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1、第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩 动量矩定理动量矩定理 刚体绕定轴转动的微分方程刚体绕定轴转动的微分方程 第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理实际问题实际问题引言引言引言引言 oxFoyFFoA 均质轮受外力作用而绕均质轮受外力作用而绕其质心其质心O作定轴转动，它有作定轴转动，它有角速度和角加速度。轮的动角速度和角加速度。轮的动量：量：0COmmPvv 0eRoxoyFFFF外力的矢量和为：外力的矢量和为：这个问题不能用动量定理来描述轮绕其质心作定这个问题不能用动量定理来描述轮绕其质心作定轴转动的运动。轴转动的运动。引言引言1 质点的动量矩质点
2、的动量矩()Omm Mvrv 质点质点Q的动量对于点的动量对于点O的矩，定义为质点对于的矩，定义为质点对于点点O的的动量矩，动量矩，是矢量是矢量12.1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩QAxyzqOAmvQMO(mv)Mz(mv)r 质点动量质点动量 mv 在在 oxy 平平面内的投影面内的投影(mv)xy对于点对于点O的矩，定义为质点动量对于的矩，定义为质点动量对于z轴的矩，简称对于轴的矩，简称对于z轴的动轴的动量矩，是代数量量矩，是代数量 类似于力对点之矩和力对轴之矩的关系，类似于力对点之矩和力对轴之矩的关系，质点对点质点对点O的的动量矩矢在动量矩矢在 z 轴上的投影，等于对轴上
3、的投影，等于对 z 的动量矩。的动量矩。在国际单位制中，动量矩的单位是在国际单位制中，动量矩的单位是 kgm2/s。方向：方向：是代数量，它的正负可以通过右手定则判是代数量，它的正负可以通过右手定则判断；即：手心握转动轴（坐标轴），四指的指向为质点动量的断；即：手心握转动轴（坐标轴），四指的指向为质点动量的方向，大拇指指向为该动量矩的方向，若方向与坐标轴正向相方向，大拇指指向为该动量矩的方向，若方向与坐标轴正向相同为正、相反为负。同为正、相反为负。()zMmv12.1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩()()OzzmMmMvv或：从坐标轴正向看去，逆时针为正、顺时针为负。或：从坐标轴正
4、向看去，逆时针为正、顺时针为负。质点系对某点质点系对某点O的动量矩等于各质点对同一点的动量矩等于各质点对同一点O的动量矩的的动量矩的矢量和。矢量和。2 质点系的动量矩质点系的动量矩质点系对某轴质点系对某轴 z 的动量矩等于各质点对同一的动量矩等于各质点对同一 z 轴的动量矩的轴的动量矩的代数和。代数和。质点系对某点质点系对某点O的动量矩矢在通过该点的的动量矩矢在通过该点的 z 轴上的投影，等轴上的投影，等于质点系对该轴的动量矩。于质点系对该轴的动量矩。12.1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩()OOmLMv()zzLMmvO zzLL3 平动刚体的动量矩平动刚体的动量矩刚体平移时，可
5、将全部质量集中于质心，作为一个刚体平移时，可将全部质量集中于质心，作为一个质点计算其动量矩。质点计算其动量矩。对轴的：对轴的：对点的：对点的：12.1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩()()()OOi iCOCmmmLMvrvMv()zzCLMmv4 定轴转动刚体对转动轴的动量矩定轴转动刚体对转动轴的动量矩2()zziiii ii iLMmmv rmr v令令 Jzmiri2 称为刚体对称为刚体对 z 轴的轴的转动惯转动惯量量,于是得于是得zzJL 即：即：绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积对转轴的转动惯量与
