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1、13-8声波在理想气体中的传播的速率正比于气体分子的方均根速率，问声波通过氢气的速率与通过氧气的速率之比为多少？设这两种气体都为理想气体并具有相同的温度。解：声波速率U与气体分子的方均根速率成正比，而在温度一定的条件下，气体分子的方均根速率与Jl%Wfn成正比。设声速U=Ai/Mfn，式中A为比例常量，则声波通过氧气与氢气的速率之比为j=fzz413-9在容积为2.0X103m3的容器中，有内能为6.75X1(Pj的刚性双原子分子理想气体，(1)求气体的压强；(2)若容器中分子总数为5.4X1022个，求分子的平均平动动能及气体的温度。解：(1)气体压强由E=-RTOpV=旦Rr可得气体压强2
2、Mmp=2E(ZV)=1.35105pa(2)气体分子的平均平动动能为-E3k=-=7.5010-2,JAN5气体的温度T=pink=PV(Nk)=3.62102K13-10某气体系统速率分布规律为:(0 v vf) (v vf )式中A为常量。(1)画出速率分布曲线; 速率、平均速率和方均根速率。解：(1)速率分布曲线如图所示。(2)根据归一化条件应有(2)用呼表出常量A； (3)求气体的最概然QO1dNNdvvF3=a V2Jv=A- = IO33则 A= 炸(3)生=Ay的最大值所对应的速率为忤。则NdvVp=Vf而3作为理想气体求解，则有p=？77V=3.78XlO6Pa讨论：由计算可
3、知，pp,这正是因为在建立理想气体模型时，忽略了分子本身占有的体积及分子间的引力所致。13-15设一定质量的某种理想气体盛在半径为R的球形容器中，试根据分子动理论的观点推导出压强公式：Fl三7=2o33推导：为简单计，假设所有分子均沿径向运动，分子间无碰撞，分子与器壁的碰撞为完全弹性碰撞。设第，个分子速率为力，该分子与器壁碰撞一次施予器壁的冲量，根据质点的动量定理可知应为2mm方向垂直于器壁向外。平均说来，该分子每通过距离2R即与器壁碰撞一次，单位时间内该分子与器壁碰撞的次数为W2R,施予器壁的冲量大小为单位时间内所有分子施予器壁的冲量大小为分子施予器壁的冲量均匀分布在器壁上，器壁面积为4成2
4、,气体施予器壁的压强等于单位时间内气体分子施予单位面积器壁的冲量，则有生一 1 mv；SR1 TfRmN 17-v = nm V4兀陵 313-16设系统有N个分子，试证明：无论分子速率分布规律如何，其方均根速率总不小于其平均速率。证明：设系统平均速率为二第i个分子速率为小则总有(vz-V)20112_22而一*(v.-v)2=2(2-2viV+V)=v2-2vV+V=V2-V0N,bNl-.l即有V表明方均根速率总不小于其平均速率，等号在所有分子速率均相等时成立。得证。13-17根据麦克斯韦速率分布律，求系统速率倒数的统计平均值L。解：CZ卜(品% wn.e 2kvdv =3I/13-18从
5、麦克斯韦速率分布律出发，推导出分子按平动能=LmV2的分布规律:23=Wr=与伏Ty厩Ndg并由此求出分子平动动能的最概然值。坛目dN（m-2j推导：=/（v）dv=me2kvdvN2kT）M12而=Wiv2d=tnvdv代入麦克斯韦速率分布律，整理可得dN2.y2-w（A）Nd此即分子按平动能的分布规律。根据极值条件,应有包=。，可得：d-广信G为=。使上式成立的动能即为最概然动能与，易得：kTP=P2显然，pmv;,这是由于此处所得与来源于分子动能分布律，p对应于单位动能间隔内/（）的极值点，UP对应于单位速率间隔内/C）的极值点，动能分布函数的极值点所对应的速率与速率分布函数的极值点所对
6、应的速率并不一致。13-19有N个质量均为?的同种气体分子，它们的速率分布如图所示。（1）说明速率分布曲线与横坐标所包围面积的意义；（2）由N和必求a值；（3）求分子的最概然速率；（4）求分子的平均平动动能。解：(2)（1）速率分布曲线与横坐标所包围面积表示系统的总分子数。根据速率分布曲线下面积的物理意义，知：21C/V=-3v0a2Na=3%(3)分布曲线峰值点对应的速率即为最概然速率，故Vp=Vo（4）速率在0到W间隔内的分子速率分布的直线方程为Nf(y)=-%而速率在VO到3vo间隔内的分子速率分布的直线方程为、一、3aavf(v)=-22v0第十四章热力学基础14-1一定量的气体，吸收
7、了1.71X103j的热量，并保持在LoXK)SPa的压强下膨胀,体积从LOX10-2rn3增加到1.5X10-2rn3,问气体对外界作了多少功？它的内能改变了多少？解：气体等压膨胀过程中对外作功为：W=P(V2-Vi)=5.0IO2J其内能的改变为：E=Q-W=1.21103J14-22.011101的某种气体从热源吸收热量2.66乂10511,其内能增加了4.18X10$j,在这过程中气体作了多少功？是它对外界作功还是外界对它作功？解：由热力学第一定律得气体所作的功为W=Q-E=-1.52105J负号表示外界对气体作功。14-3Imol范德瓦耳斯气体等温地由体积V.膨胀到V2的过程中对外作
