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1、第11章 两因素方差分析Two-factor analysis of variance 本章主要内容第一节两因素交叉分组试验资料的方差分析一两因素有重复观察值试验的方差分析二两因素单独观察值试验的方差分析三举例第二节数据转换设试验考察A、B两个因素，A因素分a个水平，B因素分b个水平，所谓交叉分组是指A因素每个水平与B因素的每个水平都要碰到，两者交叉搭配形成ab个水平组合即处理。特点特点：试验因素A、B在试验中处于平等地位平等地位，试验单位分成ab个组，每组随机接受一种处理，因而试验数据也按两因素两方向分组。一、两因素有重复观察值试验的方差分析一、两因素有重复观察值试验的方差分析1.1.主效应
2、与交互作用主效应与交互作用 简单效应 在某因素同一水平上，另一因素不同水平对试验指标的影响称为简单效应。简单效应实际上是特简单效应实际上是特殊水平组合间的差数。殊水平组合间的差数。表表11-111-1日粮中加与不加赖、蛋氨酸雏鸡增重日粮中加与不加赖、蛋氨酸雏鸡增重(g)(g)A1A2A2-A1平均平均B14704722471B248051232496B2-B1104025平均平均47549217主效应主效应 由于因素水平的改变而引起的平均数的改变量称为主效应。主效应。如表，当A因素由A1水平变到A2水平时，A因素的主效应主效应为A2水平的平均数减去A1水平的平均数。即 A因素的主效应=492-
3、475=17同理 B因素的主效应=496-471=25主效应也就是简单效应的平均主效应也就是简单效应的平均，如(32+2)2=17,(40+10)2=25A1A2A2-A1平均平均B14704722471B248051232496B2-B1104025平均平均47549217交互作用交互作用(互作，互作，interaction)在多因素试验中，一个因素的作用要受到另一个因素的影响，表现为某一因素在另一因素的不同水平上所产生的效应不同，或者说，某一因素的简单效应随着另一因素水平的变化而变化时，则称该两因素存在交互作用。显而易见，A的效应随着B因素水平的不同而不同，反之亦然。我们说A、B两因素间存
4、在交互作用，记为AB。A1A2A2-A1平均平均B14704722471B248051232496B2-B1104025平均平均47549217互作效应可由(A1B1+A2B2-A1B2-A2B1)/2来估计。表111 中的互作效应为：(470+512-480-472)/2=15我们把具有正效应的互作称为正交互作用（协同作用）正交互作用（协同作用）；把具有负效应的互作称为负交互作用（拮抗作用）负交互作用（拮抗作用）；互作效应为零则称无交互作用无交互作用。没有交互作用的因素是相互独立的因素，此时，不论在某一因素哪个水平上，另一因素的简单效应是相等的。2.2.两因素资料方差分析的数据模式两因素资料
5、方差分析的数据模式 P137 表表9-1bjjaiiaibjnkijkaibjnkijkjainkijkjainkijkjibjnkijkibjnkijkinkijkijnkijkijabnxabnxabnxxxxanxanxxxxbnxbnxxxxnxxxx111111111111111111/././.,././.,././.,./.,.表中 按因素的类型两因素或多因素方差分析可分为固定模型、随机模型和混合模型三类，这三类的数学模型、统计假设、统计量的计算、结果的解释等方面有很大差异，我们分别加以介绍3.3.固定效应模型固定效应模型 统计模型统计模型其中，为总平均数;i为Ai的效应；j为B
6、j的效应;()ij为Ai与Bj的互作效应；ijl为随机误差，相互独立，服从N(0,2)。且有：nkbjaixijkijjiijk,.,2,1,.,2,1;,.,2,1)(1111110,0()()()0;abababijijijijijijij和统计假设统计假设备择假设为上述各参数至少有一类不为零总平方和与总自由度的分解总平方和与总自由度的分解SST=SSA+SSB+SSAB+SSe dfT=dfA+dfB+dfAB+dfe 其中SSAB,dfAB为A因素与B因素交互作用平方和与自由度。010203:0(1,2,):0(1,2,):0(1,2,1,2,)iiiHiaHjbHia jb零假设为2
7、11122221111111()()()()()abnijkijkabababnijijijijkijijijijkTABABeABTABexxbnxxanxxnxxxxxxSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS 各项平方和、自由度及均方的计算公式如下：均方为 MSA=SSA/dfA MSB=SSB/dfB MSAB=SSAB/dfAB MSe=SSe/dfe 平方和自由度矫正数C=x2/abn总SST=x2ijk-CdfT=abn-1A因素SSA=1/(bn)x2i.-Cdf A=a-1 B因素SSB=1/(an)x2.j.-Cdf A=b-1交互作用SSAB=SST-SSA-SSB-SS
8、edfAB=(a-1)(b-1)误差SSe=x2ijk-1/n x2ij.dfe=ab(n-1)期望均方期望均方21122122122)1()()()1)(1()1)(1()(1)1()(1)1()(nabSSEMSEbanbaSSEMSEbanbSSEMSEabnaSSEMSEeeaibjiABABbjiBBaiiAAABeeABeeAeeABABABdfdfFMSdfdfSSSSMS、M SMSFF由度也相应变为需要注意的是查表时自为分母计算统计量然后利用即度的估计量，以提高精确合并起来作为在，此时可将时，说明交互作用不存或2,11统计量统计量FeABABeBBeAAMSMSFMSMSFM
