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1、3.7 算符的对易关系算符的对易关系 两力学量同时两力学量同时 有确定值的条件有确定值的条件 测不准关系测不准关系 讨论微观态讨论微观态 中某一力学量中某一力学量 时，总是以时，总是以 的本征值谱作的本征值谱作为力学量为力学量 的可能值。若我们同时观测状态的可能值。若我们同时观测状态 中的一组不同中的一组不同力学量力学量 ，将会得到什么结果呢？这一讲我们主要讨论，将会得到什么结果呢？这一讲我们主要讨论这个问题。这个问题。主要内容有：主要内容有：一个关系：力学量算符之间的对易关系一个关系：力学量算符之间的对易关系 三个定理三个定理:FFF,GF力学量守恒定理不确定关系逆定理）共同本征态定理（包括
2、 1 算符之间的对易关系算符之间的对易关系 1.1 算符的基本运算关系算符的基本运算关系 （1）算符之和：算符）算符之和：算符 与与 之和之和 定义为定义为 为任意函数为任意函数 一般一般 ，例如粒子的哈，例如粒子的哈 密顿算符是动能算符密顿算符是动能算符 与势能算符与势能算符 之和之和 （2）算符之积：算符）算符之积：算符 与与 之积定义为之积定义为 FGGFGFGF)(FGGF)()(22rUTrUpHT)(rUFG)()(GFGF（1）（2）算符之积对函数的作用有先后作用次序问题算符之积对函数的作用有先后作用次序问题 一般不能颠倒一般不能颠倒 个相同算符个相同算符 的积定义为算符的积定义
3、为算符 的的 次幂次幂 例如例如 则则 为了运算上的方便，引入量子括号为了运算上的方便，引入量子括号0FGGFnFFn（3）dxdF 222dxdFnnndxdFFGGFGF,（5）若若 称算符称算符 与与 是不对易的（不能交换位置）是不对易的（不能交换位置）即即 若若 称算符称算符 与与 是对易的是对易的 即即 下面几个经常使用的对易关系下面几个经常使用的对易关系 请自行证明请自行证明0,GF0,GFFGFGGFFGFGGF（6）（7）)11(,)10(,)9(,)8(,GMFMGFMGFMGFMFGMGFMFGFMGFFGGF 1.2 坐标算符与动量算符的对易关系坐标算符与动量算符的对易关
4、系 坐标算符是乘数因子坐标算符是乘数因子 相互对易相互对易动量算符是微分算符动量算符是微分算符 因为因为 则则坐标算符与动量算符：设坐标算符与动量算符：设 为任意函数为任意函数0,0,0,xzzyyxxyyx220,0,0,xzzyyxppppppxxiixxixpxxipxxx)(（12）（13）比较后可得比较后可得 但是但是 同理可得坐标算符与动量算符的其它对易关系式同理可得坐标算符与动量算符的其它对易关系式 可概括为可概括为 其中其中坐标算符与动量算符的对易关系是最基本的对易关系，其坐标算符与动量算符的对易关系是最基本的对易关系，其它力学量的对易关系均可由此导出。它力学量的对易关系均可由
5、此导出。ixppxxx ipxx,0,0,zypxpxijjiipx,),()3,2,1(zyxixi),()3,2,1(zyxjpppjp（14a）（14b）(14c)1.3 角动量算符的对易关系角动量算符的对易关系 只证明其中一个，请注意证明方法只证明其中一个，请注意证明方法 记忆方法记忆方法：从左至右以：从左至右以 依次循环指标为依次循环指标为正，任何一个指标错位即为负，相同指标则为零。正，任何一个指标错位即为负，相同指标则为零。0,0,0,zLxiyLyixLxizLyLzixLyizLziyLxLzzzyyyxxxziypzpyzypzpyyypyypzypyypzpyyLyyyzz
