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1、4.2 厄米厄米算符的本征值、本征函数算符的本征值、本征函数以及共同本征函数以及共同本征函数1、涨落、涨落 对于都用量子态对于都用量子态 来描述的大量相同的体系，如来描述的大量相同的体系，如果对某一力学量果对某一力学量 A 进行多次测量，所得结果的进行多次测量，所得结果的平均值平均值将趋于一个确定的值，而每次测量结果都围绕这个平将趋于一个确定的值，而每次测量结果都围绕这个平均值有个涨落，在数学上定义为：均值有个涨落，在数学上定义为：0)()()(22*22dAAdAAAAA2、本征态与本征值、本征态与本征值（1）本征态）本征态有一种特殊的状态，测量力学量有一种特殊的状态，测量力学量 A 的结果
2、是唯一确定的结果是唯一确定的，即涨落为零，的，即涨落为零，这种特殊的态就是本征态。这种特殊的态就是本征态。（2）本征方程与本征值）本征方程与本征值An 称为称为 A 的本征值，的本征值，n 为相应的本征态。为相应的本征态。量子力学假定测量力学量量子力学假定测量力学量 A 时所有可能出现的值，都是相应的时所有可能出现的值，都是相应的线形厄米算符线形厄米算符 A 的本征值。当体系处于的本征值。当体系处于 A 的本征态的本征态 n，则每次，则每次测量所得结果都是测量所得结果都是 An。02A0)(AAnnnAA3、两条定理、两条定理（1）厄米算符的本征值都为实数）厄米算符的本征值都为实数证：证：（2
3、）属于不同本征值的本征函数彼此正交）属于不同本征值的本征函数彼此正交为实数。必为实数，nnnnnnnnnnAAAAAAA),(),(),(正交上式左边由于）（并积分，得该式两边右乘但证：设,0),(.0),)().,(),(,),(,.,*nmnmnmnmnnmnmmnmnmmmmnmmmnnnAAAAAAAAAAAAAAAA4 4、能级简并时本征函数的正交化处理、能级简并时本征函数的正交化处理 简并是指本征值相同，但本征态不一样。简并是指本征值相同，但本征态不一样。特别是，特别是，当能量本征值一样，但能量本征态却完全不一样。当能量本征值一样，但能量本征态却完全不一样。能级简并时，仅根据能量本
4、征值并不能把各简并态确定能级简并时，仅根据能量本征值并不能把各简并态确定下来。下来。能级简并时本征函数的正交化处理过程能级简并时本征函数的正交化处理过程出发点分析：出发点分析：在出现简并时，简并态的选择是不唯一的，在出现简并时，简并态的选择是不唯一的，并且这些简并态不一定彼此正交。但可以将这些简并态并且这些简并态不一定彼此正交。但可以将这些简并态进行适当的线形叠加以实现彼此正交。进行适当的线形叠加以实现彼此正交。)(,.,2,1,重简并设nnnnnffAA111.,:.;,.,2,1,），（即具有正交性，使合适的选择的本征态，本征值为仍为可以证明为系数其中，nnnnnfnnfnnnnnfnna
5、AaAAaAAAafannn得到满足。），使得（，系数因此，总可以找到一组它大于个，共有因为系数个限制性条件。这相当于提出了2).1(21)1(21)1(21nnnnnnnnnnnnfaffffaffffffCnfn个中任选两个中任选两个，个，；再自；再自身加上归一化身加上归一化要求，要求，fn个个2nfC5 5、共同本征函数共同本征函数（1）测不准关系与共同本征态）测不准关系与共同本征态 体系处于力学量体系处于力学量 A 的本征态时，对的本征态时，对 A 进行测量，进行测量，可以得到无涨落的、确切的值，即本征值。若在该本可以得到无涨落的、确切的值，即本征值。若在该本征态下去测量另一个力学量征
