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1、 方方 差差Sep-23 数学期望作为数字特征数学期望作为数字特征,仅说明了随机变仅说明了随机变量平均特征量平均特征.平均值不能反映随机变量的其它特点平均值不能反映随机变量的其它特点,例如例如取值的范围、集中程度等取值的范围、集中程度等.本节引进随机变量的本节引进随机变量的方差描述随机变量取方差描述随机变量取值的离散程度值的离散程度.引引 例例 方方 差差Sep-23 定义定义4.2.1 设设 X 是随机变量是随机变量,若若E X E(X)2存在，存在，称称 称为称为X的的标准差标准差或或均方差均方差.)()(XDX 2）D(X)是随机变量是随机变量X 的函数的数学期望；的函数的数学期望；注注
2、 1）D(X)0.D(X)=E X E(X)2为为X 的的方差方差.,)()(12 iiixXPXExXD 当当X 为离散型或连续型时，分别有为离散型或连续型时，分别有 方方 差差Sep-23.)()()(dxxfXExXDXi2常用计算公式常用计算公式：D(X)E(X2)E(X)2证证 明明 重要分布的方差计算重要分布的方差计算证证 明明 见见P108例例4.2.51.XP(l l),则则 E(X)=l l,D(X)=l l;2.XB(n,p),则则 E(X)=np;D(X)=np(1p)方方 差差Sep-23典型分布的数学期望与方差：典型分布的数学期望与方差：5.均匀分布均匀分布E(X)=
3、(b+a)/2 ，D(X)=(ba)2/12 1.XP(l l),则则 E(X)=D(X)=l l;2.XB(n,p),则则 E(X)=np;D(X)=np(1p)4.XN(m m,2 2),则则 E(X)=m m;D(X)=2 2 证证 明明3.XN(m m,2 2),则则 E(X)=m m;D(X)=2 2 6.指数分布指数分布1()E Xl l 21()D Xl l 方方 差差Sep-23例例 4.2.1例例 4.2.3例例 4.2.2设设X,X1,X2,.,Xn 是随机变量是随机变量，c,b 是常数是常数1）E(c)=c，2）E(c X)=cE(X)，D(c)=0；D(c X)=c2
4、D(X)；练习练习 方方 差差Sep-23 nijijjiiniiniiXEXXEXEXDXD111)()(2)()(;)()()311 niiniiXEXE若若X1,X2,.,Xn 相互独立相互独立，则，则 niiniiXDXD11)()()()(11 niiniiXEXE 方方 差差Sep-234）D(X)=0P X=E(X)=1.证明证明3）)()(2111 niiniiniiXEXEXD)(21 niiiXEXE nijijjiiniiiXEXXEXEXEXE112)()(2)(若若Xi,i=1,2,n 相互独立，则相互独立，则 方方 差差Sep-23)()()(jijiXEXEXXE
5、)()(jjiiXEXXEXE niiniiXDXD11).()(故有故有0)()()(jijiXEXEXXE例例 4.2.4例例 4.2.5例例 4.2.6 方方 差差Sep-23)()5不等式不等式Chebyshev :|()|()()xxE XP XE Xf x dx 2)()(XDXEXP 22:|()|()()xxE XxE Xf x dx 有有存在，则存在，则的方差的方差若随机变量若随机变量0)(XDX证明证明 方方 差差Sep-23 dxxfXEx)()(1222)(XD方差刻划了随机变量方差刻划了随机变量 X 相对数学期相对数学期望的偏离程度！望的偏离程度！2)()(XDXEX
6、P 方差是随机变量方差是随机变量 X 关于任何值的关于任何值的偏离程度的最小值！偏离程度的最小值！方方 差差Sep-23谁的技术水平发挥的更高？谁的技术水平发挥的更高？已知甲乙两名射击运动员的历史记录为：已知甲乙两名射击运动员的历史记录为：00.050.050.10.10.20.5P(X=xi)05678910 X00.10.10.030.020.050.7P(Y=yk)05678910 Y甲甲乙乙E(X)=100.5+90.2+80.1+70.1+6 0.05+50.05=8.85(环环）E(Y)=100.7+90.05+80.02+70.03+6 0.1+5 0.1=8.92(环环）方方
7、差差Sep-23从从平均水平平均水平来看，乙的技术水平略高些来看，乙的技术水平略高些.考虑其平方偏差值的平均值考虑其平方偏差值的平均值甲：甲：2275.22)(1052)(XEXEiiXPXEi乙乙：4860.32)(1052)(YEYEkkYPYEk说明甲的技术水平发挥的更稳定一些说明甲的技术水平发挥的更稳定一些.方方 差差Sep-23证明证明D(X)=EXE(X)2=EX22XE(X)+E(X)2=E(X2)2E(X)E(X)+E(X)2=E(X2)E(X)2D(X)=E(X 2)E(X)2 方方 差差Sep-23 l l l l l l l l 1202)!1()11(!)(kkkkkk
