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1、2023-9-141第七章第七章 几何造型几何造型 通过对点、线、面、体等图形元素进行几何变换和并、交、差等集合运算，在计算机内表示、构造三维形体的技术，即为几何造型技术。它是计算机图形学的一个重要组成部分，是CAD/CAM和各种计算机辅助制作技术的基础。几何造型包括曲面造形和实体造型等技术。曲面造形所涉及到的基础内容诸如自由曲线和曲面的表示我们已经讨论过。下面将介绍有关实体造型的基础知识。2023-9-142 7.1 7.1 形体在计算机内的表示形体在计算机内的表示 如何在计算机内定义和表示由基本图元的集合所决定的形体，是几何造形中最基本的问题。7.1.1 7.1.1 几何元素的定义几何元素
2、的定义 在计算机内通常用点、边、面、环、体等作为基本几何元素。1.1.点点 点是0维几何元素，分端点、交点、切点等，如边的端点。但在形体定义中，点不允许孤立地存在于实体内部或外部，只能存在于实体边界上。在自由曲线和曲面的描述中常用三种类型的点，即控制点、型值点、插值点。在计算机内，点用其位置坐标表示。点是几何造型中的最基本元素，用计算机存储、管理、输出形体的实质就是对点集及其连接关系的处理。2023-9-1432.2.边边 边是1维几何元素，由端点或曲线方程定义，如直线边、二次曲线边、三次样条曲线边等。曲线边也可由一系列型值点或控制点表示。3.3.面面 面是2维几何元素，是形体上一个有限、非零
3、的区域，由数学方程定义。面具有方向性，一般用其外法线方向作为面的正向。它用一个外环和若干内环界定其有效范围，面可以无内环，但必须有外环。在几何造型中常分平面、二次面、双三次参数曲面等形式。4.4.环环 环是有序、有向边组成的面上封闭边界，环中各条边不能自交，相邻两条边共享一个端点。环有内环与外环之分，确定面的最大外边界的环称为外环，每个面有且仅有一个外环。若面内有空，则还有内环。通常外环的边按逆时针方向排序，而内环的边按顺时针方向排序。这样定义后，在面上沿一个环前进，其左侧总是面内，右侧总是面外。2023-9-1445.5.体体 体是3维几何元素，是由封闭表面围成的维数一致的有效空间。为了保证
4、几何造型的可靠性和可加工性，要求形体上任意一点的足够小的邻域在拓扑上应是一个等价的封闭圆，即围绕该点的形体邻域在二维空间中可构成一个单连通域。把满足这个定义的形体称之为正则形体。形体的正则性限制任何面必须是形体表面的一部分，不能是悬面；每条边有且只能有两个邻面，不能是悬边；点至少和三条边邻接。图1示出几个非正则形体的例子。有悬面 有悬边 1条边有4个邻面图12023-9-1457.1.2 7.1.2 三维形体表示的三种模型三维形体表示的三种模型 我们可以通过对一个三维空间形体进行近似的描述来表示和构造相应的三维图形。在计算机中常用的是线框、表面和实体三种表示模型。1.1.线框模型线框模型 线框
5、模型是最早用来表示形体的模型，并且至今仍在广泛地应用。线框模型由顶点表示几何位置，相邻顶点连接构成棱边表示几何形状特征。图2是一个长方体的例子，8个顶点和12条棱边表示出这一形体。图22023-9-146 线框模型是表面模型和实体模型的基础。它具有结构简单、易于理解、数据量少的特点，因此计算机处理速度快。但用线框模型表示形体不充分，无法进行剖切、消隐、明暗等图形处理，也很难表示圆柱体、球体等曲面形体。2.2.表面模型表面模型 表面模型是用有向棱边围成的部分来定义形体表面，由面的集合来定义形体。表面模型是在线框模型的基础上，通过增加由哪些棱边按何种顺序连接等内容定义出表面，从而可以满足面面求交、
