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1、一、高斯公式一、高斯公式二、简单应用二、简单应用三、物理意义三、物理意义通量与散度通量与散度四、小结四、小结一、高斯公式一、高斯公式设空间闭区域设空间闭区域 由分片光滑的闭曲面围成。函数由分片光滑的闭曲面围成。函数 ),(zyxP、),(zyxQ、),(zyxR在在 上具有一阶连上具有一阶连 续偏导数续偏导数,则有公式则有公式 RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(dSRQPdvzRyQxP)coscoscos()(或或这里这里 是是 的整个边界曲面的的整个边界曲面的外侧外侧，,cos ,cos cos是是 上点上点),(zyx处的法向量的方向余弦处的法向量的方向余弦.高斯公式高斯
2、公式Gauss 公式的公式的实质实质表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系面上的曲面积分之间的关系.RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(dSRQP)coscoscos(二、简单的应用二、简单的应用例例 1 1 计算曲面积分计算曲面积分 xdydzzydxdyyx)()(解解,0,)(yxRQxzyP 其中为柱面其中为柱面122 yx及及 平面平面3 ,0 zz所围成的空所围成的空 间闭区域间闭区域 的整个边界曲面的整个边界曲面 的外侧的外侧.,0,0,zRyQzyxPxzy11o3 dxdydzzy)(dzdrdrzr
3、 )sin(.29 (利用柱面坐标得利用柱面坐标得)解解,0,)(yxRQxzyP ,0,0,zRyQzyxPxdydzzydxdyyx)()(dzzrrdrd)sin(301020 xzy11o3dvzRyQxP)(使用使用Guass公式时应公式时应注意注意:1.1.RQP ,是对什么变量求偏导数是对什么变量求偏导数;2.2.是否满足高斯公式的条件是否满足高斯公式的条件;3.3.是取闭曲面的外侧是取闭曲面的外侧.例例 2 2 利用高斯公式计算曲面积分利用高斯公式计算曲面积分 dszyx)coscoscos(222 ,其中为锥面其中为锥面 222zyx 介于平面介于平面 0 z及及 )0(hh
4、z 之间的部分的之间的部分的 下侧下侧,cos ,cos cos 是是 在在 ),(zyx 处的法向量的处的法向量的 方向余弦方向余弦.解解xyzoh 曲面曲面 不是封闭曲面，不是封闭曲面，不能直接用不能直接用高斯公式。高斯公式。)(:2221hyxhz 补充补充h h 1 解解曲面曲面 不是封闭曲面，不是封闭曲面，不能直接用不能直接用高斯公式。高斯公式。)(:2221hyxhz 补充补充xyzoh h h 1 取上侧，取上侧，1.1 围成空间区域围成空间区域.1的外侧的外侧恰好是空间区域恰好是空间区域 ,上使用高斯公式上使用高斯公式在在,2xP ,2yQ ,2zR ).(2zyxzRyQxP
5、 ,上使用高斯公式上使用高斯公式在在,2xP ,2yQ ,2zR ).(2zyxzRyQxP 1)coscoscos(222dSzyx dvzyx)(2xyzoh h h 1 xyD .,020 :hzrhr，dzrzrrdrdhrh )sincos(2020 .214h .,sin,coszzryrx 1)coscoscos(222dSzyx dvzyx)(2 .,020 :hzrhr，dzrzrrdrdhrh )sincos(2020 .214h .,sin,coszzryrx .:1hz .0 ,0 yxzz.0cos ,0cos ,0cos 1)coscoscos(222dSzyx 1
6、2dSz.:1hz .0 ,0 yxzz.0cos ,0cos ,0cos 1)coscoscos(222dSzyx 12dSz xyDdxdyh2.4 h 故所求积分为故所求积分为 dSzyx)coscoscos(222 421h 4 h .214 h 三、物理意义三、物理意义-通量与散度通量与散度设有向量场设有向量场 ),(),(),(),(kzyxRjzyxQizyxPzyxA 沿场中某一有向曲面的第二类曲面积分为沿场中某一有向曲面的第二类曲面积分为 1.1.通量的定义通量的定义:RdxdyQdzdxPdydzdSnASdA 0称为向量场称为向量场 ),(zyxA 向正侧穿过曲面的向正侧
7、穿过曲面的通量通量.设有向量场设有向量场),(zyxA,在场内作包围点在场内作包围点M的闭曲的闭曲 面面,包围的区域为包围的区域为V,记体积为记体积为V.若当若当V收缩收缩 成点成点M时，极限时，极限 VSdAMV lim 存在存在,则称此极限值为则称此极限值为A在点在点M处的处的散度散度,记为记为Adiv.2.2.散度的定义散度的定义:散度在直角坐标系下的形式散度在直角坐标系下的形式 dSvdvzRyQxPn)(dSvVdvzRyQxPVn1)(1 dSvVzRyQxPn1)(),(dSvVzRyQxPnM1lim积分中值定理积分中值定理,两边取极限两边取极限,.divzRyQxPA 高斯公式可写成高斯公式可写成.dSAdvAdivn)coscoscos(0 RQPnAAn 的边界曲面，的边界曲面，是空间闭区域是空间闭区域其中其中 .的外侧法向量上的投影的外侧法向量上的投影在曲面在曲面是向量是向量 AAn四、小结四、小结.div dSAdvAn（1 1）应用的条件）应用的条件（2 2）物理意义）物理意义2 2、高斯公式的实质、高斯公式的实质1 1、高斯公式、高斯公式.)(RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP作业：作业：213页页 1.
