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1、5-5 阿贝尔群和循环群阿贝尔群和循环群定义定义 5-5.1：如果群中的运算*是可交换的，则称该群为阿贝尔群，或称交换群。例题 1：设G为所有n阶非奇（满秩）矩阵的集合，矩阵乘法运算。作为定义在集合G上的二元运算，则是一个不可交换群。解：解：任意两个n阶非奇矩阵相乘后，仍是一个非奇矩阵，所以运算 是封闭的。矩阵乘法运算是可结合的。n阶单位阵E是G中的幺元。任意一个非奇阵A存在着唯一的逆阵，使A A-1=A-1 A=E但矩阵乘法是不可交换的，因此，是一个不可交换群。定理定理5-5.1:设是一个群，是阿贝尔群的充要条件是对任意的a,bG,有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)。证明:充分
2、性 设对任意a,bG,有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)因为 a*(a*b)*b=(a*a)*(b*b)=(a*b)*(a*b)=a*(b*a)*b 所以 a-1*(a*(a*b)*b)*b-1=a-1*(a*(b*a)*b)*b-1 即得 a*b=b*a 因此，群是阿贝尔群。必要性设是阿贝尔群，则对任意的a,bG 有 a*b=b*a因此(a*a)*(b*b)=a*(a*b)*b=a*(b*a)*b=(a*b)*(a*b)定义定义5-5.2：设为群，若在G中存在一个元素a,使得G中的任意元素都由a的幂组成，则称该群为循环群，元素a称为循环群G的生成元。例如：60就是群的生成元，因
3、此，该群是循环群。定理定理5-5.2：任何一个循环群必定是阿贝尔群。证明：设是一个循环群，它的生成元是a,那么，对于任意的x,yG,必有r,sZ，使得x=ar 和 y=as 而且 x*y=ar*as=ar+s=as+r=as*ar=y*x 因此，是一个阿贝尔群。对于有限循环群，有下面的定理。定理定理5-5.3：设是一个由元素aG生成的有限循环群。如果G的阶数是n,即|G|=n,则an=e且G=a，a2，a3，an-1,an=e，其中，e是中的幺元，n是使an=e的最小正整数（称n为元素a的阶）。证明：假设对于某个正数m，mn，有am=e。那么，由于是一个循环群，所以G中的任何元素都能写为ak(
4、kZ)，而且k=mq+r其中，q是某个整数，0rm。这就有ak=amq+r=(am)q*ar=ar这就导致G中每一个元素都可表示成ar(0rm)，这样，G中最多有m个不同的元素，与|G|=n相矛盾。所以am=e(mn)是不可能的。进一步证明a，a2，a3，an-1,an都不相同。用反证法。假设ai=aj,其中1ijn,就有ai=ai*aj-i,即aj-i=e,而且1j-in,这已经由上面证明是不可能的。所以，a，a2，a3，an-1,an都不相同，因此G=a，a2，a3，an-1,an=e例题例题 2：设G=，在G上定义二元运算*如表5-5.2所示。表5-5.2*解：解：由运算表5-5.2可知
5、运算*是封闭的，是幺元。，和的逆元分别是，和。可以验证运算*是可结合的。所以是一个群。在这个群中，由于 2,3,4,以及 2,2,4 故群是由或生成的，因此是一个循环群。从本例可以看到：一个循环群的生成元可以不是唯一的。作业 5-5P200(1)(4)5-7陪集与拉格朗日定理陪集与拉格朗日定理定义定义5-7.1：设是一个群，A，BP(G)且A，B，记 AB=a*b|aA,bB 和 A-1=a-1|a A，分别称为A，B的积和A的逆。定义定义5-7.2：设是群的一个子群aG，则集合aH 称为由a所确定的H在G中的左陪集，简称为H关于a的左陪集 ，记为aH 。元素a称为陪集aH 的代表元素。（Ha
6、）（右陪集）（右陪集）(Ha)(Ha)例1：是群的子群，则 0 IE=IE,2 IE=IE,-2 IE=IE,1 IE=Io,-1 IE=Io,3 IE=Io，所以，IE,Io 是对于I(整数集)的一个划分。定理定理5-7.1（拉格朗日定理）（拉格朗日定理）设是群的一个子群，那么(a)R=|aG,bG且a-1*bH是G中的一个等价关系。对于aG,若记aR=x|xG且R，则aR=aH(b)如果G是有限群，|G|=n,|H|=m,则m|n。证明：(a)对于任一aG,必有a-1G,使a-1*a=eH,所以R。若R,则a-1*bH，因为H是G的子群，故(a-1*b)-1=b-1*aH，所以,R。若R,
7、R,则a-1*bH,b-1*cH,故a-1*b*b-1*c=a-1*cH,所以R。这就证明了R是G中 的一个等价关系。对于aG,我们有：baR当且仅当R,即当且仅当a-1*bH,而a-1*bH就是baH。因此，aR=aH。(b)由于R是G中的一个等价关系，所以必定将G划分成不同的等价类a1R,a2R,，akR，使得 G=又因，H中任意两个不同的元素h1,h2,aG,必有a*h1a*h2,所以|aiH|=|H|=m,i=1,2,，k。因此 HaakiikiRi11kiikiimkHaHaGn11|推论推论1：任何质数阶的群不可能有非平凡子群。这是因为，如果有非平凡子群，那么该子群的阶必定是原来群
8、的阶的一个因子，这就与原来群的阶是质数相矛盾。推论推论2：设是n阶有限群，那么对于任意的aG,a的阶必是n的因子且必有an=e,这里e是群中的幺元。如果n为质数，则必是循环群。这是因为，由G中的任意元素a生成的循环群 H=ai|iI,aG，一定是G的一个子群。如果H的阶是m，那么由定理5-5.3可知am=e,即a的阶等于m。由拉格朗日定理必有n=mk,kI,因此，a的阶m是n的因子，且有an=amk=(am)k=ek=e。因为质数阶群只有平凡子群，所以，质数阶群必定是循环群。必须注意，群的阶与元素的阶这两个概念的不同。必须注意，群的阶与元素的阶这两个概念的不同。例题1：设K=e,a,b,c,在
9、K上定义二元运算*如表5-7.1所示。表 5-7.1*eabceabceabcaecbbceacbae证明 是一个群，但不是循环群。证明：证明：由表5-7.1可知，运算*是封闭的和可结合的。幺元是e，每个元素的逆元是自身，所以，是群。因为a,b,c都是二阶元，故不是循环群。我们称为Klein四元群。Klein四元群的特点为：群的阶数是4，除e以外的三个元素a,b,c都是二阶元，且a*b=b*a=c,b*c=c*b=a,a*c=c*a=b例题例题2：任何一个四阶群只能是四阶循环群或者Klein四元群。证明：证明：设四阶群为，其中e是幺元。当四阶群含有一个四阶元素时，这个群就是循环群。当四阶群不含有四阶元素时，则由推论2可知，除幺元e外，a,b,c的阶一定都是2。a*b不可能等于a,b或e,否则将导致b=e,a=c或a=b的矛盾，所以a*b=c。同样地有b*a=c以及a*c=c*a=b,b*c=c*b=a。因此，这个群是Klein四元群。
