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1、第第3章章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 随机试验的结果未必是数量的随机试验的结果未必是数量的,如抛硬币如抛硬币得正面或反面得正面或反面,检查产品是正品和次品等等检查产品是正品和次品等等,为了数学处理的方便以及理论研究的需要为了数学处理的方便以及理论研究的需要,我们将随机试验的结果与实数对应起来，我们将随机试验的结果与实数对应起来，将将随机试验的结果数量化，引入随机变量的随机试验的结果数量化，引入随机变量的概念概念.1 随机变量及其分布函数随机变量及其分布函数1 例例抛抛硬硬币币的的试试验验中中，S=HS=H，TT，定定义义0,e=T0,e=TX=X(e)=X=X(e)=1,e=H
2、1,e=H一、一、随机变量随机变量例例2 2在在一一袋袋中中装装有有编编号号为为1 1，2 2，3 3的的3 3只只球球，在在袋袋中中任任取取一一只只球球，放放回回，再再任任取取一一只只球球，记记录录它它们们的的编编号号。我我们们关关心心的的是是它它们们的的号号码码之之和和，则则试试验验的的样样本本空空间间S=e=S=e=(i,j),i,j=1,2,3(i,j),i,j=1,2,3 以以X记两号码之和，对于每一个样本点记两号码之和，对于每一个样本点e，X都有一个值与之对应。都有一个值与之对应。(),(,),1,2,3，XX eij ei ji jS1.定义定义:设随机试验设随机试验E的样本空间
3、是的样本空间是S=e，若对于，若对于每一个每一个eS,有一个实数有一个实数X(e)与之对应与之对应,即即X(e)是定是定义在义在S上的单值实函数，称为上的单值实函数，称为随机变量随机变量。（random variable,简记为简记为r.v.)例例3.测试灯泡寿命试验测试灯泡寿命试验,其结果是用数量表示其结果是用数量表示的的.记灯泡的寿命为记灯泡的寿命为X,则则X是定义在样本空间是定义在样本空间S=e=t|t0上的函数上的函数,即即X=X(e)=t,e=tS.e1有了随机变量有了随机变量X,以前的各种随机事件均可用以前的各种随机事件均可用X的的变化范围来表示变化范围来表示:如例如例1中中:A=
4、“正面朝上正面朝上”用用X=1表示表示B=“反面朝上反面朝上”用用X=0表示表示反过来反过来,X的一个变化范围表示一个随机事件的一个变化范围表示一个随机事件.0X2=“正面朝上正面朝上”.X3”.(2)随机变量随着试验的结果而取不同的值随机变量随着试验的结果而取不同的值,在在试验之前不能确切知道它取什么值试验之前不能确切知道它取什么值,但是随机但是随机变量的取值有一定的统计规律性变量的取值有一定的统计规律性概率分布概率分布.LXLXLBe|X(e)LPXLP(B)Pe|X(e)L 一一般般地地，若若是是一一个个实实数数集集合合，将将在在上上取取值值写写成成，它它表表示示事事件件则则有有2.分类
5、：分类：(1)离散型随机变量离散型随机变量;(2)非离散型随机变量非离散型随机变量.10 连续型随机变量连续型随机变量20 非连续型随机变量非连续型随机变量二、二、随机变量的分布函数随机变量的分布函数 很多时候，我们需要考虑很多时候，我们需要考虑r.v.的取值落入一个的取值落入一个区间的概率区间的概率,如如1.定义定义：设：设r.v.X,x为任意实数为任意实数,则则 F(x)=P Xx 称为称为X的的分布函数分布函数.P x1Xx2,P Xx 等等,为此引入随机变量的分布函数为此引入随机变量的分布函数.(1)P x1x1,F(x2)-F(x1)=Px1Xx2 0.(2)0F(x)1,F(-)=
