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1、 5.1 测测向问题问题 第五章 阵列信号的高分辨处理 如何测定传播波的到达方向如何测定传播波的到达方向传统测向方法：传统测向方法：1.比相法（测定波程差比相法（测定波程差,干涉仪，比相单脉冲）干涉仪，比相单脉冲）只适合单个源。只适合单个源。2.波束扫描（比幅单脉冲，用和波束）波束扫描（比幅单脉冲，用和波束）基本原理：基本原理：对于一般的远场信号而言，同一信号对于一般的远场信号而言，同一信号到达不同的阵元存在一个波程差，这个波程差导到达不同的阵元存在一个波程差，这个波程差导致了各接收阵元间的相位差，利用各阵元间的相致了各接收阵元间的相位差，利用各阵元间的相位差可以估计出信号的方位。位差可以估计
2、出信号的方位。在保证不模糊的情况下，天线离越远越好。在保证不模糊的情况下，天线离越远越好。,精度提高精度提高，这是因为，这是因为 信号模型分析：信号模型分析：窄带条件下：窄带条件下：1.比相法（干涉法）比相法（干涉法）仅需两元阵：仅需两元阵：11x tS t a 121sin21djxtStxte 2sin*212djsE x t xte N N元阵元阵 单信源单信源在不模糊的情况下在不模糊的情况下()()，可以测定。可以测定。2sin2dd 300.886()cosdBradL2.波束扫描波束扫描波束形成：波束形成：Hy tWx t0Wa普通波束形成（普通波束形成（匹配滤波匹配滤波）0010
3、1HHHy tax tas t as t aa扫描扫描指：指：变化在变化在0,1800,180范围内，画出输出功范围内，画出输出功率随扫描角度变化的图形。率随扫描角度变化的图形。0问题：虽可测多个信源，但当多个信源的夹角小问题：虽可测多个信源，但当多个信源的夹角小于一个波束宽度时，无法分辨。于一个波束宽度时，无法分辨。波束宽度与阵列孔径成反比，又称为波束宽度与阵列孔径成反比，又称为瑞利限瑞利限。5.2正交子空间投影与高分辨处理正交子空间投影与高分辨处理 信号模型：信号模型：N元阵接收元阵接收p个信源个信源定义定义 为为信号子空间信号子空间，是，是N N维维线性空间中的线性空间中的P P维子空间
4、，记为维子空间，记为 。只是数学上的定义，并非物理上的噪声。只是数学上的定义，并非物理上的噪声。1.信号子空间与噪声子空间的定义信号子空间与噪声子空间的定义 1piiiix ts t aN t无噪声条件下：无噪声条件下：12,Px tspan aaaPNS 12,Pspan aaa的正交补空间称为的正交补空间称为噪声子空间噪声子空间，记为，记为PNSNPNNNPNN其中其中 分析：分析：信号子空间：信号子空间：对于等距线阵（对于等距线阵（ULAULA）12,Pspan aaa 22sin1 sin111TddjjNTNaeeZZ2sindjZe范德蒙矩阵：范德蒙矩阵：1222212111121
5、11NNNNNNxxxMxxxxxx,ijxxj当i是满秩的充要条件为是满秩的充要条件为 。已知已知 和和 ，则只要，则只要 ，则，则 1a2a1222sinsinddjjee 1a2a即当即当 ，时，时，2d12sinsin和和 线性无关，线性无关，1a和和 线性无关。线性无关。2a当信号子空间已知（当信号子空间已知（），进行方向估计方法：），进行方向估计方法：PNS用用 为搜索矢量，向为搜索矢量，向 上做投影，或向上做投影，或向 做做投影。投影。aPNSNPNN定理：定理：在在 上投影矢量长度等于零的充要上投影矢量长度等于零的充要条件为条件为 ,或或 在在 上投影矢上投影矢量就是自己本身的
