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1、第4章 力学量随时间的演化与对称性 4.1 4.1 力学量随时间的演化力学量随时间的演化n4.2 4.2 波包的运动，波包的运动，EhrenfestEhrenfest定理定理n4.3 4.3 守恒量与对称性的关系守恒量与对称性的关系n4.4 4.4 全同粒子体系与波函数的交换对全同粒子体系与波函数的交换对称性称性1 1 力学量随时间的演化力学量随时间的演化 量子力学中力学量随时间的演化问题，与经量子力学中力学量随时间的演化问题，与经典力学不同。量子力学中，处于量子态典力学不同。量子力学中，处于量子态 下的下的体系，在每一时刻，不是所有力学量都具有确定体系，在每一时刻，不是所有力学量都具有确定值
2、，一般来说，只具有确定的概率分布和平均值。值，一般来说，只具有确定的概率分布和平均值。先讨论平均值先讨论平均值)(),()(tAttA),(),(),(),(),(),(),(),(),()(tAAHiHAitAiHAAiHtAtAAttAdtd11tAHAitAHAitAdtd,),(),()(11如A不显含t0tA,)(HAitAdtd10,HA若0)(tAdtd则这种力学量在任何态之下的平均值都不随时间改变。接下来证明在任何态之下接下来证明在任何态之下A的概率分布也不随时的概率分布也不随时间改变间改变。0,HA由于选择包括选择包括H和和A在内的一组力学在内的一组力学量完全集，其共同本征态
3、记为量完全集，其共同本征态记为kkkkkkkA AEH )(,()(,)()(ttatatkkkkk 在在 态下，在态下，在t时刻测量时刻测量A得得Ak的概率为的概率为 ，而而)(t2)(tak012复共轭项复共轭项),()(,)(,(kkkktiEtHi复共轭项复共轭项复共轭项)(,)(,()(,)(,)()()(*tiHtttadtdatadtdkkkkkkk2对于对于Hamiton量量H不含时的量子体系，不含时的量子体系，如果力学如果力学量量A与与H对易，则无论体系处于什么状态（定态对易，则无论体系处于什么状态（定态或非定态），或非定态），A的平均值及其测值的概率分布均的平均值及其测值的
4、概率分布均不随时间改变。不随时间改变。A称为体系的一个守恒量。称为体系的一个守恒量。例例1 1 设体系设体系H H不显含不显含t t，证明，证明H H是守恒量，即能是守恒量，即能量守恒。量守恒。例例2 2 对于自由粒子对于自由粒子 ，证明动量，证明动量p p是守是守恒量。恒量。mpH22例例3 3 中心力场中运动的粒子：中心力场中运动的粒子：证明角动量守恒。证明角动量守恒。)(rVmpH22讨论：（a）与经典力学中守恒量不同，量子体系的守与经典力学中守恒量不同，量子体系的守恒量并不一定取确定值，即体系的状态并不一恒量并不一定取确定值，即体系的状态并不一定就是某个守恒量的本征态定就是某个守恒量的
5、本征态。一个体系在某时刻一个体系在某时刻t t是否处于某守恒量的本征是否处于某守恒量的本征态，要根据初条件决定。态，要根据初条件决定。但A的平均值和测值概率的分布不随时间变化。初始时刻初始时刻A A本征态本征态本征态本征态非本征态非本征态非本征态非本征态（b）量子体系的各守恒量并不一定都可以同时量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值取确定值。守恒量守恒量定态定态体系的一种特殊状态，即能体系的一种特殊状态，即能量本征态。量本征态。体系的一种特殊力学量，与体系的一种特殊力学量，与H对易。对易。在定态下，在定态下，一切力学量（不显含一切力学量（不显含t t，不管是否守，不管是否守恒）恒）的平均