6、0,F(+)=1.(3)F(x)至多有可列个间断点至多有可列个间断点,而在其间断点而在其间断点 上也是右连续的上也是右连续的,F(x+0)=F(x).2 离散型随机变量离散型随机变量1.定义定义 若随机变量全部可能取到的值是有限多个若随机变量全部可能取到的值是有限多个或可列无限多个或可列无限多个,则称为则称为离散型随机变量离散型随机变量.2.r.v.:离离散散型型的的分分布布律律kkk r.v.Xx(k1,2,3,.)PXx p,k1,2,.(1)设设离离散散型型所所有有可可能能取取值值为为kkkk 1p:p0,k1,2,.,p1,满满足足且且(1)r.v.X.则则称称式式为为离离散散型型的的
7、概概率率分分布布或或分分布布律律(1):式式也也可可用用表表格格形形式式表表示示X x1 x2 xn pk p1 p2 pn .例例1.设一汽车在开往目的地的道路上需经过四组设一汽车在开往目的地的道路上需经过四组信号灯信号灯,每组信号灯以概率每组信号灯以概率p禁止汽车通过禁止汽车通过,以以X表表示汽车首次停下时已通过信号灯的组数示汽车首次停下时已通过信号灯的组数,求求X的的分布律分布律.(设各信号灯的工作是相互独立的设各信号灯的工作是相互独立的).解解:X 0 1 2 3 4 pk即即 PX=k=(1-p)kp,k=0,1,2,3.(1-p)p(1-p)2p(1-p)3p(1-p)4PX=4=
8、(1-p)4 p 解解:X 0 1 2 3 4 pk解解:X 0 1 2 3 4 pk解解:X 0 1 2 3 4 pk(1-p)4解解:X 0 1 2 3 4 pk(1-p)4解解:X 0 1 2 3 4 pk(1-p)4解解:X 0 1 2 3 4 pk(1-p)4解解:X 0 1 2 3 4 pk解解:X 0 1 2 3 4 pk(1-p)4解解:X 0 1 2 3 4 pk(1-p)4解解:X 0 1 2 3 4 pk(1-p)4解解:X 0 1 2 3 4 pk(1-p)4解解:X 0 1 2 3 4 pk例例2.离散型离散型r.v.,已知分布律可求出分布函数已知分布律可求出分布函数
9、.X -1 2 3 pk 1/4 1/2 1/4 求：求：X的分布函数的分布函数,并求并求P X1/2,P3/2X5/2.0,x11/4,1x2F(x)PXx1/4 1/23/4,2x31/4 1/2 1/41,x3 解解PX 1/2kkkkk:xx,r.v.X,PXx p,k1,2,.F(x)PXxp.总总之之 离离散散型型的的分分布布函函数数是是阶阶梯梯函函数数若若分分布布律律则则分分布布函函数数为为=F(1/2)PX 1/2=PX=-1=1/4,=1/4 或由分布律直接得或由分布律直接得P3/2X 5/2=F(5/2)-F(3/2)=1/2.几种重要的离散型随机变量几种重要的离散型随机变
10、量（一）（一）0-1 分布分布 设随机试验设随机试验E有两种可能的结果：有两种可能的结果：S=e1,e2,设随机变量设随机变量X：12k1 k1,eeXX(e)0eePXkp(1p),k0,1X01 当当，当当分分布布律律为为称称 服服从从参参数数为为p p的的分分布布(二二)伯努利试验伯努利试验 、二项分布二项分布:EAA,E P(A)p (0p1),En,n.定定义义设设试试验验 只只有有两两个个可可能能结结果果 与与则则称称 为为伯伯努努利利试试验验。设设将将试试验验 独独立立重重复复地地进进行行 次次 这这样样的的试试验验称称为为 重重伯伯努努利利试试验验例例1.设设X是是n重贝努利试
11、验中事件重贝努利试验中事件A发生的发生的次数次数,每次试验中每次试验中A发生的概率为发生的概率为p,则则X是一是一个随机变量个随机变量,我们来求它的分布律我们来求它的分布律.一般地有一般地有nkn kkPXk()p(1p),k0,1,2,.,n 称称X服从参数为服从参数为n,p的二项分布的二项分布,记为记为Xb(n,p).当当n=1时时,PX=k=pk(1-p)1-k,k=0,1,即为即为0-1分布分布.例例2.某种电子元件的使用寿命超过某种电子元件的使用寿命超过1500小时为小时为一级品一级品,已知一大批该产品的一级品率为已知一大批该产品的一级品率为0.2,从中随机抽查从中随机抽查20只只,
