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1、绪 论一、本课程在一、本课程在测绘科学与技术测绘科学与技术中的作用与地位中的作用与地位二、测量误差与测量平差二、测量误差与测量平差v 误差与测量误差v 测量误差的来源v 测量误差的分类v 测量误差与多余观测带来的问题v 测量平差的诞生三、本课程的体系结构三、本课程的体系结构v 误差理论v 平差方法四、测量平差的目的和意义四、测量平差的目的和意义第四讲 平差数学模型与最小二乘原理一、概述 误差理论：研究观测值与观测误差的随机特性、分布情况、数字特征、误差的传播规律。用一个公式表示即 （1）（2）测量平差：就是按一定的平差原则处理一个几何物理关系模型中由于观测误差引起的不闭合问题，估计关系模型中观
2、测值和未知量的值，评价它们的精度0KKLX平差原则和任务平差原则和任务平差的原则平差的原则：估计的无偏性、有效性、一致性；最大概率原则；最小二乘法则。平差的任务平差的任务：对测量得出的观测值的统计特性进行检验，按一定的准则最小二乘原理，求出数学模型中待定参数的最佳估计值，并研究这些估值的统计特性。第四讲 平差数学模型与最小二乘原理第四章 平差数学模型与最小二乘原理 处理方法：建立平差问题的几何物理关系模型（函数模型）建立观测值的随机模型 （先验方差）应用最小二乘原理 0321180LLL0321180LLL1200PQDLLLLminPVVT第四讲 平差数学模型与最小二乘原理 根据函数模型给出
3、的方式不同，平差方法分为四个基本类型 条件平差 r个条件（r个多余观测r=n-t）间接平差 引入t个未知数（独立）附有参数的条件平差 引入u个未知数产 生r+u个条件 附有限制条件的间接平差 选定ut个未知数，u个未知数产生u-t个条件0）（LF）（XFLn10),(1XLFC0)()(111XXFLsun第四讲 平差数学模型与最小二乘原理二、参数点估计与平差原则 观测量的统计性质 数理统计学：运用概率的基本观点，对研究对象的客 观规律性作出合理的估计和推断。母体：在测量工作中，某项观测所有可能取得的观测值的全体。子样：某观测组的几个观测值。第四讲 平差数学模型与最小二乘原理参数估计：对平差模
4、型中未知数及其方差、协方差的估计 函数模型 rn个未知量 如何确定 ，只有对平差数学模型附加某种约束，才可获得唯一解，于是提出一个准则-最小二乘原理0321180LLL321LLL，)(),(),(XDDLD第四讲 平差数学模型与最小二乘原理 参数估计分类：平差的实质是对随机变量（观测量）的估值问题。区间估计其它方法最大似然估计矩法点估计（定值估计）参数估计第四讲 平差数学模型与最小二乘原理参数估计的最优性质 例对一个两进行同性质独立的几次观测，我们用 作为这个量的真值的估值 例三角形闭合差问题 把 作为 的真值估计 用观测值来估计参数的真值的国策怀念感叫参数估计，参数估计有多种方法，如何取得
5、最佳估值是测量平差追求的目标。niixnx11wLL31111L第四讲 平差数学模型与最小二乘原理参数估计的优劣进行评价是按以下三个方面来进行的(1)无偏性：无偏性：设 为参数 的估计量，若 ，则 为 的无偏估计。)(E)(.)()(1)(21nxExExEnxE的无偏估计为xxxnnnxENXxxxxxxxi1).(1)(),(第四讲 平差数学模型与最小二乘原理 (2)一致性：一致性：为任意小正数。严格致性：1)|(|PLimn0lim)(2EEn2222211)(1)(1)1()(nnnXDnXDnXnDXDiii0)(limXDn的严格一致性估计为XX第四讲 平差数学模型与最小二乘原理有