6、充要条件为量就是自己本身的充要条件为 aNPNN12,P aPNS12,P下面给出简单证明下面给出简单证明“”：显然：显然 证明：证明：N N维矢量维矢量 向向 上投影。上投影。aPNS 12,Paspan aaa“”：记向：记向 （或（或 ）投影矩阵为）投影矩阵为 （或（或 ）PNSNPNNsPnP sP aa则则 12,Paspan aaa反证：假设，反证：假设，,1iiP即即 线性相关（线性相关（P P1 1个导向个导向矢量）。矢量）。1,Paaa而当而当 时，时，应线性独应线性独立。矛盾。立。矛盾。1PN 1,Paaa11PPN 已知：已知：N N元阵列接收的一批数据元阵列接收的一批数
7、据先对矩阵作特征分解先对矩阵作特征分解2.或或 的建立的建立 NPNN 1,2,ix tiM x tAs tN t由由 计算相关矩阵计算相关矩阵 121MHHiiiHsnRE x t xtx txtMAR AI假定假定 2HnHsE N t NtIE s t stR满秩满秩 HsAR APNS特例：特例：P P个信号独立，个信号独立，有有P个非零特征值个非零特征值 *0ijE s t stij 2122200sPR 2121200spHHsiiiispAAaa120p另有另有 个零特征值，个零特征值，个特征矢量个特征矢量NPN121NP,ppNv vvvv 非零 个零特征值对对 的特征分解为的
8、特征分解为 2HsnRAR AI 有有P个大特征值个大特征值2222212nnPnnnNP 个可以证明：可以证明：P个大特征值对应的特征矢量个大特征值对应的特征矢量 张成信号子空间张成信号子空间 12,pv vvPNS 1212,pPspan v vvspan aaa（但是不能推出（但是不能推出 ）iiva或或 的的 个小特征值对应的特征矢量个小特征值对应的特征矢量RNP1,pNvvNPNN张成张成 。将任意阵列输出数据的协方差矩阵进行特征分将任意阵列输出数据的协方差矩阵进行特征分解，从而得到与信号分量相对应的信号子空间和与信号分量解，从而得到与信号分量相对应的信号子空间和与信号分量正交的噪声
9、子空间，然后利用这两个子空间的正交性来估计正交的噪声子空间，然后利用这两个子空间的正交性来估计信号的参数。信号的参数。窄带远场的信号模型：窄带远场的信号模型：()()()()X tAs tN t22sRE XXAE SSAIAR AI则则由于信号和噪声相互独立，数据的协方差矩阵可以分解为与由于信号和噪声相互独立，数据的协方差矩阵可以分解为与信号和噪声相关的两部分，大特征值对应的特征矢量张成的信号和噪声相关的两部分，大特征值对应的特征矢量张成的空间称为信号子空间，空间称为信号子空间，理想条件下，信号子空间和噪声子空理想条件下，信号子空间和噪声子空间是相互正交的间是相互正交的。MusicMusic
10、方法步骤：方法步骤：1)由阵列数据由阵列数据 估计相关矩阵估计相关矩阵 ix t 11MHiiiRx txtMRPPNSNPNPNN aNPNN 1NHiini PP av va 2)对对 作特征分解。作特征分解。3)用用 个大特征值对应的特征矢量构成个大特征值对应的特征矢量构成 或用或用 个小特征值对应的特征矢量构成个小特征值对应的特征矢量构成4)用搜索矢量用搜索矢量 向向 作投影作投影5)计算谱峰：计算谱峰：2111NHnii PSP aav 谱峰与信号强度无关，只反映谱峰与信号强度无关，只反映 与与 的正交性。的正交性。aNPNN121NNM2121NNMssnnUUUUI()a()0n
11、aU基于解相干的基于解相干的Music算法：算法：Music算法在理想条件下具有良好的性能，但在信号源相算法在理想条件下具有良好的性能，但在信号源相干时算法变得很坏。干时算法变得很坏。极端地，极端地，当信号完全相干时，阵列接收数据的协方差矩阵当信号完全相干时，阵列接收数据的协方差矩阵的秩降为的秩降为1，显然这会导致信号子空间的维数小于信号源数，显然这会导致信号子空间的维数小于信号源数，也就是说信号子空间也就是说信号子空间“扩散扩散”到噪声子空间，这会导致某些相到噪声子空间，这会导致某些相干源的导向矢量与噪声子空间不完全正交，从而无法正确估计干源的导向矢量与噪声子空间不完全正交，从而无法正确估计