9、SMSF;变异来源平方和自由度均 方F 值A因素SSAdfAMSAFA=MSA/MSeB因素SSBdfBMSBFB=MSB/MSe交互作用SSABdfABMSABFAB=MSAB/MSe误 差SSedfeMSe总变异SSTdfT4.4.随机效应模型随机效应模型 统计模型统计模型其中要求：i 服从N(0,)；j 服从N(0,);()ij 服从N(0,);ij 为随机误差，相互独立，服从N(0,2)。nkbjaixijkijjiijk,.,2,1,.,2,1;,.,2,1)(222统计假设统计假设备择假设为上述各参数至少有一类不为零总平方和与总自由度的分解总平方和与总自由度的分解（同固定效应模型）
10、（同固定效应模型）期望均方期望均方统计量统计量F222010203:0;:0;:0HHH零假设为222222222)()()()(eABBAMSEnMSEannMSEbnnMSEeABABABBBABAAMSMSFMSMSFMSMSF;变异来源平方和自由度均 方F 值A因素SSAdfAMSAFA=MSA/MSABB因素SSBdfBMSBFB=MSB/MSAB交互作用SSABdfABMSABFAB=MSAB/MSe误 差SSedfeMSe总变异SSTdfT5.5.混合效应模型混合效应模型（设（设A A为固定因素，为固定因素，B B为随机因素）为随机因素）统计模型统计模型其中要求：j服从N(0,)
11、;()ij服从N(0,);ij为随机误差，相互独立，服从N(0,2)。nkbjaixijkijjiijk,.,2,1,.,2,1;,.,2,1)(22 统计假设统计假设 备择假设为上述各参数至少有一类不为零 总平方和与总自由度的分解总平方和与总自由度的分解 （同固定效应模型）（同固定效应模型）22010203:0;:0;:0iHHH零假设为期望均方期望均方统计量统计量F222221222)()()(1)(eABBaiiAMSEnMSEanMSEabnnMSEeABABeBBABAAMSMSFMSMSFMSMSF;变异来源平方和自由度均 方F 值A因素SSAdfAMSAFA=MSA/MSABB因
12、素SSBdfBMSBFB=MSB/MSe交互作用SSABdfABMSABFAB=MSAB/MSe误 差SSedfeMSe总变异SSTdfT二两因素单独观察值试验的方差分析二两因素单独观察值试验的方差分析A、B两个试验因素的全部ab个水平组合中，每个水平组合只有一个观察值，全部试验共有ab 个观察值。其数据模式如表112所示。A因素因素B 因因 素素合计合计xi.平均平均B1B2BjBbA1x11x12x1jx1bx1.A2x21x22x2jx2bx2.Aixi1xi2xijxibxi.Aaxa1xa2xajxabx a.合计合计x.jx.1x.2x.jx.bx.平均平均交叉分组两因素单独观察值
13、试验数据模式.ix.1x.2x.ix.axjx.1.x2.xjx.bx.aibjijaiijjaiijjbjijibjijixxxaxxxxbxxx111111;1,;1,其中1、两因素单独观察值试验的数学模型两因素单独观察值试验的数学模型 其中，为总平均数；i、j 分别为Ai、Bj 的效应;且 i=0，j=0；ij为随机误差，相互独立，且服从N(0,2)。bjaixijiiij,2,1,2,12、平方和与自由度的分解、平方和与自由度的分解两因素单独观察值的试验,全部ab个观察值的总变异可以分解为A因素水平间变异、B因素水平间变异及试验误差三部分；自由度也相应剖分。平方和与自由度的分解式如下：
14、SST=SSA+SSB+SSe dfT=dfA+dfB+dfe 各项平方和与自由度的计算公式为：矫正数矫正数 C=x2./ab总总平方和A因素因素平方和CxbxxbSSCxxxSSaiiaiiAaibjijaibjijT1212112112.1.).(.)(B因素因素平方和误差误差平方和 SSe=SST SSA-SSB总总自由度 dfT=ab-1A因素因素自由度 dfA=a-1B因素因素自由度 dfB=b-1误差误差自由度 dfe=dfT-dfA-dfB=(a-1)(b-1)相应均方均方为 MSA=SSA/dfA,MSB=SSB/dfB,MSe=SSe/dfeCxaxxaSSbjjbjjB12
15、1.1.).(【例例11.111.1】为了考察蒸馏水的pH 值和硫酸铜溶液浓度对化验血清中白蛋白与球蛋白的影响，将蒸馏水pH值(A因素)分成：A1=5.40,A2=5.60,A3=5.70,A4=5.80四个水平；将硫酸铜浓度(B因素)分成B1=0.04,B2=0.08,B3=0.10三个水平,进行交叉分组试验。即用同一血清在不同pH值和不同硫酸铜浓度配比下各测定一次，测定结果(白蛋白与球蛋白之比)如表11 3所示，试作方差分析。三两因素交叉资料的方差分析举例三两因素交叉资料的方差分析举例蒸馏水蒸馏水pH(A)硫酸铜浓度(B）合计合计xi.平均平均B1B2B3A13.52.32.07.82.6
16、A22.62.01.96.52.2A32.01.51.24.71.6A41.40.80.32.50.8合计合计x.j9.56.65.421.5平均平均2.41.71.4.ixjx.这是个两因素单独观察值试验结果。A因素有四个水平，即a=4；B因素有三个水平，即b=3；共有ab=43=12个观察值。1.计算各项平方和与自由度计算各项平方和与自由度623112131314111134126.022.229.577.722.252.38)4.56.65.9(41.129.552.38)5.27.45.68.7(31.177.752.38)3.0.3.25.3(52.38)34/(5.21/.222222221222211222eATeBATBATejBaiiAaibjijTdfdfdfdfbdfadfabdfSSSSSSSSCxaSSCxbSSCxSSabxC表表114 血清白、球蛋白测定结果方差分析表血清白、球蛋白测定结果方差分析表 根据df1=dfA=3,df2=dfe=6 查临界F F值，F0.01(3,6)=9.78；根据df1=dfB=2,df2=dfe=6 查临界F值,F0.01
