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1、概率论与数理统计教程期末复习提要第一章随机事务与概率1 .事务的关系AUBAuBABA-BAAB=2 .运算规则(1)AjB=BjAAB=BA(2) (AuB)UC=Au(BuC)(AB)C=A(BC)(3) (AuB)C=(AC)U(BC)(AB)uC=(AuC)(BuC)(4) AO,则P(A3)=丹竺(2) 乘法公式：P(AB)=P(8)P(AIB)若用，当,纥为完备事务组，P(Br)0,则有(3) 全概率公式:P(A) = X P(Sj)P(AM)(4) Bayes 公式:ZWA) =辛山旦L P()P(ABj)7 .事务的独立性：A,B独立=P(AB)=P（八）P(B)(留意独立性的
2、应用)其次章随机变量及其分布1.离散随机变量：取有限或可列个值，P(X=Xi)=Pi满意(1)Pi0,(2)ZPi=Ii(3)对随意OUR,P(XSD)=EPii:XiWD2.连续随机变量：具有概率密度函数/3),满意(1)/(x)0,f(x)dx=iJ-OO(2)P(VXb)=f/(幻右；(3)对随意R,P(X=)=O3.几个常用随机变量名称与记号分布列或密度数学期望方差两点分布8(1,P)P(X=I)=p,P(X=O)=g=lpPPq二项式分布5(%P)P(X=Q=c：Pkqn-k,k=0,1,2,，npnpqPoisson分布P)尸(X一,A=0,1,2,k几何分布G(P)P(X=k)=
3、qkxp,k=-17qP2匀称分布U(4,)f(x)=-一,axb,b-aa+b2S-a)?12指数分布E(l)/*)=及tx01I1正态分布N”,/)y22b4.分布函数F(x)=P(Xx),具有以下性质(1)F(-)=0,F(+)=h(2)单调非降；(3)右连续；(4)PgVXb)=F(b)-F(a),特殊P(Xa)=1尸(。)；(5)对离散随机变量，F(x)=pi;hxl%)=l-(%)6 .随机变量的函数Yg(X)(1)离散时，求丫的值，将相同的概率相加；(2) X连续，g(x)在X的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则y(y)=x(gT(y)(gT(y),若不单调，先求分布函数，
4、再求导。第三章随机向上1 .二维离散随机向量，联合分布列P(X=项,丫=yj)=Pij,边缘分布列P(X=i)=p.f。(丫=力)=%有(1) pij0；(2)Zp“=1；Pi=ZPij，Pj=EPijiiji2 .二维连续随机向量，联合密度/(x,y),边缘密度(%),4(y),有(1)/(,y);(2)二,y)=hP(X,y)G)=JL”乂)，以必，；(4)A(X)=匚/(,y)dy，4(y)=匚/(Ky)公3 .二维匀称分布/。,丁)二，嬴小()。,其中加(G)为G的面积0,其它4 .二维正态分布(x,y)N(”2，b：，b；，)，其密度函数(牢记五个参数的含义)f(,y)1 exp2i
5、2 -p2 2(1-p )|_ lN*-*- 2)2,(y-2)2且xN(M,c),yN(2，。；)；5 .二维随机向量的分布函数F(X,y)=P(Xx,yy)有(1)关于y单调非降；(2)关于x,y右连续；(3) F(x,-)=F(-,y)=F(-)=0；(4) 7(+oo,+CO)=1,F(x,+)=Fx(x),F(+,y)=Fr()；(5) P(x1Xx2,1Yy2)=F(x2,y2)-F(x1,2)-F(x2,y1)+F(x1,y1);(6)对二维连续随机向量，f(,y)=，(：)xy6.随机变量的独立性X1独立O/(x,y)=Fx(x)F(y)(1)离散时X,y独立OPg=Pi.Pj
6、(2)连续时X,Y独立of(x,y)=fx(x)f(y)(3) 二维正态分布x,y独立=0=0,且x+yn(从+2。；+卢)7.随机变量的函数分布(1) 和的分布Z=X+y的密度JZ(Z)=J：/(Z-Ky)dy=4(x,Z-x)dx(2) 最大最小分布第四章随机变量的数字特征1 .期望(1)离散时E(X)=EXiPi，E(g(X)=Zg(Xj)Pi；ii连续时E(X)=xf(x)dx,E(g(X)=g(x)f(x)dxiJ-8J-Oo(3)二维时E(g(X,y)=Zg(XQj)P/E(g(X,y)=匚J：g(xty)f(x,y)dxdyJF8(4)E(C)=C,(5)E(CX)=CE(X);
7、(6) E(X+Y)=E(X)+E(Y)i(7) X,V独立时，E(XY)=E(X)E(Y)2 .方差(1)方差。(X)=E(X-E(X)2=E(X2)_(破)2,标准差o(X)=JD(X)；(2) D(C)=0,D(X+C)=D(X);(3) D(CX)=C2D(X);(4) X,Y独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y)3 .协方差(1) Cov(X9Y)=E(X-E(X)G-E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)i(2) Cov(X,Y)=Cov(Y9X)9Cov(aXybY)=abCovX,Y)；(3) Cov(X1+X2,Y)=CovXx,Y)+CovX2,Y)；(4)Cov(xy)
8、=w,称x,y不相关，独立=不相关，反之不成立，但正态时等价;(5)D(X+y)=D(X)+D(Y)+ICov(X9Y)4 .相关系数px=C-(X；有IPXyI1,IPXyl=Iom4,4P(Y=aX+b)l(X)(K)5 .k阶原点矩匕=E(XA),k阶中心矩Mt=E(X-E(X)第五章大数定律与中心极限定理1 .ChebySheV不等式PX-E(X)e驾或R一(x)户(T%T)S22第七章参数估计1 .矩估计：(1)依据参数个数求总体的矩；(2)令总体的矩等于样本的矩；(3)解方程求出矩估计2 .极大似然估计：(1)写出极大似然函数；(2)求对数极大似然函数(3)求导数或偏导数；(4)令导数或偏导数为0,解出极大似然估计(如无解回到(1)干脆求最大值，一般为minj或maxa)3 .估计量的评比原则(1)无偏性：若E(O)=G,则为无偏；(2)有效性：两个无偏估计中方差小的有效;4.参数的区间估计(正态)参数条件估计函数置信区间2已知X-u=-r=n+i=TH2未知，=斗SIylnx+ta(11-l)-=22未知、(n-l)52Z=2r(I)/(-1)52Zl(n-Y2a(n-l)1-22
