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1、2023-11-11内容回顾内容回顾 1.概率论中的基本概念：概率论中的基本概念：样本点，样本点，样本空间，样本空间，随机事件随机事件 2.随机事件的四种关系和三种运算以及随机事件的四种关系和三种运算以及De Morgen律律 3.概率的统计定义：概率的统计定义：频率越大，事件发生的可能性越大频率越大，事件发生的可能性越大 4.概率的公理化定义：概率的公理化定义：非负性，规范性，可加性非负性，规范性，可加性 5.概率的五条性质概率的五条性质2023-11-12古典概型古典概型一、古典概型的定义二、古典概型的公式三、应用第三节第三节基本内容：2023-11-13随机事件在一次试验中可能发生也可能
2、不发生,但在多次重,复的试验中 它的发生却呈现规律性 这个规律性反映了随机,事件发生的可能性的大小 这个可能性大小的值 称为随机事.件发生的概率古典概型:假定随机试验满足1有限性试验的基本事件只有有限个；2.等可能性 任一基本事件发生的可能性大小相同,则称其为古典概率模型 简称古典概型.,N定义 对于古典概型,如果样本空间的基本事件总数是而,AMA事件包含的基本事件数是则事件发生的概率():P A 定义为.这个定义称为概率的古典定义()MP AN2023-11-14注注:2 2 判断古典概型的两个依据：判断古典概型的两个依据：的有限性；的有限性；各基本事件各基本事件的的等可能性等可能性.3 3
3、 加法原理、加法原理、乘法原理、乘法原理、排列与组合在古典概型排列与组合在古典概型中起着重要的作用中起着重要的作用.1 1 古典概型与样本空间古典概型与样本空间 的建立有关；的建立有关；2023-11-15预备知识：预备知识：n21mmmM1.1.加法原理：加法原理：完成完成1 1件事，有件事，有n类办法类办法.在第在第1 1类类办法中办法中有有m1种不同的方法，种不同的方法，在第在第2类中有类中有m2种不同的方法，种不同的方法，在第在第n类中有类中有mn种不同的方法，种不同的方法，那么完成这件事共有那么完成这件事共有2.2.乘法原理：乘法原理：完成完成1 1件事，需要分成件事，需要分成n个步
4、骤个步骤.做第做第1步步有有m1种不同的方法种不同的方法,做第做第2步有步有m2种不同的方法，种不同的方法，做第做第n步有步有mn种不同的方法，种不同的方法，那么完成这件事共有那么完成这件事共有n21mmmN2023-11-163.3.排列：排列：从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)个元素的所有个元素的所有排列的个数，排列的个数，叫做从叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的排列数个元素的排列数记为记为(1)(1)mnPnnnm4.4.组合：组合：从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)个元素并成一个元素并成一组，组，叫做从叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出
5、m个元素的组合数，记为个元素的组合数，记为(1)(1)!mnnnnmCm2023-11-17 例例1 1：从0,1,2,9共10个数字中任取一个.假定每(1)7个数字全不同；(2)不含4和7；出7个数字，试求下列各事件的概率:个数字都以1/10的概率被取中,取后还原,先后取三、常见的古典概型三、常见的古典概型1.1.随机取数模型随机取数模型2023-11-18解解:样本空间所包含的基本事件总数：107.(1)A表示“7个数字全不同”.A所包含的基本事件数：(2)B表示“不含4和7”.10 9 8 76 5 4.7107710!().10103!AP A()P B 7780.2097.10 71
