.ppt
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1、6.3 定积分的物理应用定积分的物理应用0 转动惯量转动惯量0 变力沿直线所做的功变力沿直线所做的功0 引力引力问题:问题:物体在变力物体在变力F(x)的作用下,从的作用下,从x轴上轴上a点移动到点移动到 b点,点,求变力所做的功。求变力所做的功。用积分元素法用积分元素法1)在)在a,b上考虑小区间上考虑小区间x,x+x,在此小区间上,在此小区间上 w dw=F(x)dx 2)将)将dw从从a到到b求定积分,就得到所求的功求定积分,就得到所求的功 babadxxFdwW)(一、变力沿直线所作的功一、变力沿直线所作的功例例 1 1 把一个带把一个带 q 电量的点电荷放在电量的点电荷放在 r 轴上
2、坐轴上坐标原点处,它产生一个电场这个电场对周围的电标原点处,它产生一个电场这个电场对周围的电荷有作用力由物理学知道,如果一个单位正电荷荷有作用力由物理学知道,如果一个单位正电荷放在这个电场中距离原点为放在这个电场中距离原点为 r 的地方,那么电场的地方,那么电场对它的作用力的大小为对它的作用力的大小为 2rqkF (k是常数),当是常数),当这个单位正电荷在电场中从这个单位正电荷在电场中从 ar 处沿处沿 r 轴移动轴移动到到 br 处时,计算电场力处时,计算电场力 F 对它所作的功对它所作的功or解解取取r为为积积分分变变量量,ro q a b 1 r,bar drr 取任一小区间取任一小区
3、间,drrr,功元素功元素,2drrkqdw 所求功为所求功为drrkqwba 2barkq 1.11 bakq如果要考虑将单位电荷移到无穷远处如果要考虑将单位电荷移到无穷远处drrkqwa 2 arkq1.akq xoxdxx 5功元素功元素:,2.88dxxdw dxxw 2.885050222.88 x3462(千焦千焦)例例 2 2 一圆柱形蓄水池一圆柱形蓄水池高为高为 5米,底半径为米,底半径为3 米,池内盛满了水米,池内盛满了水.问要把池内的水全部问要把池内的水全部吸出,需作多少功?吸出,需作多少功?解解 设木板对铁钉的阻力为设木板对铁钉的阻力为,)(kxxf 第一次锤击时所作的功
4、为第一次锤击时所作的功为 101)(dxxfw,2k.)(0 hhdxxfw例例3 3 用铁锤把钉子钉入木板,设木板对铁钉的阻用铁锤把钉子钉入木板,设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比,铁锤在第一次力与铁钉进入木板的深度成正比,铁锤在第一次锤击时将铁钉击入锤击时将铁钉击入1厘米,若每次锤击所作的功厘米,若每次锤击所作的功相等,问第相等,问第 n 次锤击时又将铁钉击入多少?次锤击时又将铁钉击入多少?设设 次击入的总深度为次击入的总深度为 厘米厘米hn次锤击所作的总功为次锤击所作的总功为n hhkxdxw0,22kh 依题意知,每次锤击所作的功相等依题意知,每次锤击所作的功相等1nwwh
5、22kh,2kn ,nh .1 nn次击入的总深度为次击入的总深度为n第第 次击入的深度为次击入的深度为n 由物理学知道,在水深为由物理学知道,在水深为h处的压强为处的压强为hp ,这里,这里 是水的比重如果有一面积为是水的比重如果有一面积为A的平板水平地放置在水深为的平板水平地放置在水深为h处,那么,平板一处,那么,平板一侧所受的水压力为侧所受的水压力为ApP 如如果果平平板板垂垂直直放放置置在在水水中中,由由于于水水深深不不同同的的点点处处压压强强p不不相相等等,平平板板一一侧侧所所受受的的水水压压力力就就不不能能直直接接使使用用此此公公式式,而而采采用用“微微元元法法”思思想想二、水压力
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