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1、第章介质格林函数法()Dielectric Greens Function Method 先归纳一下前面有关方法论的工作先归纳一下前面有关方法论的工作 传输线理论微分方程法Smith圆图法网络矩阵法波导理论分离变量法功率微分法adPdzP/2介质函数法Green增量电感法保角变换法带线微带理论 图图 24-1 24-1 研究问题的方法研究问题的方法 一、Green函数的基本概念 1.1.函数函数 函数是广义函数函数是广义函数(24-1)(24-1)()xxx0=0()()x dx 1 归一性()()()()x f x dxf0 选择性(24-3)(24-3)(24-2)(24-2)函数有各种物
2、理解释，其中之一是函数有各种物理解释，其中之一是“概率论概率论”中必然事件的概率密度。中必然事件的概率密度。2.Green2.Green函数函数 GreenGreen函数解决一类普遍问题，不仅是电磁场，函数解决一类普遍问题，不仅是电磁场，而且在力学、流体、空气动力诸方面都有应用，其而且在力学、流体、空气动力诸方面都有应用，其问题提法是：复杂区域问题提法是：复杂区域V V，在内部有任意源，在内部有任意源g g，已知，已知场场u u服从服从 gu L(24-4)(24-4)一、Green函数的基本概念 Ox x()图图 24-2 (x)24-2 (x)函数函数 一、Green函数的基本概念 uvV
3、G(/)r r(/)r rg图图 24-3 Green24-3 Green函数问题函数问题 一、Green函数的基本概念 对于对于 (r/r)(r/r)特殊源所对应的是特殊源所对应的是GreenGreen函数，有函数，有 (24-5)(24-5)为了普遍化，我们把为了普遍化，我们把 函数的归一性积分写成函数的归一性积分写成 (24-6)(24-6)DiracDirac内积符号，表示积分或内积符号，表示积分或，注意，注意 对对 起作用。起作用。L L对对 起作用，可以建立恒等式起作用，可以建立恒等式 )/()/(rrrrGL)/(),()(rrrgrgrr一、Green函数的基本概念 (24-7
4、)(24-7)根据根据OperaterOperater的线性有的线性有 (24-8)(24-8)对比对比可以得到可以得到 (24-9)(24-9)()/(,rgrrLG)rg()()/(),(rgrrGrgLgu Lu rg rG rr()(),(/)一、Green函数的基本概念 归结出：只要求出某一类归结出：只要求出某一类(特定支配方程和边界特定支配方程和边界条件条件)问题的问题的GreenGreen函数，那么，这一类问题中任意源函数，那么，这一类问题中任意源 在点在点 造成的场造成的场 只需由只需由 和和 函数的函数的广义内积求得。广义内积求得。最简单的如三维静场最简单的如三维静场 (24
5、-10)(24-10)若简洁写成若简洁写成g r()u r()g r()G rr(/)Er rrrrdvV()()|4E rrG rr()(),(/)一、Green函数的基本概念 r可知对应的可知对应的GreenGreen函数是函数是 (24-11)(24-11)G rrrr(/)|14一、Green函数的基本概念 从更广义的物理方法论来理解：式从更广义的物理方法论来理解：式(24-5)(24-5)可以看成可以看成是是(24-4)(24-4)即原问题的伴随问题，若令即原问题的伴随问题，若令 且且L La a=L(=L(术语上称之为自伴术语上称之为自伴)，也即，也即(24-12)(24-12)u
6、G rrgrraa(/),(/)gu L按这一观点按这一观点u rg ua(),一、Green函数的基本概念 由于由于 函数的特殊性质，实际上式函数的特殊性质，实际上式(24-13)(24-13)可进可进一步写成一步写成(24-14)(24-14)而式而式(24-14)(24-14)正是互易定理的表达形式。正是互易定理的表达形式。ug,u,g(24-13)(24-13)如果问题的区域是分层媒质，则可用镜象法求出如果问题的区域是分层媒质，则可用镜象法求出GreenGreen函数。函数。采用镜象法的基础是采用镜象法的基础是MaxwellMaxwell方程组的唯一性定方程组的唯一性定理。理。它可以叙
7、述为：在给定区域符合微分方程和边它可以叙述为：在给定区域符合微分方程和边界条件的解是唯一的。因此，也可以反过来说，只界条件的解是唯一的。因此，也可以反过来说，只要符合方程和边界条件，则这个解必定正确。要符合方程和边界条件，则这个解必定正确。所谓镜像法，其第一要点是所谓镜像法，其第一要点是分区分区求解；第二要求解；第二要二、镜象法 点是在求解区域之外添加镜象电荷代替边界，使之符点是在求解区域之外添加镜象电荷代替边界，使之符合求解区域合求解区域之内之内的方程及边界条件。的方程及边界条件。例例1 1 半无限空间导体前的点电荷半无限空间导体前的点电荷(也即也即 源源)。解解 先写出分区解和分区边界条件