6、0P2023-11-192.2.分房模型分房模型解：1 先求样本空间所含的样本点总数.有n个人，每个人都以同样的概率 1/N被分配在N(nN)间房中的每一间中，试求下列各事件的概率：(1)某指定n间房中各有一人；(2)恰有n间房，其中各有一人；(3)某指定房中恰有m(m n)人.例例2:2:2023-11-110分析分析 把n个人随机地分到N个房间中去,每一种分法就对应着一个样本点(基本事件)，由于每个人都可以住进N间房中的任一间，所以每一个人有N种分法,n个人共有 Nn 种分法,即基本事件总数：2(1)设 A表示“某指定n间房中各有一人”则 A所含样本点数：!nnPn!().nnP AN.n
7、N2023-11-111(2)设B表示“恰有n间房，其中各有一人”这n间房可以从N个房间中任意选取,共有 各有一人的分法有 n!种,所以事件B所含的样本点数：种分法.而对于每一选定的n间房,其中nNC!.nNCn!().nNnCnP BN 分析分析 对于事件B，由于未指定哪n个房间,所以2023-11-112求其中恰有2件次品的概率.例例3 3：设一批产品共100件,其中共有95件正品和5件次品,按放回抽样放回抽样方式从这批产品中抽取10件样本,放回地抽取10件样品共有基本事件数设事件A1表示“取出的10件样品中恰有2件次品”,10100N82210955 CM解：事件A1包含的基本事件数：3
8、.3.产品检验模型产品检验模型10822101100955)(CAP.0746.02023-11-113基本事件的相当于从100件样品中取10件作组合,求取出的10件样本中恰有2件次品的概率.例例4.4.10100CN,25895CCM 10100258952)(CCCAP上题按不放回抽样不放回抽样方式从这批产品中抽取10件样品,解解1 1：从这批产品中不放回抽样抽取10件样品总数为设事件A2表示“取出的10件样品中恰有2件次品”,则事件A2包含的基本事件数为按古典概型的概率公式,.0702.02023-11-114则事件A2包含的基本事件数为解解2 2：9199100N10100P第一次抽取
9、有100种不同取法,第二次抽取有99种不同取法,第10次抽取有91种不同取法因此基本事件的总数为设事件A2表示“取出的10件样品中恰有2件次品”,28210955,MC P P28210955210100()C P PP AP按古典概型的概率公式,.0702.02023-11-115 (2)在不放回抽样的方式下,取出的n件样品中恰好有m件次品（不妨设事件A2）的概率为 .)()(1nmnmmnNMNMCAPnNmnMNmMmnAAACAP)(2 (1)在放回抽样的方式下,取出的n件样品中恰好有m件次品（不妨设事件A1）的概率为.nNmnMNmMCCC 设一批产品共N件,其中有M件次品,从这批产
10、品中随机抽取n件样品，则产品检验模型产品检验模型2023-11-116就是从N件产品中任取次取出的产品是次品的概率.)1(Nii例例5.5.(1)(1)iNPN NNi 111(1)(1)(1)1iNMPANNiM设一批产品共N件,其中有M件次品,每次从这批产品中任取1件产品,取出后不放回,求第解解:到第i次取出的产品时,i件样品的排列,所以基本事件的总数为设事件Ai表示“第i次取出的产品是次品”,它包含的基本事件数为MiNN)1()1(2023-11-117 注：注：放回抽样或不放回抽样中放回抽样或不放回抽样中,无论哪次抽取次无论哪次抽取次品的概率都一样品的概率都一样,即取出次品的概率与先后
11、次序即取出次品的概率与先后次序无关无关.按古典概型的概率公式,得.)1()1()1()1()(NMiNNNMiNNAPi2023-11-118同类型的问题还有：5)扑克牌花色问题；扑克牌花色问题；4)鞋子配对问题；鞋子配对问题；6)英文单词、书、报及电话号码等排列问题英文单词、书、报及电话号码等排列问题.1)中彩问题；中彩问题；2)抽签问题；抽签问题；3)分组问题；分组问题；2023-11-11919解：假设接待站的接待时间没有规定，而各来访者在一周 的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接待来 访者都是在周二、周四的概率为 212/712=0.000 000 3.例：某接待站在某一周曾接