6、效性：有效性：若 的无偏估计量不唯一，若 则 比 有效，若 则 为 的最有效估计量称为最优无偏估计量 在测量平差中，参数的最佳估值要求是最优无偏估计量 最小二乘估计与极大似然估计是最优无偏估计，因为他们的估计原则是使 的估计量V)()(21DD12min)(DminPVVT第四讲 平差数学模型与最小二乘原理二、参数估计方法二、参数估计方法（1）矩法：）矩法：用子样矩的函数，作为相应的每体矩的同样函数的估计。子样均值 是母体数学期望的最优无偏估计，它是子样的一阶原点矩。矩法的特点是方法直观，不必知道母体的分布类型。niixnx11第四讲 平差数学模型与最小二乘原理（2）最大似然法：）最大似然法：
7、使子样出现的概率为最大时的未知参数估计方法。设母体的分布函数为f（x;），为未知参数，对抽得到的子样为（x1，x2，xn），则落在i（1in）邻域dx上的概率为f（xi;）dx，因子样观测值互相独立，所以子样观测值同时出现的概率为 nniinndxxfdxxfxfxfP)();()(;().;();(121第四讲 平差数学模型与最小二乘原理(dx)n对于不同的为常量，要使P最大，则需可以得到的最大似然估值 。最大似然法的特点是，估计时必须知道母体的分布类型，确定f（）。max);(1niixfG0G第四讲 平差数学模型与最小二乘原理（3）最小二乘原理：）最小二乘原理：可以从两个方面来说明这样的
8、估计值是最优估计值 最小二乘法：观测值对于 估计值 偏离量的平方和最小，用 作为 的估计 极大似然值：观测值应使L的联合密度函数取极大值)()(21|)2ln(ln12/12/XALDXALDGLLTLLnL第四讲 平差数学模型与最小二乘原理最小二乘法：最小二乘法：有物理模型（位置时间模型）Y表示匀速运动质点在 时刻的位置，为其速度 y=+即 在 时刻有一组观测值 （i=1,2,n)现在要对 进行估计 是 最佳拟合观测点。按照最小二乘原理的要求，就是应使观测点到拟合直线的平方和达到最小Yiy3,2,1(i,Y第四讲 平差数学模型与最小二乘原理 所谓最小二乘原理，即是要在满足 条件下求解估值 上
9、式也可写成 iyiiiiiyyyv最小VVTmin)(1212niiiniiLv,第四讲 平差数学模型与最小二乘原理 最小二乘法的特点：只要是线性关系（或可线性化）的参数估计问题；则不论观测列的分布如何，均可按最小二乘法进行参数的估计，它是一种可以不考虑任何统计特性的估计方法。这是与最大似然法所不同的。第四讲 平差数学模型与最小二乘原理极大似然法 作为 的估值，它是L的一切可能取值中选出的使样本观测值L出现概率为最大的值（当然L在 的概率是最大的）即LLL)()(21exp|)2(11212LTLnLDLDGmin)()(1LLDLLTminPVVT第四讲 平差方法条件平差一、基本概念一、基本
10、概念1、必要观测 为了确定观测对象的位置或形状、大小所必须的最少观测数，称为必要观测。2、多余观测 实际观测数与必要观测数之差，称为多余观测。3、闭合差 举例说明4、条件平差及其目的第四讲 平差方法条件平差二、条件平差原理二、条件平差原理 条件平差：以条件方程的形式来建立函数模型，根据最小二乘原理解一组条件方程的极值问题（拉格朗日乘数法）从而获取观测量的最佳估值的平差方法 在平差问题中，有n个观测值L，其协方差阵为 ，由于存在 r=n-t个多余观测，就使 存在r个限制（也就是 必须满足平差问题的r个几何关系）我们要求 的估值 应有r个条件，由此组成条件方程组。r个条件方程 现在要求 （的估值）
11、LLDLL1nL1nL00 ALALL第四讲 平差方法条件平差原理：1、条件方程：在一个平差问题中，由于存在r个多余观测，使得n个 之间存在的r个几何物理关系模型 多一个L就需多一个 ，就多一个限制条件（几何关系）令 （即在L的基础上加改正数获得平差值）LLLn1来估计由00 ALALVL)(,00AALWWAV第四讲 平差方法条件平差 r个条件不能直接求取n个平差值 2、利用最小二乘原理可以确定 的最优估值 ，这就是求条件极值问题 的极值（引入系数K）求偏导 得极值点 （利用 ）1nLLL)(2WAVKPVVTT022AKPVdVdTTKAPVT1TPP 第四讲 平差方法条件平差 3、将V代