6、态下去测量另一个力学量 B，是否也能测到确切值，是否也能测到确切值呢？不一定。例如考虑波粒二像性，空间坐标和动量呢？不一定。例如考虑波粒二像性，空间坐标和动量之间就不可能同时完全确定。之间就不可能同时完全确定。普遍情形是普遍情形是此乃任意两个力学量此乃任意两个力学量 A 和和 B 在任何量子态下的涨落必在任何量子态下的涨落必然要满足的关系式，即测不准关系式。然要满足的关系式，即测不准关系式。2/xpx,2122BABABA证明证明:为两个厄米算符。和：任意实参数；体系任意波函数；考虑积分BAdBiAI:0|)(|)(:2),(),(),(),()()(222BBAiABiABiAII，展开0)
7、4/()2/()(,/,222222222ACBACABCAICCiBAC则，也为厄米算符。可以证明令,212/4/04/.2/222222222BACBACBAACBACCC或写成即，则，为实数。不妨令为厄米算符，,21,21,212222BABABABABABABABABBBAAABABA或记为又也成立，也是厄米算符。与则，均为实数。和均为厄米算符，和)()()(,:22从涨落定义式出发计算的值求基态时中运动粒子在一维无限方势阱例pxaxaxsin/2)(1aaadxxxxxadxxxxx00212*121*13/)()(2/)()(axaxadxxxxpdxxxixp02221222*1
8、201*1/)()(0)()(412)()(22222xpx与上面计算一致。则，如果从测不准原理出发2/21,21 ipxpxxx共同本征态：共同本征态：从测不准关系可以看出，如果两个力学量从测不准关系可以看出，如果两个力学量 A 和和 B 不对易，则一般来讲不对易，则一般来讲 A 和和 B 不能同时为零，不能同时为零，A 和和 B 不能同时测定（除了不能同时测定（除了 这一种特殊态例外）。这一种特殊态例外）。就是说，二者没有共同的本征态。就是说，二者没有共同的本征态。反之，如果这反之，如果这两个力学量对应的厄米算符对易两个力学量对应的厄米算符对易，即即 ，则，则可以找出一种态使得二者可以同时
9、测可以找出一种态使得二者可以同时测定，定，即可以找出二者的即可以找出二者的共同本征态共同本征态。0,BA0,BA（2）求共同本征函数的一般原则）求共同本征函数的一般原则 分两种情况讨论分两种情况讨论(a)An 无简并无简并nnnAABA,0,设是二者的共同本征态。则这个常数记为相差一个常数因子。将多代表同一个态，二者最与不简并，的本征态也是可见，nnnnnnnnnnnnnnnBBBBAABBAABABBABA,.)()()(,0,(b)An 有简并有简并),(,(,.,2,1,nnnnnnnnffAA正交归一重简并设的本征态了。不再是一般而言，可由正交归一性获得普遍表达式应为的本征态，本征值为
10、仍是BBBBBBBAABBAABBAnnnfnnnnnnnnnn),(.)()(1 nnnnnnnnnnfnfnffffnnfnnfnnfnnfnnCBCBBBCBCBCBBBBBBACAACAAAC1111111111?)(.这是可以做到，因为的本征值为满足的本征态呢，即能否可否作为但为的本征态，对应本征值它仍然是作以下线性叠加，但将.0det.011次幂的代数方程的行列式组成的有关这是非平庸解的充要条件是有的线性齐次方程组，其这是关于）（上式可以改写为就达目的。满足如果nnnfffBffBBCCBBCBBCCnn.).2,1(,).2,1(.21.,1*个这样的波函数共有最终的波函数的一组
11、解，记为一组关于齐次方程组，可求出将它们代入上面的线形，设实根记为个实根可以证明上面的方程有可得nnnfnnnnffCfCCfBfBBBBnnnnnnBBAABA的共同本征函数，即和这样我们就找到了6 6、力学量完全集力学量完全集（1）定义）定义 设有一组设有一组彼此独立、相互对易彼此独立、相互对易的的厄米算符厄米算符 它们具有共同本征函数，记为它们具有共同本征函数，记为 k，k 是一组量子数的是一组量子数的笼统记号。设给定笼统记号。设给定 k 之后就能够确定体系的一个可能之后就能够确定体系的一个可能状态，则称状态，则称 构成体系的一组力学量完全集构成体系的一组力学量完全集.（2）波函数统计诠