8、ekkeXE l l l l l l l l 12)!1()!2(kkkkkekel ll ll ll ll ll leeee 21.XP(l l),则则 E(X)=l l,D(X)=l l;l ll l 2l l l l l l l l 2222)()()(XEXEXD 方方 差差Sep-23 dxxfxXD)()()(:2m m证明证明 m m xt dtett22222 2 分部积分分部积分 2222ttde dxexx222221 m mm m )()(3.XN(m m,2 2),则则 E(X)=m m，2 )(XD 方方 差差Sep-231.2.4例例222)(2)()()(xXxE
9、XExXEx 证证明明).(,02)(2)(XExxXEx 得得到到令令,02)()(XExx又又 随机变量随机变量X关于自身数学期望的偏离程度比关于自身数学期望的偏离程度比相对其它任何值的偏离程度都小相对其它任何值的偏离程度都小.)()(处处取取到到最最小小值值在在故故XExx .)(,)()(2时达到最小时达到最小当当函数函数证明证明XExRxxXEx 方方 差差Sep-23例例4.2.2 设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为X101P1/21/31/61)求求D(X).2)Y=X 2+1,求求D(Y).解解 1)E(X)=(1)1/2+01/3+11/6=1/3,E(X2)=(1)
10、21/2+021/3+121/6=2/3,D(X)=E(X2)E(X)2=5/9.方方 差差Sep-23 2)E(Y)=(1)2+11/2+02+11/3 +12+11/6=5/3,E(Y2)=E(X4+2X2+1)=3,D(Y)=E(Y2)E(Y)2=2/9.方方 差差Sep-23例例4.2.3且且相相互互独独立立与与设设随随机机变变量量,YX.的方差的方差求求YX )1,0(),0(,21NYXNYYX 具有可加性具有可加性正态分布正态分布相互独立相互独立解解,/2)(ZE)1,0(NZYXZ则则令令 ,1)(,0)(ZDZE则则),0(,21NYX222()()()()1,E ZE ZD
11、 ZE Z 21)()()(22ZEZEYXD 方方 差差Sep-23练习练习：设一次试验成功的概率为设一次试验成功的概率为p,进行进行100次独次独立重复试验，当立重复试验，当p=时，成功次数的时，成功次数的标准差的值最大，其值为标准差的值最大，其值为 .),100(pBXX，则则设设成成功功次次数数为为解解,)1(10)1(100)()(ppppXDX ,10),1()(pppp引引入入函函数数1/25,21021)(ppp令令 方方 差差Sep-23,21)(取最大值取最大值在在 pp.5110 ）（）（故故ppX,2)5.0 p(p又又因因 方方 差差Sep-23 XDXEXXXDXD
12、XEX)(0)()(),(*令令存在，且存在，且的的随机变量随机变量.1)(,0)(*XDXE证证明明,0)()(1)(*XEXEXDXE证证,1)()()()(1)(*XDXDXEXDXDXD例例4.2.4 方方 差差Sep-23称称X*为为 X 的标准化随机变量的标准化随机变量.特别地特别地)1,0(),(2NXNX m m m m 则则 方方 差差Sep-23).(),(,)1,0(,2222YXDYXEYXNYX 求求相互独立相互独立且且设设,1)()()(),1,0(,22 XEXDXENYX由由解解例例4.2.5,)()()(2242XEXEXD .2131242 dxexx,1)
13、(2 YE同理同理,2)(22 YXE 方方 差差Sep-23.4)()()(,2222 YDXDYXDYX相互独立相互独立又又分布分布.的的服从自由度为服从自由度为2222c cYX 方方 差差Sep-23 例例3.3.6 假设进行了假设进行了n次独立试验，事件次独立试验，事件A在第在第k次试验时出现的概率为次试验时出现的概率为pk,求事件求事件A在在n次独立试验中出现的总次数次独立试验中出现的总次数 X 的期望和方差的期望和方差.解解 设事件设事件A在第在第k次试验时出现的次数为次试验时出现的次数为Xk，则则nkpBXkk,2,1),1(相互独立，且总出现次数为相互独立，且总出现次数为 nkkXX1 方方 差差Sep-23 nkknkkpXEXE11)()(nkkknkkppXDXD11)1()()(特别对于特别对于n重贝努里试验，有重贝努里试验，有nkppk,2,1,)1()(,)(pnpXDnpXE 从而从而二项分布的数二项分布的数学期望和方差学期望和方差nkppXDpXEkkkkk,2,1),1()(,)(因因
