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1、14.5.曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线11.若曲面方程为若曲面方程为(,)0F x y z 过曲面上点过曲面上点 任意任意作一条在曲面上的作一条在曲面上的曲线曲线 ，(如图如图)设其方程为设其方程为()()()()()()0 xyzFx tFy tF z t (),(),()x xty ytz zt 显然有显然有(),(),()0F x ty t z t 在上式两端对在上式两端对 求导，得求导，得nTM0000(,)Mxy zlt14.5.曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线2nT 0000000000000,xyzMxtytztFxyzFxyzFxyz曲曲线线在在的的切切向向量量为为
2、法法向向量量为为0M14.5.曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线3000000()()()()()()0 xMyMzMFx tFy tFz t 000000(),(),(),xMyMzMFFFxtytzt 上上式式说说明明法法向向量量n n与与切切向向量量正正交交。由于由于 的任意性，可见曲面上过的任意性，可见曲面上过 的任一条曲线的任一条曲线 在在该点的切线都与该点的切线都与 正交，因此这些切线应在同一平面正交，因此这些切线应在同一平面上，这个平面称为曲面在上，这个平面称为曲面在 点的点的切平面切平面，而，而 就是就是切平面的法向量。切平面的法向量。0M0Mnnl在在 点（设点（设 点对应
3、于参数点对应于参数 ）有）有0tt 0M0M14.5.曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线4过过 点与切平面垂直的直线，称为曲面在点与切平面垂直的直线，称为曲面在 点的点的法线法线，其方程为，其方程为0M0M000000()()()xMyMzMXxYyZzFFF 该法线的一组方向数为：该法线的一组方向数为：000(),(),()xMyMzMFFF000000()()()()()()0 x My Mz MFXxFYyFZz 从而曲面在从而曲面在 点的点的切平面方程为切平面方程为0M14.5.曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线5综上所述若曲面方程为综上所述若曲面方程为(,)0F x y z 则该
4、曲面在则该曲面在 点的点的切平面方程为切平面方程为0M000000()()()()()()0 xMyMzMFXxFYyFZz 过过 点的点的法线方程为法线方程为0M000000()()()xMyMzMXxYyZzFFF 14.5.曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线6设设 分别为曲面在分别为曲面在 点的法线与点的法线与 轴正向之轴正向之间的夹角，那末在间的夹角，那末在 点的点的法线方向余弦为法线方向余弦为,0M,x y z0000(,)Mxyz000000000000222222222()cos()()()()cos()()()()cos()()()xMxMyMzMyMxMyMzMzMxMyM
5、zMFFFFFFFFFFFF 14.5.曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线72.若曲面方程为若曲面方程为(,)zf x y 容易把它化成刚才讨论过的情形：容易把它化成刚才讨论过的情形：(,)(,)0F x y zf x yz 0000000(,)()(,)()()0 xyfx yXxfx yYyZz 0000000(,)(,)1xyXxYyZzfxyfxy 于是曲面在于是曲面在 （这里（这里 ）点的）点的切平面切平面方程为方程为000(,)xyz000(,)zf xy 法线方程为法线方程为14.5.曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线83.若曲面方程为参数形式：若曲面方程为参数形式：(,),
6、(,),(,)xx u vyy u vzz u v 如果由方程组如果由方程组 可以确定两个函数：可以确定两个函数：(,),(,)xx u vyy u v (,),(,)uu x yvv x y 于是可以将于是可以将 看成看成 的函数，从而可以将问题化为的函数，从而可以将问题化为刚才已经讨论过的情形。刚才已经讨论过的情形。z,x y代入方程代入方程 ，得，得(,)zz u v(,),(,)zz u x yv x y 因此需分别计算因此需分别计算 对对 的偏导数。的偏导数。z,x y14.5.曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线9zxyuuuzxyvzzxyzzxvvy 将将 分别对分别对 求导，
7、注意到求导，注意到 为为 的函数按隐函数求导法则有的函数按隐函数求导法则有,u v,x y(,),(,)zz u x yv x y 解方程组，得解方程组，得(,)(,)(,)(,),(,)(,)(,)(,)D y zD x yD z xD x yD u vD u vD u vD u vzzxy ,u v14.5.曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线10法线方程法线方程于是曲面在于是曲面在 点的点的切平面方程为切平面方程为0M000000(,)(,)(,)(,)(,)(,)MMMXxYyZzD y zD z xD x yD u vD u vD u v 000000(,)(,)(,)()()()0
8、(,)(,)(,)MMMD y zDz xD x yX xYyZ zDuvDuvDuv 14.5.曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线11例例 1 求球面求球面 在点在点 的切平面的切平面及法线方程及法线方程.22214xyz (1,2,3)解解222(,)14F x y zxyz 设设2,2,2xyzFxFyFz 则(1,2,3)2,(1,2,3)4,(1,2,3)6xyzFFF 所以在点所以在点 处处 球面的切平面方程为球面的切平面方程为(1,2,3)2(1)4(2)6(3)0 xyz 法线方程法线方程123246xyz 14.5.曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线124.曲面的夹角曲面
9、的夹角 两个曲面在交线上某点处的两个法线的夹角称为这两两个曲面在交线上某点处的两个法线的夹角称为这两个曲面在该点的个曲面在该点的夹角夹角。如果两个曲面在该点的夹角等于如果两个曲面在该点的夹角等于 90 度，则称这两个曲度，则称这两个曲面在该点正交。若两曲面在交线的每一点都正交，则称这面在该点正交。若两曲面在交线的每一点都正交，则称这两曲面为两曲面为正交曲面正交曲面。例例 2 证明对任意常数证明对任意常数 ，球面，球面 与锥与锥面面 是正交的。是正交的。2222xyz ,2222=tgxyz 14.5.曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线13即即证明证明 球面球面 的法线方向数为的法线方向数为2
10、222(,)0F x y zxyz 2,2,2xyz ,xyz锥面锥面 的法线方向数为的法线方向数为2222(,)tg0G x y zxyz 2,tgxyz 22222000000000(,)(,tg)tgxyzxyzxyz 在两曲面交线上的任一点在两曲面交线上的任一点 处，两法向量的内积处，两法向量的内积000(,)xyz因因 在曲面上，上式右端等于在曲面上，上式右端等于 0，所以曲面与锥，所以曲面与锥面正交。面正交。000(,)xyz14.5.曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线14解,632),(222 zyxzyxF)1,1,1()1,1,1(6,4,2zyxn,6,4,2切平面方程为
11、切平面方程为,0)1(6)1(4)1(2 zyx,032 zyx法线方程为法线方程为.614121 zyx.处的切平面及法线方程(1,1,1)在点632 面3222zyx椭球求例椭球面在给定点的切平面法向量为14.5.曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线15解解,32),(xyezzyxFz,42)0,2,1()0,2,1(yFx,22)0,2,1()0,2,1(xFy,01)0,2,1()0,2,1(zzeF令令切平面方程切平面方程法线方程法线方程,0)0(0)2(2)1(4 zyx,042 yx.001221 zyx14.5.曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线16解解设设 为曲面上的切点为曲面上的切点,),(000zyx切平面方程为切平面方程为0)(2)(4)(2000000 zzzyyyxxx依题意，切平面方程平行于已知平面，得依题意，切平面方程平行于已知平面，得,221412000zyx .42000zyx 2225 2120.xyzxyz 例例求求椭椭球球面面的的切切平平面面，使使其其与与平平面面 平平行行2,4,2000zyxn 法向量法向量