6、值和测值概率分布不随时间改变。的平均值和测值概率分布不随时间改变。而守恒量则在而守恒量则在一切状态下（不管是否定态）一切状态下（不管是否定态）的的平均值和测值概率分布都不随时间改变平均值和测值概率分布都不随时间改变。定理：定理：设体系有两个彼此不对易的守恒量设体系有两个彼此不对易的守恒量F和和G，即即F,H=0,G,H0，但，但 ，则体系能级，则体系能级一般是简并的。一般是简并的。0,GF推论：推论：如果体系有一个守恒量如果体系有一个守恒量F，而体系的某条，而体系的某条能级不简并（即对应于某能量本征值能级不简并（即对应于某能量本征值E只有一个只有一个本征态本征态 ），则），则 必为必为F的本征
7、态。的本征态。EEEEEEEFFEFHHF即即 也是也是H的本征值为的本征值为E的本征态。但按假定，的本征态。但按假定，能级能级E无简并，所以无简并，所以 与与 只能是同一个量子只能是同一个量子态，最多差一个常数因子。即态，最多差一个常数因子。即EFEFEEEFF位力（virial）定理当体系处于定态下，关于平均值随时间的当体系处于定态下，关于平均值随时间的变化。变化。)(rVmpH22)()(,VrpmirVprpprmHprprdtdi22121对于定态对于定态 ，所以，所以0 prdtdVrTVrpm212mpT222 2波包的运动，波包的运动，EhrenfestEhrenfest定理定
8、理)(rVmpH22)()(,rFrVHpipdtdmpHrirdtd11设质量为m的粒子在势场 中运动，用波包 描述。)(rV),(tr粒子坐标和动量的平均值随时间变化如下：粒子坐标和动量的平均值随时间变化如下：)(rFdtrdm22Vdtdpmpdtdr,与经典粒子运动满足的正则方程相似。与经典粒子运动满足的正则方程相似。EhrenfestEhrenfest定理定理在物理上讲，要用一个波包来描述粒子的运动，在物理上讲，要用一个波包来描述粒子的运动，波包必须很窄，波包大小与粒子大小相当。此外，波包必须很窄，波包大小与粒子大小相当。此外，还要求势场还要求势场 在空间变化很缓慢，使得波包中心在空
9、间变化很缓慢，使得波包中心处的势场处的势场 与粒子感受到的势与粒子感受到的势 很接近。另很接近。另外，要求在人们感兴趣的运动过程中整个波包扩外，要求在人们感兴趣的运动过程中整个波包扩散不太厉害。散不太厉害。)(rV)(rV)(rVccccxxVxxV)()(33221.)()(33221ccccxxVxxVxV.)()()(3322221ccccccxxVxxVxxVxV试在波包中心 附近对 作Taylor展开，xxc)(xVcxx3 3 守恒量与对称性的关系守恒量与对称性的关系 大家已经知道，在经典力学中，产生能量大家已经知道，在经典力学中，产生能量守恒和动量守恒有着深刻的物理原因：守恒和动
10、量守恒有着深刻的物理原因：产生能产生能量守恒和动量守恒的根源在于时间和空间的均量守恒和动量守恒的根源在于时间和空间的均匀性。匀性。时间的均匀性时间的均匀性 能量守恒能量守恒空间的均匀性空间的均匀性 动量守恒动量守恒空间的各向同性空间的各向同性 角动量守恒角动量守恒 那么在量子力学中，又是什么样的？HtiQHti01,QHQHHQHHQQ设体系的状态用设体系的状态用 描述描述考虑某种线性变化Q(存在Q1，不依赖t)HQQtiHQQti1用Q1运算体系体系HamitonHamiton量在变换量在变换Q Q下的不变性的数学表达下的不变性的数学表达QQQ QIFiIQIOFFiIFiIFiIQQ)()
11、()(2FF0,HF),(),(),(),(QQQQ厄米算符 1 空间平移不变性与动量守恒考虑沿x方向的无穷小平移xxxxD)()()()(xxxDxx波函数变化为：xxx)(exp.)()()(xxxxxxxxxDexpexp)(xpxixxxDxipx为相应的无穷小算符rrrrexp)(prirD ip所以平移 的算符可表为x三维空间的无穷小平移动量算符此即动量守恒的条件。设体系对于平移具有不变性，应用到无穷小平移，则有 0,HDpriD10,Hp)(exp.)()()(Rexpexp)(zlR 2 空间旋转不变性与角动量守恒先考虑一个简单情况，即体系绕z轴旋转无穷小角度 )()()()(
