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1、椭椭圆圆的的简简单单几几何何性性质质212.,.小、对称性和位置等小、对称性和位置等包括椭圆的形状、大包括椭圆的形状、大程研究它的几何性质程研究它的几何性质方方下面再利用椭圆的标准下面再利用椭圆的标准椭圆的标准方程椭圆的标准方程立了立了建建出发出发几何特征几何特征上面从椭圆的定义上面从椭圆的定义 .来研究椭圆的几何性质来研究椭圆的几何性质我们用椭圆的标准方程我们用椭圆的标准方程1012222babyax.,.,几何性质几何性质其特性等来研究它们的其特性等来研究它们的及及点点、顶、顶、对称性、对称性分范围分范围章对几种圆锥曲线都是章对几种圆锥曲线都是本本所以所以形状、大小和位置形状、大小和位置以
2、从整体上把握曲线的以从整体上把握曲线的可可称性及特殊点的讨论称性及特殊点的讨论通过对曲线的范围、对通过对曲线的范围、对 yOx?,比较特殊比较特殊点点些些哪哪上上椭圆椭圆它具有怎样的对称性它具有怎样的对称性围吗围吗你能从图上看出它的范你能从图上看出它的范的形状的形状观察椭圆观察椭圆观察观察012222 babyax范范围围1yOx1A2A1B2B2F1Fcba712.图图 .,.,.究它的范围究它的范围研研代数方法代数方法我们利用方程我们利用方程面面下下纵坐标的范围是纵坐标的范围是点的横坐标的范围是点的横坐标的范围是容易看出椭圆上容易看出椭圆上观察图观察图bybaxa 712 .,axaaxa
3、xby 即即都适合不等式都适合不等式椭圆上点的横坐标椭圆上点的横坐标所以所以可知可知由方程由方程1011222222即即同理有同理有,122 by.byb 所所和和这这说说明明椭椭圆圆位位于于直直线线byax .712 图图围围成成的的矩矩形形框框里里对对称称性性2.,中心对称图形中心对称图形又是又是称图形称图形可以发现椭圆既是轴对可以发现椭圆既是轴对观察椭圆的形状观察椭圆的形状 ;,轴对称轴对称所以椭圆关于所以椭圆关于也在椭圆上也在椭圆上点点轴的对称轴的对称它关于它关于在椭圆上时在椭圆上时这说明当点这说明当点变变方程并不改方程并不改代代中以中以在椭圆在椭圆xyxPxyxPyybabyax 1
4、222201;,轴轴对对称称所所以以椭椭圆圆关关于于方方程程也也不不改改变变代代以以yxx,同理同理.,中心对称中心对称所以椭圆关于原点所以椭圆关于原点方程也不变方程也不变代代以以代代以以yyxx 叫叫做做心心中中圆圆的的对对称称椭椭中中心心称称对对椭椭圆圆的的点点是是原原轴轴称称坐坐标标轴轴是是椭椭圆圆的的对对这这时时轴轴对对称称轴轴、椭椭圆圆关关于于综综上上,yx.椭椭圆圆的的中中心心顶点顶点3.,.,标标轴的交点坐轴的交点坐轴、轴、常需要求出曲线与常需要求出曲线与常常的位置的位置要确定曲线在坐标系中要确定曲线在坐标系中线的位置线的位置可以确定曲可以确定曲的位置的位置研究曲线上某些特殊点研
5、究曲线上某些特殊点yx?交点坐标吗交点坐标吗轴的轴的轴、轴、得出椭圆与得出椭圆与程程你能由椭圆的方你能由椭圆的方探究探究yxbabyax012222 yOx1A2A2B1B812.图图yOx1A2A2B1B812.图图 .,.,8120000002121 图图轴的两个交点轴的两个交点圆与圆与是椭是椭这说明这说明得得令令同理同理交点交点轴的两个轴的两个是椭圆与是椭圆与这说明这说明得得令令在椭圆的标准方程里在椭圆的标准方程里xaAaAaxyybBbBbyx这四个交点叫做椭圆的这四个交点叫做椭圆的称轴有四个交点称轴有四个交点所以椭圆与它的对所以椭圆与它的对轴是椭圆的对称轴轴是椭圆的对称轴轴、轴、因为
6、因为,yx顶顶点点,分分别别叫叫做做线线段段2121BBAA椭椭圆圆的的长长轴轴和和短短轴轴他他们们.,长和短半轴长长和短半轴长分别叫做椭圆的长半轴分别叫做椭圆的长半轴和和和和的长分别等于的长分别等于baba22离离心心率率4?,.画椭圆的扁平程度呢画椭圆的扁平程度呢用什么量可以刻用什么量可以刻那么那么椭圆的扁平程度不一椭圆的扁平程度不一我们发现我们发现图图观察不同的椭圆观察不同的椭圆思考思考912 912.图图ca=0.66c=1.20a=1.81ca=0.83a=1.81c=1.50 xyO1022.图图 .,.,.,.以刻画椭圆的扁平程度以刻画椭圆的扁平程度可可这两个量这两个量和和利用利