8、功多少？解：由范德瓦耳斯方程可知RTaP=y等温过程中气体对外做的功为俏jl7VdRTamzn,匕一b(11)A=pdV=dV=RTIn-cnJMiy-bV2JV-bIkV1V2J若式中a=b=O,则A=RTIn即理想气体等温过程对外做功的表示式。14-4压强为LOXlO5Pa,体积为1.0义10-3n3的氧气自。C加热到100,问：(1)若为等压过程，则系统需要吸收多少热量？对外作功多少？(2)若为等体过程又如何？解：查表知,氧气的定压摩尔热容Cam=29.44Jm0K，定体摩尔热容C%=21.12Jmo】1K,根据所给初态条件，求得氧气的物质的量为tnCv=-=V1ZR7;=4.4110-
9、2molM(1)等压过程等压过程系统吸热Qp=VCpin(T2-Ti)=129.8J；Qp=yCp,m(T2-T1)=129.2J(理论值)等压过程系统作功V2T2Wl=dW=pV=-RdT=36.6JlM(2)等体过程氧气吸热为Qv=E=VCv,n(T2-T1)=93.1JQv=E=VCv,lr(T2-T1)=91.6J(理论值)而在等体过程中，因气体的体积不变，故作功为0。14-5如图所示，一定量的理想气体，开始在状态A,其压强为2.0XlO5Pa,体积为2.0X10-3n3,沿直线AB变化到状态B后，压强变为1.0IO5Pa,体积变为3.0103n,求此过程中气体所作的功。解：气体作功的
10、表达式为W=Jpdvo功的数值就等于p-V图中过程曲线下所对应的面积W=Sabcd=癖+而)CD=150J14-6一气缸内贮有10.0mol的氮气，在将其压缩的过程中，外力作功209J,气体温度升高1K。计算气体内能的增量和所吸收的热量；若在压缩过程中系统的摩尔热容为常数，求其摩尔热容。3解：E=vCv,nT=10.0-8.311=124.7J2Q=E+W=124.7-209=-84.3JCm=QvT_044负号表示物体温度升高，不仅不吸热,反而向外放热。=-=-84.3JmOrKIOxl14-7除非温度很低，许多物质的定压摩尔热容都可以用下式表示：Cpm=a+2bT-cT-2式中a、b和C是
11、常量，T是热力学温度，求：(1)在恒定压强下，Imol物质的温度从Tl升高到T2时需要的热量；(2)在温度Tl和T2之间的平均摩尔热容：(3)对镁来说，若Cp111的单位为Jmo,KL则a=25.7Jmol*1Kl,b=3.13IO3Jmo,K*2,c=3.27IO5Jmol-1K3,计算镁在300K时的摩尔热容量Cpm,以及在2(X)K和400K之间Cpm的平均值。解：(I)ImOI物质从温度Tl等压升温至T2时吸热为Qp=J CPmdT=(+2bT-cT-2)dT=a(2-)+b(-Tl2)c(,-71)4(2)在Tl和T2间的平均摩尔热容为Cp,m=Qp(T2-Ti)=ab(T2Tl)-
12、ciT2(3)镁在T=300K时的定压摩尔热容为Cp.111=a+2bT-cT-2=23.9Jmo1k1镁在200和400K之间Cpg的平均值为Cp,m=a+b(T2+Ti)-cTlT2=26.0JmDITKT14-8将压强为LOlXIo5Pa、体积为LoXlOn?的氢气，经绝热压缩使体积变为2.010-5m3,求压缩过程中气体所作的功。（氢气的摩尔热容比7=1.41）解：设p、V分别为绝热过程中任一状态的压强和体积，则由PIVgPV7得P=PIVIyV-Y氢气绝热压缩作功为W=pdv=pPV-dV=-p-一匕=-23.0J14-9如图所示，使ImOl氧气（1）由A等温的变到B；（2）由A等体
13、的变到C,再由C等压地变到B,试分别计算氧气所作的功和吸收的热量。（3）若一热机按路径ABCA习题14-9图进行循环，计算热机的效率。分析：从PV图上可以看出，氧气在AB及ACB的两个过程中所作的功是不同的，但内能是状态的函数，其变化值与过程无关，仅取决于始末两态，所以这两个不同过程的内能变化是相同的，而因初、末状态温度相同TA=Tb,故AE=O,利用热力学第一定律Q=W+AE,可求出每一过程所吸收的热量解：（1）沿AB作等温膨胀的过程中，系统作功Wab=9RT111(VbVa)=PAVa111(VbVa)=2.77103JM而在等温过程中，氧气吸收的热量为QAB=WAB=2.77IO3J(2
14、)沿A到C再到B的过程中系统作功和吸热分别为Wacb=WAC+Wcb=WCB=Pc(Vb-Vc)=2.0lO3JQacb=WACB=2.O1O3J(3)热机的效率力_ W _WabWbc 1Q Qab+QcaW-W=10%Qab+Cm(1F)14-10一卡诺热机的低温热源温度为27,效率为30%。（1）若要将其效率提高到50%,高温热源的温度需提高多少开？(2)若保持高温热源的温度不变，将其效率也提高到50%,低温热源的温度应为多少开？分析一下哪种情况更易实现。已知30%,T2=273+27=300K根据公式=l-，可得:T产）一二429K1-0.3当n=50%时，设高温热源温度提高为ATI,则有0.5=1-300429 + ATl得：T=171K,即高温热源的温度需提高171开。(2)设此时高温热源温度为T2,则429易得T2,=214K由于升高高温热源Tl的温度较降低低温热源的温度T2更方便，更省功，则前一种情况更易实现。过程内能增量AE/J作功W/J