6、转动角速度的乘积。ziMiriivm12.1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩rOAmv例例1 均质圆盘可绕轴均质圆盘可绕轴O转动，其上缠有转动，其上缠有一绳，绳下端吊一重物一绳，绳下端吊一重物A。若圆盘对转。若圆盘对转轴轴O的转动惯量为的转动惯量为J，半径为，半径为r，角速度，角速度为为w，重物，重物A的质量为的质量为m，并设绳与原盘，并设绳与原盘间无相对滑动，求系统对轴间无相对滑动，求系统对轴O的动量矩。的动量矩。解：解：)(22JmrJmrJmvrLLLO盘块LO的转向沿逆时针方向。的转向沿逆时针方向。12.1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩 平面运动刚体对垂直与其质量
7、对称平面内任一平面运动刚体对垂直与其质量对称平面内任一固定轴的动量矩为：固定轴的动量矩为：zzCCLMmJv即：其即：其对对z轴的动量矩等于刚体随质心作平移时的动轴的动量矩等于刚体随质心作平移时的动量对该轴的动量矩，与其绕过质心的轴作定轴转动量对该轴的动量矩，与其绕过质心的轴作定轴转动时对该轴的动量矩之和时对该轴的动量矩之和。5 平面运动刚体的动量矩平面运动刚体的动量矩12.1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩 刚体对轴刚体对轴 z 的转动惯量定义为：的转动惯量定义为：刚体上所有质点的质量刚体上所有质点的质量与该质点到轴与该质点到轴 z 的垂直距离的平方乘积的算术和。的垂直距离的平方乘
8、积的算术和。即即2iizrmJ对于质量连续分布的刚体，上式可写成积分形式对于质量连续分布的刚体，上式可写成积分形式2dzJrm 由定义可知，转动惯量不仅由定义可知，转动惯量不仅与质量有关与质量有关，而且，而且与质量的与质量的分布有关分布有关；在国际单位制中，转动惯量的单位是；在国际单位制中，转动惯量的单位是:kgm2。同。同一刚体一刚体对不同轴的转动惯量是不同的对不同轴的转动惯量是不同的，而它，而它对某定轴的转动对某定轴的转动惯量却是常数惯量却是常数。因此在谈及转动惯量时，。因此在谈及转动惯量时，必须指明它是对哪必须指明它是对哪一轴的转动惯量一轴的转动惯量。6 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动
9、惯量12.1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩 1.均质细杆均质细杆ddmmxl222121d12llzmJx xmll2201d3lzmJx xmll2lz1dxxxCzdxxxOl 设均质细杆长设均质细杆长 l，质量为，质量为m，取微段取微段 dx,则则一、简单形状刚体的转动惯量一、简单形状刚体的转动惯量12.1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩 2.均质薄圆环对于中心轴的转动惯量均质薄圆环对于中心轴的转动惯量zR设细圆环的质量为设细圆环的质量为m，半径为，半径为R。则。则222zi iiJmrRmmR xyRrdr3.均质圆板对于中心轴的转动惯量均质圆板对于中心轴的转动惯
10、量设圆板的质量为设圆板的质量为m，半径为，半径为R。将圆板分为。将圆板分为无数同心的薄圆环，任一圆环的质量为无数同心的薄圆环，任一圆环的质量为dm2rdr(m/R2),于是圆板转动惯量为于是圆板转动惯量为22201d2d2RzJrmrrrmR12.1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩 在工程上常用回转半径来计算刚体的转动惯量，其定义在工程上常用回转半径来计算刚体的转动惯量，其定义为为mJzz如果已知回转半径，则物体的转动惯量为如果已知回转半径，则物体的转动惯量为2zzmJ 回转半径的几何意义是：假想地将物体的质量集中到一回转半径的几何意义是：假想地将物体的质量集中到一点处，并保持物体对
11、轴的转动惯量不变，则该点到轴的距离点处，并保持物体对轴的转动惯量不变，则该点到轴的距离就等于回转半径的长度。就等于回转半径的长度。对于几何形状相同的均质物体，其回转半径相同。对于几何形状相同的均质物体，其回转半径相同。二、回转半径二、回转半径(惯性半径惯性半径)12.1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩 定理：定理：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积，与两轴间距离平方的乘积，即即2zzCJJmd三、平行移轴定理三、平行移