8、先写出分区解和分区边界条件 支配方程支配方程 (24-15)(24-15)2020qxdyz()()()/二、镜象法 边界条件边界条件|xxxx000oyRegion IRegion IIxFIIFIdq图图 24-4 24-4 导体镜像法导体镜像法分区求解分区求解 二、镜象法 其中，其中，为导体面电荷。很明确：为导体面电荷。很明确：解是分区的。解是分区的。现在采用镜像法现在采用镜像法 根据图根据图24-524-5，很易看出：，很易看出：(24-17)(24-17)式式(24-17)(24-17)满足支配方程满足支配方程(24-15)(24-15)是显然的。是显然的。qxdyzqxdyz440
9、02220222()()二、镜象法 下边考察其边界条件情况。下边考察其边界条件情况。(1)(1)当当x=0 x=01400222222qdyzqdyz二、镜象法(2)(2)再研究导数条件再研究导数条件xxxd qxdyzxd qxdyzqddyzxx002223 22223 2002223 2142()()()()()/oyxFIIIIddq-q 求解求解 时，在时，在RegionRegion加镜像电荷加镜像电荷(q)q)求解求解 时，在时，在RegionRegion加镜像电荷加镜像电荷(q)q)图图 24-5 24-5 镜像电荷镜像电荷均加在求解区域之外均加在求解区域之外oyxFIIIII-
10、q,q二、镜象法 对比边界条件式对比边界条件式(24-16)(24-16)，易知，易知 (24-18)(24-18)为了验证为了验证 的面电荷密度性质，验证下列积分，的面电荷密度性质，验证下列积分，采用采用yozyoz的极坐标，即的极坐标，即dydz=rdrddydz=rdrd (24-19)(24-19)qddyz22223 2()/dsqdrdrddrqdd rdrdqS 22223 200222223 20()()()/二、镜象法 作为副产品易知，这种问题的作为副产品易知，这种问题的GreenGreen函数函数于是于是 (24-21)(24-21)上面整个过程即采用镜像法求取上面整个过程
11、即采用镜像法求取GreenGreen函数。函数。20G rrrrrxiyjzkrdiyjzk(/)(/)/G rrxdyzrr(/)()()141402220二、镜象法 xq图图 24-6 yoz24-6 yoz的极坐标的极坐标 二、镜象法 二维问题的介质二维问题的介质Green函数的一般模型如图函数的一般模型如图24-7。在右半空间在右半空间d处放一无限长线电荷，密度为处放一无限长线电荷，密度为。三、二维介质Green函数 oyRegion IRegion IIxoordl图图 24-7 24-7 介质镜像法介质镜像法 同样，分区域求解同样，分区域求解 支配方程支配方程 (24-22)边界条
12、件边界条件 (24-23)2020(/)/rrxxr三、二维介质Green函数-dIIIoId 求解求解Regiou Regiou 在在假设假设 求解求解Region Region 在在假设假设 镜像镜像 图图 24-8 24-8 介质分区域求解介质分区域求解，IIIoyxIIIIId三、二维介质Green函数 所有镜像均在求解区域外。所有镜像均在求解区域外。Note：在我们假设中，两空间均是在我们假设中，两空间均是 0，当然也可以，当然也可以 是是 0 r。求解求解Region时，时，实际上包括真实电荷实际上包括真实电荷 和镜像和镜像 。这样模型满足支配方程是没有问题的，现写出这样模型满足支
13、配方程是没有问题的，现写出 (24-24)121112102222022ln()ln()ln()xdyxdyxdy三、二维介质Green函数 也可以改写为也可以改写为 (24-25)式中式中 (24-26)2112102222022ln()ln()ln()xdyxdyxdy三、二维介质Green函数 现在，让我们考察解与边界条件的关系。现在，让我们考察解与边界条件的关系。于是由函数边界条件有于是由函数边界条件有 (24-27)()|ln()xxdu00022211|lnxdu0022211三、二维介质Green函数 导数边界条件导数边界条件 xxrx0 xxdyxdxdyxdyxdxdyddyxxdyxdxdyxxxx 0022222222002200222202112121()()()()()()()()()()2022ddy三、二维介质Green函数 又得到又得到 (24-28)解方程得解方程得所以，结果有所以，结果有()1 r1121rrr,1121rrr三、二维介质Green函数 很明显看出：很明显看出：是负电荷，而是负电荷，而 是正电荷是正电荷(原因是原因是 r1)。PROBLEMS 24 Zr07590,.rztgcm250501030030.,.,dbW
