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1、第六章弯曲变形第六章弯曲变形6.1 6.1 概述概述6.2 6.2 挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程 刚度条件刚度条件6.3 6.3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形6.4 6.4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形6.5 6.5 提高弯曲刚度的一些措施提高弯曲刚度的一些措施1.工程中弯曲变形实例工程中弯曲变形实例6.1 概概 述述3D动画演示动画演示:二二.定义弯曲变形定义弯曲变形转角转角 q q-横截面相对其原来位置横截面相对其原来位置转过的角度。转过的角度。（逆时针为正）（逆时针为正）yx小变形为平坦曲线。小变形为平坦曲线。)x(fdxdvtan q q q q-q q21 小变形
2、小变形q qq qxv挠度挠度 -横截面形心横截面形心(轴线上点轴线上点)沿沿 y方向的垂直位移。（向上为正）方向的垂直位移。（向上为正）n n挠曲线挠曲线-)(xfn n因此，只要求解出一个因此，只要求解出一个,就可以根据就可以根据 关系求解出另一个关系求解出另一个.思路：思路：、q q关系关系截面转角等于（近似截面转角等于（近似）挠曲线上与该截面对应点的斜率）挠曲线上与该截面对应点的斜率.n nq q?n nn n 1r rn n n n n n纯弯曲纯弯曲横力弯曲横力弯曲挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程 刚度条件刚度条件6.2从力学方面：从力学方面：ZEIM1 r rzEI)x(
3、M)x(1 r r从数学方面：从数学方面：11801 q q设设得得2略略r1n n n n 232 11)(r rn n n n qn n 综合力学、数学两方面综合力学、数学两方面n n EIxM)(0M 0 n n yxEIxM)(n n)(xMEI n n 刚度条件刚度条件:挠度挠度 q q q qmax转角转角ffmax f,是工程中规定的许可挠度和转角是工程中规定的许可挠度和转角q q？fmax=？q qmax=？6.3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形当梁内当梁内L段段EI=C，弯矩方程为弯矩方程为 时时)x(M DCxdxdx)x(MEIv 等式两边积分二次等式两边积分二次式
4、中式中C，D为积分常数。为积分常数。若梁需分若梁需分n段方程，需要积分段方程，需要积分2n个方程，个方程，出现出现2n积分常数。积分常数。根据根据)(xMEIn n 等式两边积分一次等式两边积分一次CdxxMEI)(n n 积分常数的确定（根据变形的边界条件）积分常数的确定（根据变形的边界条件）边界边界条件条件支撑支撑条件条件刚性刚性支撑支撑弹性弹性支撑支撑连续连续条件条件挠度挠度连续连续转角转角连续连续（)x(MEI分段处分段处）c-q q q q ccccvv(光滑条件）光滑条件）ABA0vvBA 0vAA q q AB0vA kkvB )()(xLFxM-0 x 0vA 0A q q0E
5、ICA q q 0EIvDA ABFxLxyEI)(xLFEI-v v DCxFLxFx EI -332161v vCFLxFx EI-221v v n根据根据)(xMEI v v 例例 6.2 求求maxq qmaxvABFxLxy若求若求maxq qEIFLB22max-q q q q代入代入EIFLvvB33max-显然显然Lx (转角方程转角方程)FLxFxEI-221 n(挠度方程挠度方程)332161 FLxFxEI-n此方法的优点此方法的优点,即可纵观全梁即可纵观全梁.、利用利用 方程可求任意截面的方程可求任意截面的 、,这是这是nnnnLx ,即即0)(-xLFEInmaxv求
6、求Lx 0 x 为极值点为极值点即令即令0 nEI例例6.3 讨论简支梁的讨论简支梁的弯曲变形弯曲变形.11xLFbM )0(1ax )(222axFxLFbM-)(2Lxa ABFCx1x2LFbLFayxabL)(11xMEIn12112 CxLFbEI n11121132 DxCxLFbEI n)(22xMEIn 确定积分常数条件确定积分常数条件0 x1 Lx2 0v1 0v2 axx21 21vv 四个条件可确定四四个条件可确定四个常数个常数,回代后可得回代后可得转角转角,挠度方程挠度方程.可求可求任意截面的变形任意截面的变形,易易求最大值求最大值.222222222 CFaxxFxL
7、FbEI -n222232322266 DxCxFaxFxLFbEI -nABFabCx1x2LLFbLFayx21vv 3bLx220-322maxbLEIL39Fbf-EI48FLv3max EI39FbLf2max-当当abBmaxq q q qmaxv发生在发生在AC段段时时2Lx 2Lba 当当处处LLx577.030 当当b 0时时65.2fffmaxmax2L-%ABFabCx1x2LLFbLFayx6.4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形在小变形在小变形,时时,弯曲变形与弯曲变形与载荷成线载荷成线F 性关系性关系,满足叠加原理满足叠加原理.单载荷作用单载荷作用.书中给出常见
8、梁在简书中给出常见梁在简下的变形下的变形,可利用其对几个载荷可利用其对几个载荷作用下的梁进行叠加求变形作用下的梁进行叠加求变形qFMeL2L3L4LL2L3q qv=C载荷载荷 长度长度刚度刚度n=Cn（q、F、Me)LEIEI3FLf3A EI48FLEI3)2L(2Fff33BC 已知：已知：例例 6.3AFLEI?fC 求求:FEIL2L2CfcBBF2CL2L2aF1F2ABCDF1F2ABCD例例 6.4求车床主轴求车床主轴截面截面B的转角和的转角和C的挠度的挠度.端点端点F1F2ABCD刚化刚化F2ABDF1C刚化刚化EI3aLFEI3mL)(1mB q qEI16LF)(22pB
9、2-q q2FBmBB)()(q qq qq q EI16LFEI3aLF221-F1F2ABCD刚化刚化fCBq qaFm1 0B q q刚化刚化BC段段刚化刚化AB段段 BBBq q q q q qEI16LFEI3aLF221-F1F2ABCD刚化刚化fCBq qaFm1 F1F2ABCD刚化刚化afBC q q EI16aLFEI3LaF2221-CCCfff EI16aLF)La(EI3aF2221-BCF1fC刚化刚化BC段段刚化刚化AB段段31CEI3aFf 6.5 提高弯曲刚度的一些措施提高弯曲刚度的一些措施q qv=系数系数载荷载荷 长度长度刚度刚度n一一.改善结构形式改善结构形式,减小弯矩的数值减小弯矩的数值.1.安装卸荷装置安装卸荷装置2.把集中力变为分布载荷把集中力变为分布载荷3.合理分布支座位置合理分布支座位置二二.选择合理的截面形状选择合理的截面形状相同面积下相同面积下,增大增大I,刚度提高刚度提高,强度增大强度增大.三三.合理选材合理选材各类钢材各类钢材E差不多差不多,所以为提高弯曲所以为提高弯曲采用高强度钢材，并不会采用高强度钢材，并不会刚度而刚度而达到预期的效果达到预期的效果.(较好较好)(不好不好)(最好最好)