12、待12次来访，已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的，问是否可以推断接待时间是有规定的?人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的”(称之为实际推断原理实际推断原理)。现在概率很小的事件在一次试验中竟然发生了，因此有理由怀疑假设的正确性，从而推断接待站不是每天都接待来访者，即认为其接待时间是有规定的。2023-11-120条件概率条件概率 概率乘法公式概率乘法公式一、条件概率二、概率乘法公式三、全概率公式与贝叶斯公式基本内容：第四节第四节2023-11-121条件概率是概率论中的一个重要概念，什么是条件概率？同时，我们将发现它也是用来计算复杂模型中概率的重要
13、工具。2023-11-1221011010引例：张彩票中只有 张中奖票，人同时摸这张彩票，1=AB张三和李四各有 张，记张三中奖，李四中奖，则()P A 110()P BB若李四先刮开奖票，并且李四中奖了，即 发生，此时()P A 0此时的概率我们记作()0;P A B B若李四先刮开奖票，并且李四没有中奖，即 发生，此时()P A 19此时的概率我们记作1();9P A B BA由此可见，事件发生与否影响了 事件发生的概率显然，()()()P AP A BP A B2023-11-123 所谓所谓“事件事件A1已发生已发生”,是指是指A1 中某一个样本点已出现。中某一个样本点已出现。那么，那
14、么，“在事件在事件A1已发生的条件下，事件已发生的条件下，事件A2再发生再发生”，必然是这个已出现的样本点又属于必然是这个已出现的样本点又属于A2(属于属于A1A2).1A例：设在例：设在10个同一型号的元件中有个同一型号的元件中有7个一等品个一等品,从这些元件中从这些元件中不放回连续取两次不放回连续取两次,每次取一个元件每次取一个元件,求在第一次取得一等品求在第一次取得一等品的条件下的条件下,第二次取得一等品的概率第二次取得一等品的概率.分析：分析：设设Ai表示表示“第第 i 次取得一等品次取得一等品”(i=1,2),在新的样本空间在新的样本空间 中求事件中求事件A1A2的概率的概率)|(1
15、2AAP即32969767所以所以A1发生的条件下发生的条件下,A2发生的概率看成是发生的概率看成是2A1A21AA)()(121APAAP2023-11-1242.条件概率的定义条件概率的定义为事件A在事件B发生的条件下的条件概率条件概率.)()()|(BPABPBAP设A与B是两个随机事件,若P(B)0,则称()0,P ABA同理，若也可定义事件 在 已经发生条件下的条件概率：()P B A()()P ABP A可验证条件概率符合非负性、规范性及可列可加性，亦是概率，具有概率的一切性质.2023-11-1253.条件概率的性质条件概率的性质,1)|(BP(3)可列可加性：逆事件的条件概率:
16、)|(1)|(BAPBAP(1)非负性：0P(A|B)1;(2)规范性：;0)|(BP,21AA.)|()|)(11iiiiBAPBAP有对于可列无穷个互不相容事件故条件概率满足概率的5条性质，如2023-11-126例例6.6.)|(12AAP)()(121APAAP)91067(设在10个同一型号的元件中有7个一等品,从这些元件中不放回连续取两次,求在第一次取得一等品的条件下,第二次取得一等每次取一个元件,品的概率.解：解：设Ai表示“第 i 次取得一等品”(i=1,2),则解解1：)91097/(3296解解2：若按事件A1发生条件下缩减后的样本空间来计算,)|(12AAP.32961A则97672023-11-127例例7 7在肝癌普查中发现,某地区的自然人群中,每十万人中平均有40人患原发性肝癌，有34人出现甲胎球蛋白高含量，有32人既患原发性肝癌又出现甲胎球蛋白高含量。从这个地区的居民中任选1人，若他患有原发性肝癌记为事件A，甲胎球蛋白高含量记为事件B，则()P A 400.0004,100000()P B 0.00034,由条件概率的定义有：()()P ABP A0.00
