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1、第八章第八章 自由曲线曲面自由曲线曲面8.1 曲线和曲面的表示曲线和曲面的表示n位置矢量空间一点A，从原点O到A的连线OA表示的矢量。n曲线的表示形式空间一点的位置矢量有3个坐标分量，而空间曲线则是空间动点运动的轨迹，即空间矢量端点运动形成的矢量曲线，矢量方程为参数方程为)(),(),()(uzuyuxucc)()()(uzzuyyuxx8.1 曲线和曲面的表示曲线和曲面的表示n曲线的参数表示优点n有更大的自由度来控制曲线或曲面形状n可对参数曲线曲面方程直接进行几何变换，而不需要对曲线曲面每个数据点进行几何变换n可处理斜率无穷大的情况n对变量个数不限，便于将低维空间中的曲线曲面扩展到高维空间n
2、便于采用规格化的参数变量n易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化计算 1,0t8.1 曲线和曲面的表示曲线和曲面的表示n曲线的矢函数求导duudcuucucuucuucuucucuucucu)()(lim)()()()()()()(0又设r(u)=x(u),y(u),z(u)，因为)()(,)()(,)()()()(uuzuuzuuyuuyuuxuuxuucuuc8.1 曲线和曲面的表示曲线和曲面的表示所以 矢函数的导矢也是一个矢函数，因此也有方向和模。当 ,c(u)/u 就转变为切线矢量，故又称导矢为切矢。n曲线的自然参数方程设在空间曲线c(u)上任取一点M0(x0,y0,z0)作为计算弧长起点
3、，曲线上其他点M(x,y,z)到M0的弧长s作为曲线方程的参数，这样的方程称为曲线的自然参数方程，弧长则称为自然参数。)(),(),()(uzuyuxuc0u)(),(),()(szsysxscc8.1 曲线和曲面的表示曲线和曲面的表示n曲线的法矢量设曲线自然参数方程为c=c(s)，曲线的切矢为单位矢量，记为因为(T(s)2=1，对左式求导，得到说明T(s)与 垂直，由于 不是单位矢量，可以认为其中单位矢量N(s)为主法线单位矢量，简称为主法矢，N(s)总是指向曲线凹入的方向。K(s)为一标量系数，称为曲线的曲率，而 称为曲率矢量，其模就是曲线曲率)()(scsT0)()(2sTsT)(.sT
4、)(.sT)()()(sNsksT)()(sTsC)(|)(|sksC8.1 曲线和曲面的表示曲线和曲面的表示记 称为曲率半径。设垂直于T和N的单位矢量为B，称B为法线单位矢量或副法线单位矢量由切线和主法线确定的平面称为密切平面，有主法线和副法线组成的平面称为法平面，由切线和副法线构成的平面称为从切面。)(),(/1)(ssks)()()(sNsTsB8.1 曲线和曲面的表示曲线和曲面的表示),(),(),(),(vuzvuyvuxvuSSn曲面的切矢和法矢 空间曲面采用双参数表示：当u为常数时，上式变成单参数v的矢函数，它是曲面上的空间曲线，称它为v线，同理v为常数时，则称为u线。将矢函数S
5、(u,v)对u求导，得切矢量),(),(),()()(lim0vuzvuyvuxuuSuuSuSuuuu切矢的方向指向参数u增长的方向，同理可求对v的切矢量。8.1 曲线和曲面的表示曲线和曲面的表示经过曲面上某点M(u,v)的切平面的法矢量为vvvuuuvuzyxzyxkjivuSvuSN),(),(8.1 曲线和曲面的表示曲线和曲面的表示n插值、逼近和拟合型值点 指通过测量或计算得到的曲线或曲面上少量描述几何形状的数据点。控制点 指用来控制或调整曲线曲面形状的特殊点。插值和逼近 插值设计方法要求建立的曲线曲面数学模型严格通过已知的每一个型点。而逼近设计方法只是近似的接近已知的型值点。拟合 指
6、在曲线曲面的设计过程中，用插值或逼近的方法使生成的曲线曲面达到某些设计要求。8.1 曲线和曲面的表示曲线和曲面的表示n曲线段间的连续性定义C0连续（0阶参数连续）前一段曲线的终点与后一段曲线的起点相同。C1连续（一阶参数连续）两相邻曲线段的连接点处有相同的一阶导数。C2连续（二阶参数连续）两相邻曲线段的连接点处有相同的一阶导数和二阶导数。8.2 贝叶斯（贝叶斯（Bezier）曲线）曲线10,)()(0,uuBPuCninii)(,uBni1、Bezier曲线定义给定空间n+1个点P0,P1,Pn，称下列参数曲线为n次的Bezier 曲线。其中 是Bernstein基函数)!(!,)1()(,i
7、ninuuuBCCininiinni8.2 贝叶斯（贝叶斯（Bezier）曲线）曲线一般称折线P0、P1Pn为C(u)的控制多边形，称P0、P1Pn各点为C(U)的控制顶点。控制多边形是C(u)的大致勾画，C(u)是P0、P1Pn的逼近。P0P3P1P2图8.1 Bezier曲线8.2 贝叶斯（贝叶斯（Bezier）曲线）曲线nBernstein基函数性质8.2 贝叶斯（贝叶斯（Bezier）曲线）曲线nBezier曲线性质8.2 贝叶斯（贝叶斯（Bezier）曲线）曲线nBezier曲线矩阵表示10)1()(uppuuC100111 1,)(PPuuC P1 P0 u图8.2 一次Bezie