6、yzyzx,(15)xzyx 以相同的推导方法和记忆规律，有以相同的推导方法和记忆规律，有 另外有另外有 0,0,0,zzxyzyxzxzyyyzxyyzxzyxxxpLpipLpipLpipLpLpipLpipLpipLpL（16）yxzxzyzyxLiLLLiLLLiLL,LiLL（17）（18）1.4 几个重要的推论几个重要的推论 (1)(2)（3）球坐标下）球坐标下 是是 的函数，若有径向函数算符的函数，若有径向函数算符 则则0,2222zzzyzxzLLLLLLLL),()3,2,1(,0,2zyxjLLj0,0,0,2222pLpLpLjL,)(rU0)(,0)(,2rULrUL0
7、,0,)4(22rLrLi（19）（20）（21）（22）2 共同本征函数完备系共同本征函数完备系 2.1共同本征函数完备系带来算符对易共同本征函数完备系带来算符对易 设两个算符设两个算符 和和 有一个共同的本征函数有一个共同的本征函数 ，则必有，则必有 及及 ，即在，即在 态中可以同时确定态中可以同时确定 这两个力学量的数值，那么这两个力学量的数值，那么 这似乎提醒我们有这似乎提醒我们有 ，但下结论过早，因为，但下结论过早，因为这只是针对某一个特殊函数（本征函数这只是针对某一个特殊函数（本征函数 ），如果），如果 和和 有有一组完备的共同本征函数，对于任意态函数一组完备的共同本征函数，对于任
8、意态函数 FGnnanFnbnGn0)()(nbabanFGGF0)(FGGFnFGnnnc（23）有有 则则 这时才说这时才说 和和 是对易的。这个结论可以推广到多个算是对易的。这个结论可以推广到多个算符，即符，即如果一组算符有共同的本征函数完备系如果一组算符有共同的本征函数完备系 ，则这组算符对易，则这组算符对易例如例如即在即在 态中态中 同时有确定值同时有确定值 及及 ，所以，所以 是是 的共同的本征函数，并且是完备的，所以的共同的本征函数，并且是完备的，所以 0)()(nnnFGGFcFGGF0,0GFFGGF或（24）FGn),()1(),(22lmmYllYL),(),(lmmzY
9、mYLzLL,2),(lmY),(lmY2)1(llmzLL,20,2zLL 2.2 逆定理：如果一组算符对易，则这组算符有组成完备逆定理：如果一组算符对易，则这组算符有组成完备 系的共同的本征函数。系的共同的本征函数。这里仅就非简并本征函数系加以证明这里仅就非简并本征函数系加以证明 若算符若算符 和和 相互对易，对于相互对易，对于 的本征函数的本征函数 ，有，有 可见可见 也是算符也是算符 的属于本征值的属于本征值 的本征函数。已经的本征函数。已经假定假定 非简并，所以对应非简并，所以对应 的两个本征函数的两个本征函数 和和 最多最多只能相差一个常数，所以只能相差一个常数，所以FFGnnnn
10、F)()()(nnnnGFGGF（26）（25）nGFnnnnnGnnnG（27）可见，可见，同时也是同时也是 的属于本征值的属于本征值 的本征函数。同的本征函数。同理，对理，对 的其它本征函数也有此结论。所以，的其它本征函数也有此结论。所以，和和 有组有组成完备系的共同的本征函数。成完备系的共同的本征函数。例如，角动量算符例如，角动量算符 ，所以它们有组成完备系的，所以它们有组成完备系的共同的本征函数共同的本征函数 ，在，在 态中，力学量态中，力学量同时有确定值同时有确定值 及及 。氢原子哈密顿算符氢原子哈密顿算符所以，所以，对易，它们有组成完备系的共同的本征函对易，它们有组成完备系的共同的
11、本征函数数 ，在该态中三者同时有确定值：，在该态中三者同时有确定值：nGnFFG0,2zLL),(lmY),(lmYzLL,22)1(llm)(22rUpH0),(,2,2222LrULpLHzLLH,2),(lmnYRmllEn,)1(,2（28）2.3 力学量完全集力学量完全集 有些情况下，力学量有些情况下，力学量 的本征值是全部简并或部分简的本征值是全部简并或部分简并的，一个本征值对应若干个本征函数。所以，只以并的，一个本征值对应若干个本征函数。所以，只以 的本的本征值不足以完全确定本征函数，这时必定存在和征值不足以完全确定本征函数，这时必定存在和 独立且和独立且和 对易的其它力学量对易