6、线面消隐、明暗处理等应用需要。这种模型通常用于构造复杂的曲面形体。表面模型完整地定义了形体的边界，但是形体的实心部分在边界哪一侧并不明确。2023-9-147图3是在线框模型的基础上增加各表面的信息。图32023-9-1483.3.实体模型实体模型 如果要处理完整的三维形体，最终必须使用实体模型，实体模型明确定义了表面的哪一侧存在实体。在表面模型的基础上，使用表面的外法线矢量方向来指明实体存在的一侧，例如规定正向指向体外。通常用有向棱边隐含地表示表面的外法线矢量方向。在定义表面时，有向棱边按右手法则取向，沿着闭合的棱边所得的方向与表面外法线矢量方向一致。图4是在表面模型的基础上增加定义了表面外
7、环的棱边方向。用此方法还可检查形体的拓扑一致性，拓朴合法的形体在相邻两个面的公共边界上，棱边的方向正好相反。图42023-9-1494.4.三种模型的数据结构三种模型的数据结构 线框模型的数据信息是顶点和棱边，其数据结构一般使用两组数据，或称两表结构。一张表表示顶点，一张表表示棱边。以图2为例，假定长方体的长是2，宽是1，高是1，则数据组织如表1和表2所示。表面模型是在线框模型的基础上增加定义表面信息，所以其数据结构也是在线框模型两表结构的基础上增加一面表，如表3所示。表1 表2 表3坐标值顶点编号xyz棱边编号顶 点编号表面编号 棱边编号 1012 112 11 43 2 2010 223
8、2312711 3110 334 35 67 8 4112 441 41105 9 5002 556 54 9812 6000 667 6211610 7100 778 8102 885 915 1026 1137 12482023-9-1410 实体模型是在表面模型的基础上增加定义了表面的哪一侧存在实体,并且使用有向边表示表面的外法线矢量方向。不同于表面模型的是，实体模型在定义表面时，需要按右手法则取向安排组成表面的边顺序。表3中边的顺序已经符合这一要求，也可以作为实体模型的面表。三个表中除了所列的基本几何数据外，还可以扩充增加属性信息。比如边表和面表中可以包括颜色属性，面表中还可包括透明度
9、、纹理特征等。对上述三表还可以进行数据的一致性和完整性检验，内容诸如每个顶点至少是二条边的端点；每条边至少是一个面的组成部分；每个面的边界都是封闭的；每个面至少有一条同其它面的公共边等。2023-9-14117.2 7.2 实体模型的构造实体模型的构造 前面介绍的表示形体的线框、表面和实体模型是一种广义的概念，并不反映形体在计算机内部所用的具体表示方式。为适应不同的形体情况和应用要求，已发展了多种具体的实体造型方法。目前常用有扫描表示法、边界表示法、构造实体几何法和八叉树表示法等。7.2.1 7.2.1 扫描扫描表示表示法法 扫描(Sweeping)表示法是一个得到较广泛应用的表示三维物体的方
10、法。它的基本原理十分简单，即空间中的一个点，一条线或一个面沿着某一路径移动时，所形成的轨迹将产生一个一维的、二维的或三维的图形。用扫描法表示或形成一个形体需要定义作扫描运动的曲线或曲面，以及扫描运动的路径。在三维形体的表示中，应用得最多的是平移扫描法和旋转扫描法两种。2023-9-1412 平移扫描法是所定义的扫描体沿着直线路径作移动而形成扫描轨迹。如图5中是一个平移扫描例子，扫描体是一个圆，扫描路径是一条直线，扫描后得到一个圆柱体。图52023-9-1413 旋转扫描法是所定义的扫描体绕某一轴线旋转某一角度形成扫描轨迹。如图6中是一条曲线绕垂直轴线旋转后得到的三维形体。旋转扫描法构成物体的都
11、是轴对称的物体。图62023-9-1414 一般地,可以沿任何路径来作扫描移动。对旋转扫描可以沿从0到的角范围内的路径移动。对非圆形路径，可以给定描述路径的曲线函数和沿路径移动的距离。另外可以沿扫描路径变化曲线或曲面的形状和大小及相对于扫描路径的方向。在扫描表示法中，只需定义二维平面及曲线，三维空间的实体和曲面就可分别由二维平面及曲线通过扫描来实现。这对于许多领域的实体造型是很方便的，因此，扫描表示法在许多造型系统得到应用。2023-9-14157.2.2 7.2.2 边界表示法边界表示法 一个形体可以用面、环、边、点来定义其位置和形状,这些面、环、边、点构成形体的边界。如图2中，长方体由六个