12、RR ilz角动量z分量的算符 考虑三维空间中绕某方向n（单位矢）的无穷小旋转 rnrrrrrr)()(rrrR)()(exp.)()()()()()(rrnrrnrrnrrrrR)()(,rrRexp)(exp)(exp)(exp)(lniprniprnirnnRprl角动量算符设体系具有空间旋转不变性，对于无穷小旋转，则导致 0,HRlniR10,Hl无穷小旋转 的变换表示为n 角动量守恒4 4 全同粒子体系与波函数的交全同粒子体系与波函数的交换对称性换对称性一、全同粒子系的交换对称性1 全同粒子 到目前为止，我们只讨论了单粒子的问题，现在开始讨论有关多粒子体系的问题。在自然界中，经常碰到
13、的多粒子系是由同类粒子组成的。所谓同类粒子是指粒子具有完全相同的内禀的客观属性，如静质量、电荷、自旋、磁矩、寿命等。人们称具有完全相同的内禀的微观粒子为全同粒子。2 全同性原理 在经典力学中，尽管两个粒子的固有性质完全相同，但我们仍然可以区分这两个粒子。因为它们在运动过程中，都有自己确定的轨道，在任一时刻，都有确定的位置和速度，于是，我们可以判断哪个是第一个粒子，哪个是第二个粒子，如图（a）所示。在量子力学中，情况完全不是这样。设初始时刻，两个全同粒子的位置可以用两个波函数来表示（如图b）。在运动过程中，两个波函数会在空间发生交叠（如图c），由于两个粒子固有性质完全相同，它们的位置和动量又不能
14、象经典粒子那样具有确定值。因此，在两个波函数交叠的区域内，我们不能区分哪个是第一个粒子，哪个是第二个粒子。由此可见：全同微观粒子只有当它们的波函数完全不重叠时，才是可以区分的；当波函数发生重叠后，它们就不可区分了。全同粒子的这种不可区分性是微观粒子所具有的特性。由于这一特性，使得全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互交换后，不引起物理状态的改变。这个结论被称为全同性原理。它是量子力学中的基本原理，是量子力学的基本假设之一。这一全同性原理对由相同的微观粒子组成的多粒子体系的波函数加了很强的限制。3 全同粒子体系的交换对称性 现在，我们来看看全同性原理对多粒子体系的性质会引起什么结论。考虑N个全同
15、粒子组成的多粒子体系，体系的波函数为),.(tqqqqNji1 其中 表示第i个粒子的全部坐标（例如包括空间坐标和自旋坐标等）。iq),.(),.(tqqqqtqqqqPNijNjiij11 根据全同性原理，由于我们无法区分哪个是第i个粒子，哪个是第j个粒子。因此，我们认为上述两量子态是相同的。2121CCPtqqqqPCtqqqqPijNjiijNjiij),.(),.(用符号 表示第i个粒子与第j个量子的全部坐标的交换，即 表示交换算符：ijPijP 显然1122CPij1CijPijP 对称波函数反对称波函数 全同粒子的交换对称性给了波函数一个很强的限制，即要求它们对于任意两个粒子交换，
16、或者对称，或者反对称。可以证明：全同粒子体系波函数的对称性不随时间改变，即：描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或只能是反对称的，它们的对称性不随时间的变化而改变。如果体系在某一时刻处于对称的态，则它将永远处于对称的态上。自旋为半整数的粒子，如电子、质子、中子等，都是费米子。如果某种粒子所组成的体系的波函数，对于粒子的交换是对称的，就称这种粒子为玻色子。在统计物理中，它们服从玻色爱因斯坦分布。如果某种粒子所组成的体系的波函数，对于粒子的交换是反对称的，就称这种粒子为费米子。在统计物理中，它们服从费米狄拉克分布。实验表明：自旋为整数或零的粒子，如光子、介子等，都是玻色子。二、波函数的对称化和反对称化 从上面的讨论，我们知道：根据全同性原理的要求：对于费米子系统，任意交换两个粒子后，体系的总的波函数必须是反对称的，即 对于玻色子系统，任意交换两个粒子后，体系的总的波函数必须是对称的，即 下面将讨论，在忽略粒子间相互作用情况下，如何给出全同粒子体系的波函数。为了简单，主要讨论两个粒子组成的体系。ijPijP)()(21qhqhH)()()()()()(222111qqqhqqqhjjji