12、信号源方向。信号源方向。此时，此时，核心问题就是解相干或去相干核心问题就是解相干或去相干，主要方法有：，主要方法有：降维处理降维处理空间平滑：空间平滑：对修正后的协方差方阵特征分解对修正后的协方差方阵特征分解矩阵重构：矩阵重构：对修正后的协方差长方阵奇异分解对修正后的协方差长方阵奇异分解非降维处理非降维处理来波方向为：来波方向为：25,30,60针对针对MUSIC在实际情况下在实际情况下,由于由于R的信号特征值发生所谓的的信号特征值发生所谓的“能量泄漏能量泄漏”而引起的性能下降而引起的性能下降,有人提出一种算法有人提出一种算法一维一维噪声子空间噪声子空间。基本思想：基本思想：无论入射信号数为多
13、少，始终认无论入射信号数为多少，始终认为只有相关矩阵的最小特征值才是噪声特征值，其对应的为只有相关矩阵的最小特征值才是噪声特征值，其对应的特征向量才是真正的噪声向量，并且构成一维噪声子空间。特征向量才是真正的噪声向量，并且构成一维噪声子空间。优点：优点：完全避开了在一般非理想的情下，完全避开了在一般非理想的情下，MUSICMUSIC方法必须面方法必须面对的识别大特征值和小特征值的麻烦，容许小特征值有多对的识别大特征值和小特征值的麻烦，容许小特征值有多个取值，始终以最小特征值作为噪声特征值，从而使其对个取值，始终以最小特征值作为噪声特征值，从而使其对应的特征向量所生成的噪声子空间不受信噪比的变化
14、和阵应的特征向量所生成的噪声子空间不受信噪比的变化和阵元数及快拍数限制的影响，始终与阵列的导向矢量保持最元数及快拍数限制的影响，始终与阵列的导向矢量保持最严格的正交关系。严格的正交关系。特征矢量用得越少，分辨力越好。特征矢量用得越少，分辨力越好。缺点：缺点：稳健性差稳健性差一维噪声子空间法一维噪声子空间法仿真结果：来波方向为仿真结果：来波方向为30,34,40 5.3子空间高分辨处理与波束形子空间高分辨处理与波束形成方法比较成方法比较 常规波束形成方法：常规波束形成方法：用用 进行波束扫描，比较各方向的输出功率，以进行波束扫描，比较各方向的输出功率，以判断判断DOA DOA 。这时。这时 的极
15、值必须对所有角度取同一的极值必须对所有角度取同一标准。标准。1.波束扫描法波束扫描法 maxHargSaRa 1min.1HWoptHWRWWR aS tWa最优波束形成方法：（最优波束形成方法：（LCMVLCMV法）法）最优权：最优权：optW取取 ，则，则 。11HaR a 1HoptWa用用 为权系数进行波束扫描。为权系数进行波束扫描。111optHWR aaR a阵列波束形成的输出功率为阵列波束形成的输出功率为 11HoptoptCHSWRWaR aDOADOA估计：估计：。这里。这里 是是CaponCapon谱。谱。maxCargS CS分辨率明显高于普通波束扫描。基理可由最分辨率明
16、显高于普通波束扫描。基理可由最 CS优波束形成的原理来理解。优波束形成的原理来理解。波束扫描无论是普通波束形成还是最优波束形波束扫描无论是普通波束形成还是最优波束形成，其分辨率或多或少是受限于阵列孔径。成，其分辨率或多或少是受限于阵列孔径。2.子空间法（子空间法（Music法）与法）与Capon法比较法比较 相关矩阵相关矩阵211PNHHiiiiinii PRv vv v1121122111PPHHiiiiiiinPHiniiiniRv vIv vIv v当当 2,1inSNRiP1212111PHiiinNHiii PnRIv vv v MusicMusic：211musicNHii PSav 21211SNRnCmusicHNHii PSSaR aav CaponCapon法与法与MusicMusic法的分辨率：法的分辨率：CaponCapon法基于信号与干扰加噪声之比最大来求最优法基于信号与干扰加噪声之比最大来求最优波束形成。波束形成。MusicMusic法则只关心信号与干扰之比最大法则只关心信号与干扰之比最大来求最优波束形成，不关心噪声。来求最优波束形成，不关心噪声。在相关矩阵