12、面围成，对应有六个环，每个环由四条边组成，每条边又由两个端点定义。一个形体的边界将该形体划分为形体中的点和形体外的点，它也是形体与周围环境之间的分界面。很显然，只要完整地定义了形体的边界，那么该形体就被唯一定义了。边界表示法（Boundary Representation，B-Rep）就是以物体边界为基础定义和描述几何形体的方法。所描述的物体由有限个面构成，每个面可以由有限条边围成的有限个封闭区域定义。用边界表示法描述实体，要求其表面必须满足一定条件，如连通、有界、可定向、不自交和闭合连接等。2023-9-1416 由于边界是以面、边、点为基础的，所采用的数据结构是否便于对实体进行面、边、点的
13、存放、查找或修改，是一个十分关键的问题。边界表示详细记录了构成形体所有的几何信息和拓扑信息。几何信息描述形体的大小、尺寸、位置、形状等，而拓扑信息则描述形体的表面、棱边、顶点等相互间的连接关系，二者构成一个有机的整体，共同形成对形体的完整的描述。有了几何信息和拓扑信息，可以直接对构成形体的各个面、边、顶点的参数进行存取，有利于以面、边、点为基础的各种几何运算和操作。边界表示法中最为典型的数据结构是翼边结构。2023-9-1417 在以表面、棱边、顶点组成形体的三要素中，翼边结构以边为核心来组织数据,如图7所示。图72023-9-1418 与一条边相连的有这条边的上下两个顶点，左右两个邻面以及上
14、下左右四条邻边。棱边的数据结构中包含有2个顶点指针，分别指向该边的起点和终点，每一个顶点也有一个指针，反过来指向以该顶点为端点的边。棱边被看作一个从起点指向终点的有向线段，如果形体是多面体，其棱边为直线段，由它的起点和终点唯一确定。当形体为曲面体时，其棱边可能为一曲线段，这时必须增添一项指针来指向所在曲线边的数据。此外，在翼边结构中还设有两个环指针，分别指向棱边所邻接的两个表面上的环。由这种边环关系就能确定棱边与相邻面之间的拓扑关系，为了能从棱边出发搜索到所在的任一闭环上的其它棱边，数据结构中又增设四个指向边的指针，它们分别是左上边、左下边、右上边、右下边。如右下边表示该棱边在右面环中沿逆时针
15、方向所连接的下一条棱边，而左上边则为棱边在左面环中沿逆时针方向所连接的下一条边等。每一个面也有一个指针，反过来指向它的一条边。通过这种翼边结构，可以方便地查找各元素之间的连接关系。2023-9-1419 边界表示法的优点是，表示形体的点、边、面等几何元素是显式表示的，比较容易确定几何元素间的连接关系。有关形体的操作运算可以直接用面、边、顶点的数据来实现，使得绘制形体的速度较快。边界表示法的缺点是数据结构复杂，需要大量的存储空间，修改形体的操作比较难以实现，对实体的整体描述能力弱。7.2.3 7.2.3 构造实体几何法构造实体几何法(CSG)(CSG)构造实体几何法(Constructive S
16、olid Geometry，CSG)，是在实体的表示、构造中得到广泛应用的一种方法。它的基本思想是将简单几何形体（体素）通过正则集合运算组合成所需要的复杂实体。因此，这种方法称为构造实体几何法。2023-9-14201.1.正则集合运算正则集合运算 构造实体几何法中采用的集合运算包括并、交、差运算，但对两个有效实体进行普通的集合运算产生的结果并不一定是有效实体，即可能产生悬边、悬面等。如图8(a)所示,设二维平面上有物体A及B，将它们如图8(b)所示的位置作交运算。如果以通常的集合运算规则求，则得到图8(c)中的结果，它有一条悬边，不具有维数的一致性，所以不符合正则形体的条件，不是有效的二维形体。图8(d)中的结果才是一个有效的二维形体。2023-9-1421 为此，把能够产生正则形体的集合运算称为正则集合运算。其相应的正则集合算子以*(正则交)、*(正则并)、-*(正则差)表示。首先，正则形体的表面具有连通性、有界性、非自相交性、可定向性和闭合性。三维正则形体可以用它的边界面及内部来表示，即：G=bG,iG 式中，G为正则形体，bG为G的边界面，iG为G的内部。在三维空间中，给定一个