8、r曲线8.2 贝叶斯（贝叶斯（Bezier）曲线）曲线nBezier曲线矩阵表示22102)1(2)1()(pupuupuuC2102001022121 1,)(PPPuuuC P2 P0图8.3 二次Bezier曲线 P(u)Q2 P1 Q18.2 贝叶斯（贝叶斯（Bezier）曲线）曲线nBezier曲线矩阵表示33221203)1(3)1(3)1()(pupuupuupuuC3210230001003303631331 1,)(PPPPuuuuC P3 P0图8.3 三次Bezier曲线 P(u)P1 P28.2 贝叶斯（贝叶斯（Bezier）曲线）曲线Bezier曲线的De Caste
9、liau算法给定三维空间点P0、P1Pn以及一维标量参数u,假定：)()()1()(111uuPuPuuPriririiiPuP)(0并且 那么 即为Bezier曲线上参数u处的点：)(0uPn8.2 贝叶斯（贝叶斯（Bezier）曲线）曲线Bezier曲线的De Casteliau算法DeCasteljau(P,n,u,C)/*Compute point on a Bezier curve using DeCasteljau algorithm*/*input:P,n,u*/*Output:C(a point)*/For(i=0;i=n;i+)Qi=Pi;For(k=1;k=n;k+)For
10、(i=0;i0，Ni,p(u)是两个（p-1）次基函数的线性组合；3、计算一系列的基函数，需要指定节点矢量U和次数P；4、Ni,p(u)是一分段多项式，仅仅在u0,um区间对其感兴趣；5、ui,ui+1)称为第i个节点区段，其长度可以为0；6、若 ，则称上式中除tj-1,tj+k以外的每一个节点为U的k重节点。,1iiuuukjkjjjjuuuuu111.8.4 B样条曲线样条曲线nB样条基函数的性质8.4 B样条曲线样条曲线nB样条曲线定义设P0,P1,Pn为给定空间的n+1个控制点，U=u0,u1,um是m+1个节点矢量，称下列参数曲线为P次的B样条曲线，折线P0,P1,Pn为B样条曲线的
11、控制多边形。buauNPuCpinii),()(,0次数p，控制顶点个数n+1，节点个数m+1具有下列关系m=n+p+18.4 B样条曲线样条曲线nB样条曲线性质8.4 B样条曲线样条曲线例题：给定控制顶点Pi(i=0,8),定义一条三次B样条曲线，这说明n=8,p=3,各种关系如下确定：1、节点矢量2、曲线定义域3、当定义域u3,u9)内不含重节点时，曲线段数=n-p+1=64、当 时，曲线C(u)由Pi-p,Pi)=P3,P6)4个控制顶点定义，与其他顶点无关。5、移动P3时，将至多影响到定义在ui,ui+p+1)=u3,u7)区间上的那些曲线段的形状。6、在u6,u7)上的三次B样条基及
12、计算定义在u6,u7)上那段三次B样条曲线将涉及到ui-p+1=u4,ui+p=u9共6个节点。,.,.,1210110uuuuuuUpn),),931uuuuunp),1iiuuu8.4 B样条曲线样条曲线n重节点对B样条曲线的影响节点的非均匀或非等距分布包含两层含义：1、节点区间长度不等；2、重节点，即节点区间长度为01、重节点的重复度每增加1，曲线段数就减1，同时样条曲线在该重节点处的可微性或参数连续阶降12、当定义域端点节点重复度为p时，p次B样条曲线的端点将与相应的控制多边形的顶点重合，在端点处与控制多边形相切。3、当端节点重复度为p时，p次B样条曲线插值于相应的控制多边形顶点。4、
13、当端节点重复度为p+1时，p次B样条曲线就具有和p次Bezier曲线相同的端点几何性质。5、p次B样条曲线若在定义域内相邻两节点都具有重复度p，可以生成定义在该节点区间内上那段B样条曲线的Bezier点。6、当端点节点重复度为p+1的p次B样条曲线的定义域仅有一个非零节点区间，则所定义的该p次B样条曲线就是p次Bezier曲线8.4 B样条曲线样条曲线n均匀B样条曲线n非均匀B样条曲线8.5 B样条曲面样条曲面本节自学8.6 NURBS曲线曲线非均匀有理B样条曲线和曲面（NonUniform Rational B-Spline）简称为NURBS曲线定义：p 次NURBS曲线为buauNPuNuCniipiniiipi,)()()(0,0,njjpjipipiuNuNuR0,)()()(令8.6 NURBS曲线曲线n 性质)(,uRpi8.6 NURBS曲线曲线nNURBS曲线性质n端点性质n仿射不变性n严格的保凸性n可微性n变差递减性n局部性n一般性