7、用这样这样椭圆越扁平椭圆越扁平越接近越接近发现发现可以可以改变椭圆的半焦距改变椭圆的半焦距变变不不保持长半轴长保持长半轴长半焦距为半焦距为的长半轴的长为的长半轴的长为椭圆椭圆如图如图acaccacababyax0110122222 .,的关系的关系与与观察椭圆的扁平程度观察椭圆的扁平程度操作打开的几何画板操作打开的几何画板ac.,aceeac 即即表示表示用用称为椭圆的离心率称为椭圆的离心率轴长的比轴长的比我们把椭圆的焦距与长我们把椭圆的焦距与长.,;,.,近于圆近于圆这时椭圆就越接这时椭圆就越接越接近于越接近于从而从而于于越接近越接近越接近于越接近于反之反之此椭圆越扁此椭圆越扁因因越小越小从
8、面从面越接近于越接近于则则越接近于越接近于所以所以因为因为abcecabaceeca00110022 .,2220ayxcba 它的方程为它的方程为图形变为圆图形变为圆合合这时两个焦点重这时两个焦点重时时当且仅当当且仅当.,质带来方便质带来方便统一性等性统一性等性圆锥曲线的圆锥曲线的给今后研究给今后研究这样规定会这样规定会心的程度心的程度焦点离开中焦点离开中两个两个前提下前提下轴长不变的轴长不变的在椭圆的长在椭圆的长象地理解为象地理解为心率可以形心率可以形椭圆的离椭圆的离?,?,.?.椭圆越圆吗椭圆越圆吗越小越小椭圆越扁椭圆越扁越大越大为什么为什么识解释识解释你能运用三角函数的知你能运用三角函
9、数的知为什么为什么的扁平程度吗的扁平程度吗的大小能刻画椭圆的大小能刻画椭圆或或探究探究aceacebcab 21.和顶点的坐标和顶点的坐标轴的长、离心率、焦点轴的长、离心率、焦点的长轴和短的长轴和短求椭圆求椭圆例例4002516422 yx,1452222 yx程把已知方程化成标准方解.,3454522 cba于是 .,4040050503035382102212121BBAAFFaceba和是四个顶点坐标分别和别是两个焦点坐标分离心率和分别是椭圆的长轴和短轴的长因此 .,.|,.|,.,.,.)(,.所在的椭圆方程所在的椭圆方程求截口求截口已知已知集中到另一个焦点集中到另一个焦点经过旋转椭圆
10、面反射后经过旋转椭圆面反射后发出的光线发出的光线一个焦点一个焦点由椭圆由椭圆上上片门位于另一个焦点片门位于另一个焦点上上一个焦点一个焦点灯丝位于椭圆灯丝位于椭圆是椭圆的一部分是椭圆的一部分称轴的截口称轴的截口过对过对的一部分的一部分的曲面的曲面其对称轴旋转一周形成其对称轴旋转一周形成椭圆绕椭圆绕是旋转椭圆面是旋转椭圆面电影放映灯泡的反射镜电影放映灯泡的反射镜一种一种如图如图例例BACcmFFcmBFFFBCFFFFBAC548211125211212121 xy2F1FABCDEO透明窗透明窗反射镜面反射镜面xy2F1FABCDEO透明窗透明窗反射镜面反射镜面1112.图图.,示椭圆镜面工作原
11、理示椭圆镜面工作原理演演操作打开的几何画板操作打开的几何画板.,.111122222 byax圆方程为设所求椭的直角坐标系所示建立图解.|,22221212215482 FFBFBFFBFRt中在所以由椭圆的性质知,|,aBFBF221 ;.)|(1454828221212221 BFBFa.43252142222 cabxy2F1FABCDEO透明窗透明窗反射镜面反射镜面1112.图图.,143142222 yx所求的椭圆方程为所以 .,:,的轨迹的轨迹求点求点是常数是常数的距离的比的距离的比线线的距离和它到直的距离和它到直与定点与定点点点例例MxlFyxM54425046 的轨迹就是集合点根据题意的距离到直线是点设解MxlMd,:425 xyOFMHdl1212.图图.,的轨迹形成过程的轨迹形成过程点点观赏观赏操作打开的几何画板操作打开的几何画板M .54425422 xyx由此得.,19252252592222 yxyx即得并化简将上式两边平方 .,1212610 图的椭圆、分别为的轨迹是长轴、短轴长点所以MxyOFMHdl1212.图图.|54dMFMP
