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1、目录 上页 下页 返回 结束 2023-9-12高数同济六版第七节曲线的弯曲程度与切线的转角有关与曲线的弧长有关主要内容主要内容:一、一、弧微分弧微分 二、二、曲率及其计算公式曲率及其计算公式 三、三、曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径 MMM 平面曲线的曲率 第三三章 目录 上页 下页 返回 结束 2023-9-12高数同济六版一、一、弧微分弧微分)(xfy 设在(a,b)内有连续导数,其图形为 AB,弧长)(xsAMsxsMMMMxMMMMMMxyx22)()(MMMM2)(1xyxsxsx0lim)(2)(1yxO)(xfy ABabxyxMxxMy1lim0MMMMx目录 上页 下页 返
2、回 结束 2023-9-12高数同济六版则弧长微分公式为tyxsdd22)(xs2)(1yxysd)(1d2或22)(d)(ddyxsOxxdxdxyxMydT几何意义几何意义:sdTM;cosddsxsinddsy若曲线由参数方程表示:)()(tyytxx的导数数表示对参tx 目录 上页 下页 返回 结束 2023-9-12高数同济六版二、曲率及其计算公式二、曲率及其计算公式在光滑弧上自点 M 开始取弧段,其长为,s对应切线,定义弧段 上的平均曲率ssKMMs点 M 处的曲率sKs0limsdd注意注意:直线上任意点处的曲率为 0!转角为目录 上页 下页 返回 结束 2023-9-12高数同
3、济六版例例1.求半径为R 的圆上任意点处的曲率.解解:如图所示,RssKs0limR1可见:R 愈小,则K 愈大,圆弧弯曲得愈厉害;R 愈大,则K 愈小,圆弧弯曲得愈小.sRMM目录 上页 下页 返回 结束 2023-9-12高数同济六版有曲率近似计算公式,1时当 yytan)22(设y arctan得xyd)arctan(d xyyd12 xysd1d2故曲率计算公式为sKdd23)1(2yyK yK 又曲率曲率K 的计算公式的计算公式)(xfy 二阶可导,设曲线弧则由目录 上页 下页 返回 结束 2023-9-12高数同济六版说明说明:(1)若曲线由参数方程)()(tyytxx给出,则23
4、)1(2yyK(2)若曲线方程为,)(yx则23)1(2xxK 23)(22yxyxyxK 目录 上页 下页 返回 结束 2023-9-12高数同济六版例例2.我国铁路常用立方抛物线361xlRy 作缓和曲线,处的曲率.)6,(,)0,0(2RllBO点击图片任意处播放暂停说明说明:铁路转弯时为保证行车平稳安全,求此缓和曲线在其两个端点且 l R.其中R是圆弧弯道的半径,l 是缓和曲线的长度,离心力必须连续变化,因此铁道的曲率应连续变化.目录 上页 下页 返回 结束 2023-9-12高数同济六版Oyx例例2.我国铁路常用立方抛物线361xlRy 作缓和曲线,且 l R.处的曲率.)6,(,)
5、0,0(2RllBO其中R是圆弧弯道的半径,l 是缓和曲线的长度,求此缓和曲线在其两个端点解解:,0时当lxRl20 xlRy1 yK xlR1显然;00 xKRKlx1221xlRy RB361xlRy l目录 上页 下页 返回 结束 2023-9-12高数同济六版例例3.求椭圆tbytaxsincos)20(t在何处曲率最大?解解:故曲率为 ba23)cossin(2222tbta;sintax;costby taxcos tbysin 23)(22yxyxyxK K 最大tbtatf2222cossin)(最小ttbttatfsincos2cossin2)(2tba2sin)(22求驻点
6、:目录 上页 下页 返回 结束 2023-9-12高数同济六版,0)(tf令,0t得,2,232,设tbatf2sin)()(22t)(tf022322b2b2a2b2a从而 K 取最大值.这说明椭圆在点,0ab 时则2,0t)0,(a处曲率计算驻点处的函数值:yxbaba,)(取最小值tf最大.OK 最大tbtatf2222cossin)(最小目录 上页 下页 返回 结束 2023-9-12高数同济六版三、三、曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径TyxO),(DR),(yxMC设 M 为曲线 C 上任一点,在点在曲线KRDM1把以 D 为中心,R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的曲率圆(密切圆)
7、,R 叫做曲率半径,D 叫做曲率中心.在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系:(1)有公切线;(2)凹向一致;(3)曲率相同.M 处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点 D 使目录 上页 下页 返回 结束 2023-9-12高数同济六版设曲线方程为,)(xfy 且,0 y求曲线上点M 处的曲率半径及曲率中心),(D设点M 处的曲率圆方程为222)()(R故曲率半径公式为KR1 23)1(2yy 满足方程组,222)()(Ryx),(在曲率圆上yxM)(MTDM yyx的坐标公式.TyxOR),(yxMC),(D目录 上页 下页 返回 结束 2023-9-12高数同济六版满足方程组,222)(
8、)(Ryx),(在曲率圆上yxM)(MTDM yyx由此可得曲率中心公式yyyx)1(2yyy 21(注意y与y 异号)当点 M(x,y)沿曲线)(xfy 移动时,的轨迹 G 称为曲线 C 的渐屈线渐屈线,相应的曲率中心曲率中心公式可看成渐曲线 C 称为曲线 G 的渐伸线渐伸线.屈线的参数方程(参数为x).点击图中任意点动画开始或暂停TyxOR),(yxMC),(D目录 上页 下页 返回 结束 2023-9-12高数同济六版Oyxab例例4.设一工件内表面的截痕为一椭圆,现要用砂轮磨削其内表面,问选择多大的砂轮比较合适?解解:设椭圆方程为tbytaxsincos),20(abx由例3可知,椭圆
9、在)0,(a处曲率最大,即曲率半径最小,且为 R23)cossin(2222tbtaba0tab2显然,砂轮半径不超过时，ab2才不会产生过量磨损,或有的地方磨不到的问题.例例3目录 上页 下页 返回 结束 2023-9-12高数同济六版(仍为摆线)sin(a)cos1(a例例5.求摆线)cos1()sin(tayttax的渐屈线方程.解解:xyy,cos1sinttxyyt)(dd 2)cos1(1ta代入曲率中心公式,)sin(tta)1(cos ta得渐屈线方程,t令aa2摆线 Oyyyx)1(2yyy 21摆线OyxM摆线摆线摆线半径为 a 的圆周沿直线无滑动地滚动时,点击图中任意点动
10、画开始或暂停MyxtaO其上定点 M 的轨迹即为摆线.)sin(ttax)cos1(tay参数的几何意义摆线的渐屈线点击图中任意点动画开始或暂停目录 上页 下页 返回 结束 2023-9-12高数同济六版内容小结内容小结1.弧长微分xysd1d2或22)(d)(ddyxs2.曲率公式sKdd23)1(2yy 3.曲率圆曲率半径KR1yy 23)1(2曲率中心yyyx)1(2yyy 21目录 上页 下页 返回 结束 2023-9-12高数同济六版思考与练习思考与练习1.曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系?答答:有公切线;凹向一致;曲率相同.2.求双曲线1yx的曲率半径 R,并分析何处 R 最小?解解:,12xy,23xy 则 R23)1(2yy 234)1(1x32x232)(1221xx 利用baba2222.21为最小值显然xRO11yx目录 上页 下页 返回 结束 2023-9-12高数同济六版作业作业第八节 P177 4；5；7；8；*9