12、的其它力学量 。如果。如果 的共同的本征函数仍然的共同的本征函数仍然有简并，则必定还存在独立于有简并，则必定还存在独立于 而又和而又和 对易的其它对易的其它力学量力学量 ，的共同的本征函数是否还有简并？的共同的本征函数是否还有简并？我们定义：一组相互对易而又相互独立的力学量算符，我们定义：一组相互对易而又相互独立的力学量算符，如果它们的共同的本征函数是非简并的，即这组本征值完全如果它们的共同的本征函数是非简并的，即这组本征值完全确定一个共同本征函数，则这组力学量称为确定一个共同本征函数，则这组力学量称为力学量完全集力学量完全集。在完全集中，力学量的数目一般称为在完全集中，力学量的数目一般称为体
13、系的自由度体系的自由度。FFFFGGF,GF,GF,MMGF,例题一例题一 任意态任意态 求求 态中态中 的可能值、概率及的可能值、概率及 。解法一解法一 可以看出可以看出 是是 的共同本征函数所组成，的共同本征函数所组成，列表对应求解：列表对应求解：),(31),(32),(321,12,21,3YYYzLL,2zLL,2zLL,2),()1(),(22lmlmYllYL1,3Y2,2Y1,1 Y),(),(lmlmzYmYL2c2212L226L222LzL2zLzL9/421,3c9/422,2c9/121,1c 解法二解法二 由由 得得 由由 正交归一性得正交归一性得 22222974
14、9129469412L91191)(94294zLdcnn*dYclmlm),(),(*),(lmY1,1,2,2,1,3,313232mlmlmllmc3132321,12,21,3ccc 例题二例题二 在对某一状态进行测量时，同时得到能量在对某一状态进行测量时，同时得到能量 能唯一确定这一状态吗？能唯一确定这一状态吗？解：能。因为三个力学量对易，解：能。因为三个力学量对易，故共同本征态为故共同本征态为 zsnLLeE,2,1822221,1,3mln),()(),(1131311YrRr 例题三例题三 求粒子处于求粒子处于 时角动量时角动量 分量和分量和 分量的平均分量的平均 值值 。解：
15、首先应注意，解：首先应注意，是是 的共同本征函数，而的共同本征函数，而 不对易，故不对易，故 不是不是 的本征函数。的本征函数。利用对易关系利用对易关系 ，则，则 lmYxy2,xyxLLLlmYzLL,2zyxLLL,lmYyxLL,xzyLiLL,dYLLYdYLLYidYLYLlmyzlmlmzylmlmxlmx*101)()(1*dYLYmdYLYmidYLYLdYLLYilmylmlmylmlmylmzlmzylm 同理同理 由于坐标由于坐标 与与 的对称性，可得的对称性，可得 ，故，故 3 不确定关系不确定关系 若算符若算符 和和 不对易时，常记为不对易时，常记为 是一个力学量算符
16、或普通的数。首先定义是一个力学量算符或普通的数。首先定义 0yLxy22yxLL)(2)1(21)(21222222222mllmllLLLzxF GKiGFFGGF,（29）KGGGFFF,KiGFGF,（30）（31）注意，注意，仍为厄米算符，若巧妙设计积分仍为厄米算符，若巧妙设计积分 利用利用 的厄米性，可推出的厄米性，可推出(课本课本p91)最后得出不确定关系最后得出不确定关系(代数中二次式理论代数中二次式理论)不确定关系不确定关系GF,0|)(2dGiFI（32）GF,0)()()(22GKFI（33）4)()(222KGF2KGF（34）（35）两个力学量不对易时，导致两力学量不能同时有确定值两个力学量不对易时，导致两力学量不能同时有确定值,或者说，它们不能有共同本征函数。或者说，它们不能有共同本征函数。对不确定关系对不确定关系 应着重掌握其物理意义应着重掌握其物理意义 例如例如 所以所以可见，若动量确定，可见，若动量确定，；则；则 ，即位置，即位置 完全不完全不确定。试想，动量为确定。试想，动量为 的自由粒子以波长的自由粒子以波长 的状态的状态（平面波）弥散于空间时，你能