12、入条件方程AV+W=0 得 4、5、01WKAAPT0WKNaWNaK1KQAKAPVTT1VLL第四讲 平差方法条件平差 于是 的最优估值 即得 此时 既符合最小二乘原理，又满足几何关系（条件方程）观测量的平差值，观测量的估值，最或是值，最优估值 解题步骤：列出r个条件方程AV+W=0 组成法方程 解法方程，求系数K 求改正数01WKAAPTKAPVT1LLL第四讲 平差方法条件平差（续）举例举例 水准网如右图：观测值及其权阵如下：TL216.1099.0078.0142.1114.1023.05.25.25.2111diagP 第四讲 平差方法条件平差（续）误差方程 法方程法方程的解043
13、2101100110010011001654321vvvvvv0432922292229321kkk11611504329222922291321kkk第四讲 平差方法条件平差（续）按（5）求改正数V：求观测值的平差值：检核：2.09.01.17.23.2011611501100111011000100015.20000005.20000005.200000010000001000000111KAPVTTVLL2162.10999.00769.01393.11163.10230.000769.01393.12162.102162.10999.01163.100999.00769.00230.0
14、436652641LLLLLLLLL第四讲 平差方法条件平差（续）四、条件平差的求解步骤四、条件平差的求解步骤 （1）根据具体问题列条件方程（1）式；（2）组成法方程（4）式；（3）解法方程；（4）按（5）式求改正数V；（5）求观测值的平差值 ；（6）检核。VLL第四讲 平差方法条件平差（续）五、条件方程的列立五、条件方程的列立 在平差问题中，n个观测值中存在r个多余观测，使平差值 应满足r条件方程，这r个条件方程应是线性无关的，即每个条件均是独立的条件。若列出的条件方程可由这r个线性无关的条件方程作线性组合，也就是说其中有一个条件方程可由其余的条件方程运算得到，则这个条件方程实际上是无效条件
15、，平差过程将无法进行（方程数不够）。第四讲 平差方法条件平差（续）以上条件方程实际只有2个有效的条件方程，2个线性无关的条件方程，因此，条件方程的建立，一定要找出r个线性无关的条件。为此，应从图形的n个单元分别建立，并考虑条件方程的形式而使易于立列。065432106540321360180180LLLLLLLLLLLL第四讲 平差方法条件平差（续）列条件方程的原则:1、足数；2、独立；3、最简水准网的条件方程1、水准网的分类及水准网的基准、水准网的分类及水准网的基准 有已知点和无已知点两类。要确定各点的高程，需要1个高程基准。2、水准网中必要观测数、水准网中必要观测数t的确定的确定（保证足数
16、）有已知点：t等于待定点的个数 无已知点：t等于总点数减一3、水准网中条件方程的分类、水准网中条件方程的分类 附合条件和闭合条件两类 已知点个数大于1：存在附合和闭合两类条件 已知点个数小于等于1：只有闭合条件第四讲 平差方法条件平差（续）4、水准网中条件方程的列立方法、水准网中条件方程的列立方法（保证独立）（1）、先列附合条件，再列闭合条件（2）、附合条件按测段少的路线列立，附合条件的个数等于已知点的个数减一 (3)、闭合条件按小环列立（保证最简），一个水准网中有多少个小环，就列多少个闭合条件 在水准网条件平差中，按以上方法列条件方程，一定能满足所列条件方程足数、独立、最简的原则。第四讲 平差方法条件平差（续）条件方程分别沿不同的路线列，涉及最少的平差值 两点之间沿不同路线有相同的高差 两已知点间的高差应等于其间路线上高差的累计 闭合环的高差为0第四讲 平差方法条件平差（续）5、水准网条件方程列立举例、水准网条件方程列立举例第四讲 平差方法条件平差（续）第四讲 平差方法条件平差（续）第四讲 平差方法条件平差（续）GPS基线向量网三维无约束条件平差的条件方程1、GPS基线向量网的观测值