12、轴定理 由定理可知：刚体对于所有平行轴的转动惯量，由定理可知：刚体对于所有平行轴的转动惯量，过质心轴的转动惯量最小。过质心轴的转动惯量最小。12.1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩 例例2 如图所示，已知均质杆的质量为如图所示，已知均质杆的质量为m，对，对 z1 轴的转动惯量轴的转动惯量为为J1，求杆对，求杆对z2 的转动惯量的转动惯量J2。解：由解：由 ，得，得2zzCJJmd21(1)zCJJma22(2)zCJJmb2221()JJm ba(2)(1)得得zz1z2abC12.1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩 l 2OABll 2OABll 2例例3 均质直角折杆尺
13、寸如图，其质量为均质直角折杆尺寸如图，其质量为3m，求其对轴求其对轴O的转动惯量。的转动惯量。解解：OOAABJJJOABll 2222211(2)(2)(2)(2)3125mlmlmlml12.1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩12OOOJJJ圆盘对过其质心轴的转动惯量：圆盘对过其质心轴的转动惯量：221mRJc22212RlmmRJO杆对过点杆对过点O的轴的转动惯量，用平行移轴定理求得：的轴的转动惯量，用平行移轴定理求得：COlR2mgmg2221132OJmlmRm lR12.1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩例例4 求对轴求对轴O的转动惯量的转动惯量一、质点的动量矩
14、定理一、质点的动量矩定理d()()dOOmtMvMF质点对某定点的动量矩对时间的一阶质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。导数，等于作用力对同一点的矩。12.2 动量矩定理动量矩定理 将上式投影在直角坐标轴上，并将对点的动量矩与对轴将上式投影在直角坐标轴上，并将对点的动量矩与对轴的动量矩的关系代入，得的动量矩的关系代入，得d()()dd()()dd()()dxxyyzzMmMtMmMtMmMtvFvFvF质点对某固质点对某固定轴的动量矩对定轴的动量矩对时间的一阶导数时间的一阶导数等于质点所受的等于质点所受的力对同一轴的矩力对同一轴的矩12.2 动量矩定理动量矩定理 设质
15、点系内有设质点系内有n个质点，作用于每个质点的力分为外力个质点，作用于每个质点的力分为外力Fi(e)和内力和内力Fi(i)。由质点的动量矩定理有。由质点的动量矩定理有(e)(i)d()()()dOiiOiOimtMvMFMF这样的方程共有这样的方程共有n个，相加后得个，相加后得由于内力总是成对出现，因此上式右端的第二项由于内力总是成对出现，因此上式右端的第二项(e)(i)111d()()()dnnnOiiOiOiiiimtMvMFMF(i)1()0nOiiMF二、质点系的动量矩定理二、质点系的动量矩定理12.2 动量矩定理动量矩定理上式左端为上式左端为于是得于是得11ddd()()dddnnO
16、iiOiiOiimmtttMvMvL(e)1d()dnOOiitLMF质点系对某固定点质点系对某固定点O的动量矩对时间的导数，等的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和。于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和。12.2 动量矩定理动量矩定理在应用质点系的动量矩定理时，取投影式在应用质点系的动量矩定理时，取投影式(e)(e)(e)d()dd()dd()dxxiyyizziLMtLMtLMt FFF质点系对某质点系对某固定轴的动量矩固定轴的动量矩对时间的导数，对时间的导数，等于作用于质点等于作用于质点系的外力对于同系的外力对于同一轴的矩的代数一轴的矩的代数和。和。12.2 动量矩定理动量矩定理1.质点动量矩守恒定律质点动量矩守恒定律如果作用在质点上的力对某定点如果作用在质点上的力对某定点(或定轴或定轴)之矩恒之矩恒等于零，则质点对该点等于零，则质点对该点(或该轴或该轴)的动量矩保持不变。的动量矩保持不变。三、三、动量矩守恒定理动量矩守恒定理constOL当外力对于某定点当外力对于某定点(或某定轴或某定轴)的主矩等于零时，的主矩等于零时，质点系对于该点质点系对于