12、求这求这20只元件中一级品的只元件中一级品的只数只数X的分布律的分布律.解解:Xb(20,0.2).20k20 kkPXk()(0.2)(0.8),k0,1,2,.,20.则则例例3.某人进行射击某人进行射击,每次命中率为每次命中率为0.02,独立射击独立射击400次次,试求至少击中两次的概率试求至少击中两次的概率.:400X,X b(400,0.02).解解设设次次射射击击中中击击中中的的次次数数为为则则当当n较大较大,p又较小时又较小时,二项分布的计算比较二项分布的计算比较困难困难,例如例如 0.98400，0.02400,可以用可以用Pois-son分布近似计算分布近似计算.400k40
13、0 k kPXk()(0.02)(0.98),k0,1,.,400.PX21-PX0-PX1 则则4003991(0.98)400(0.02)(0.98)0.9972.例例4.设有设有80台同类型设备台同类型设备,各台工作是相互独立的各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是发生故障的概率都是0.01,且一台设备的故障由一且一台设备的故障由一个人处理。考虑两种方法，其一是由个人处理。考虑两种方法，其一是由4人维护，每人维护，每人负责人负责20台，其二是由台，其二是由3人共同维护人共同维护80台，试比较台，试比较这两种方法在设备发生故障不能及时维修的概率这两种方法在设备发生故障不能及时维修的概率的
14、大小。的大小。12341120(20,0.01)()()()21010.0169XXbP BP AAAAP AP XP XP X表表示示第第 人人维维护护的的台台中中同同一一时时刻刻发发生生故故障障的的台台数数，则则 iA(i1,2,3,4)i20B80 解解：（方方法法一一）设设为为第第 人人维维护护的的台台中中发发生生故故障障不不能能及及时时维维修修，为为台台中中发发生生故故障障不不能能及及时时维维修修，380800120(20,0.01)()41(0.01)(0.99)0.0087kkkkXXbP BP YC 表表示示第第 人人维维护护的的台台中中同同一一时时刻刻发发生生故故障障的的台台
15、数数，则则 Y80Yb(80,0.01)（方方法法二二）设设 为为台台中中同同一一时时刻刻发发生生故故障障的的台台数数，则则 综综上上可可知知，第第二二种种方方案案比比第第一一种种方方案案发发生生故故障障不不能能及及时时维维修修的的概概率率小小。(三三)泊松分布泊松分布(Poisson)keX PXk,k0,1,2,.,k!0,X.X().若若 的的分分布布为为其其中中是是常常数数 则则称称 服服从从参参数数为为 的的泊泊松松分分布布记记为为kkk 0k 0k 0e (1)PXkek!k!e e1.(2)泊松分布有很多应用泊松分布有很多应用.泊松泊松(Poisson)定理：定理：nnnX,X
16、b(n,p),设设随随机机变变量量序序列列则则kkn knnnnnnelimPXklimp(1p),kk!n np0,k.其其中中为为任任一一固固定定的的非非负负整整数数证明证明:nn np,pn,由由则则则则 kn kn kknnnn(n1).(nk1)p1p1kk!nn nkk12k1111111k!nnnnn ke.(n)k!(3)二项分布与泊松分布之间的关系由下面的泊松定理给出二项分布与泊松分布之间的关系由下面的泊松定理给出.泊松定理的意义泊松定理的意义：1.在定理的条件下在定理的条件下,二项分布的极限分布是二项分布的极限分布是 泊松分布泊松分布.2.当当n很大且很大且 p又较小时又较小时,kn kkne p1p,np,kk!其其中中.这这就就是是二二项项分分布布的的概概率率 近近似似计计算算公公式式3,X b(400,0.02),在在例例 中中np4000.028 ,PX21PX0PX1 4003991(0.98)400(0.02)(0.98).88 1e8e0.997 (四四)几何分布几何分布 进行重复独立试验进行重复独立试验,设每次试验成功的概率为设每次试验成功的概率为p