12、释的最一般的数学描述波函数统计诠释的最一般的数学描述按照态叠加原理，体系的任何一个状态按照态叠加原理，体系的任何一个状态 均可用均可用 k 展展开，开，,.,21AA,.),(21AAA),(kkkkkkaa的正交归一性，可得利用1)()(),(,1),(2*右边左边的正交归一性的要求有再根据 kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkaaaaadaadaadaaaakkkkkk 表示在表示在 态下测量态下测量 A 得到得到 Ak 值的几率。这是值的几率。这是波函数统计诠释的最一般的数学描述。波函数统计诠释的最一般的数学描述。例如，一维线性谐振子，哈密顿量本身就构成一组力例如，
13、一维线性谐振子，哈密顿量本身就构成一组力学量完全集。它的本征函数为学量完全集。它的本征函数为 n，n=0,1,2,就构就构成体系的一组正交完备函数组。一维谐振子的任何一成体系的一组正交完备函数组。一维谐振子的任何一个态个态 均可用它们进行展开，均可用它们进行展开，表示在表示在 下测得振子能量为下测得振子能量为 En 的几率。的几率。2kannna2na（3）含）含 哈密顿量哈密顿量 H 的力学量完全集的力学量完全集 如果力学量完全集中包含哈密顿量如果力学量完全集中包含哈密顿量 H，并且，并且 H 有下有下界，则这组力学量完全集的共同本征态构成该体系的界，则这组力学量完全集的共同本征态构成该体系
14、的态空间的一组完备的基矢，体系任何一个状态均可用态空间的一组完备的基矢，体系任何一个状态均可用这组基矢展开。这组基矢展开。实际物理体系的实际物理体系的 H（能量）的本征值都包含在这组（能量）的本征值都包含在这组力学量完全集的本征值之中。体系的任何态都可用包力学量完全集的本征值之中。体系的任何态都可用包含含 H 在内的一组力学量完全集的共同本征态来展开。在内的一组力学量完全集的共同本征态来展开。如果如果 H 不显含时间，这组力学量完全集称为守恒量不显含时间，这组力学量完全集称为守恒量完全集，将产生一组完全集，将产生一组好量子数好量子数。在量子力学中寻找体。在量子力学中寻找体系守恒量完全集是极其重
15、要的。系守恒量完全集是极其重要的。（4）力学量算符表达之总结）力学量算符表达之总结 在量子力学中，力学量用相应的线性厄米算符表达在量子力学中，力学量用相应的线性厄米算符表达 平均值平均值 实验上观测实验上观测 A 的可能取值，必为算符的可能取值，必为算符 的某一本的某一本征值征值力学量之间的关系用相应的算符之间对易关系反映力学量之间的关系用相应的算符之间对易关系反映出来。出来。（一般而言，两个力学量（一般而言，两个力学量 A 和和 B 同时具有确定的测量同时具有确定的测量值的必要条件是二者之间完全对易，即值的必要条件是二者之间完全对易，即 ）),(AA A0,BA7 7、(l2，lz)的共同本
16、征态和球谐函数的共同本征态和球谐函数（1）概述）概述 角动量角动量 l 的三个分量彼此不对易，因为的三个分量彼此不对易，因为三分量一般没有共同本征态，但考虑到三分量一般没有共同本征态，但考虑到可以找到可以找到 l2 与角动量任何一个分量（如与角动量任何一个分量（如 lz）的共同本）的共同本征态。征态。此外，在中心力场问题中，可以证明此外，在中心力场问题中，可以证明 因此，体系守恒量完全集可以选择为因此，体系守恒量完全集可以选择为(H,l2,lz).3,2,1,0,2lllilllill,或者0,0,2HlHl和（2）lz 的本征方程、本征值和本征函数的本征方程、本征值和本征函数)()()2(.)/exp()(ln边界条件旋转一周还原，周期性即，为厄米算符要求对应一个力学量，本征方程：zzzzzzlll iClilil,.2,1,0,21)(:.2/1,1)()exp()(,.2,1,0,)/exp(/)2(exp)()2(220meCdCimCmmll il iimmmmzzz本征函数不妨取可由归一化条件得出本征函数本征值（3）(l2，lz)的共同本征态的共同本征态因为因为 ，l2 的
