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1、第一章第一章 行列式行列式 1 n1 n阶行列式的定义阶行列式的定义2 2 行列式的性质行列式的性质3 3 行列式按行行列式按行(列列)展开展开4 4 克拉默法则克拉默法则1 n n阶行列式的定义阶行列式的定义 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式 排列与逆序排列与逆序 n n阶行列式的定义阶行列式的定义一、二阶与三阶行列式一、二阶与三阶行列式二元线性方程组二元线性方程组 11112212112222a xa xba xa xb 由消元法，得由消元法，得211211221122211)(abbaxaaaa 212221121122211)(baabxaaaa 当当 时，该方程组有唯一解时，该方程组
2、有唯一解 021122211 aaaa211222112122211aaaabaabx 211222112112112aaaaabbax 1 1.二阶行列式二阶行列式求解公式求解公式为为11112212112222a xa xba xa xb 122122111221221112121211221221b aa bxa aa aa bb axa aa a 二元线性方程组二元线性方程组 请观察，此公式有何特点？请观察，此公式有何特点？分母相同，由方程组的四个系数确定分母相同，由方程组的四个系数确定.分子、分母都是四个数分成两对相乘再分子、分母都是四个数分成两对相乘再 相减而得相减而得.其求解公式
3、为其求解公式为11112212112222a xa xba xa xb 122122111221221112121211221221b aa bxa aa aa bb axa aa a 二元线性方程组二元线性方程组 我们引进新的符号来表示我们引进新的符号来表示“四个四个数分成两对相乘再相减数分成两对相乘再相减”.1112112212212122aaDa aa aaa11122122aaaa记号记号 11122122aaaa数表数表 表达式表达式 称为由该称为由该数表所确定的数表所确定的二阶行列式二阶行列式，即，即11221221a aa a 其中，其中，称为称为元素元素.(1,2;1,2)ij
4、aiji 为为行标行标，表明元素位于第，表明元素位于第i 行；行；j 为为列标列标，表明元素位于第，表明元素位于第j 列列.二元线性方程组二元线性方程组 11112212112222a xa xba xa xb 若令若令 11122122aaDaa 1211222bbaDa 1221121baDab(方程组的系数行列式方程组的系数行列式)则上述二元线性方程组的解可表示为则上述二元线性方程组的解可表示为1122122111221221DDb aa bxa aa a 1121212211221221a bb aDxa aa aD 2.2.三阶行列式三阶行列式定义定义 对于有对于有9个元素个元素 排
5、成排成3行行3列的式子列的式子记记称为称为三阶行列式三阶行列式.111213212223313233aaaaaaaaa 112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a111213212223313233aaaaaaaaa主对角线主对角线 副对角线副对角线 ija三阶行列式的计算三阶行列式的计算 对角线法则对角线法则 111213212223313233aaaDaaaaaa 132132a a a 112233a a a 122331a a a 132231a a a 122133a a a 112332a a
6、 a 注意：注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.实线上的三个元素的乘积冠正号，实线上的三个元素的乘积冠正号，虚线上的三个元素的乘积冠负号虚线上的三个元素的乘积冠负号.3232-344-52D 例例1 计算行列式计算行列式 解解按对角线法则，有按对角线法则，有 D3(3)2 3(3)4 18303236608 72 2 4 4 2(5)3 2 2 2 3 4(5)方程左端方程左端解解由由 得得2111120.64xx 例例2 求解方程求解方程 22264124Dxxxx228,xx2280 xx24.xx 或或二、排列与逆序二、排列与逆序定义定义1,2,n
7、由正整数由正整数 组成的一个没有重复数字组成的一个没有重复数字的的n元有序数组，称为一个元有序数组，称为一个n级排列，简称级排列，简称排排列列，记为，记为 。)(21niii 1 2ni ii例如例如4231423165341265341215231523是一个是一个4 4级排列级排列是一个是一个6 6级排列级排列不是一个排列不是一个排列n 个不同的自然数，规定从小到大为标准次序个不同的自然数，规定从小到大为标准次序.定义定义 在一个在一个n级排列级排列 中，如果数中，如果数 ，则称数则称数 与与 构成一个构成一个逆序逆序。在一个。在一个n级排列中，逆序级排列中，逆序的总数称为该排列的的总数称
8、为该排列的逆序数逆序数，记为，记为例如例如 在排列在排列32514中，中，3 2 5 1 4逆序逆序 逆序逆序 逆序逆序 思考题：思考题：还能找到其它逆序吗？还能找到其它逆序吗？答：答：2和和1，3和和1也构成逆序也构成逆序.)(21ntsiiiiistii siti1 2()ni ii 计算排列的逆序数的方法计算排列的逆序数的方法则此排列的逆序数为则此排列的逆序数为12ntttt设设 是是 1,2,n 这这n 个自然数的任一排列，并规个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序。定由小到大为标准次序。先看有多少个比先看有多少个比 大的数排在大的数排在 前面，记为前面，记为 ；再看有多少个比再
9、看有多少个比 大的数排在大的数排在 前面，记为前面，记为 ;最后看有多少个比最后看有多少个比 大的数排在大的数排在 前面，记为前面，记为 ;1 2ni ii1i1i1t2i2i2tninint例例1：求排列求排列 32514 的逆序数的逆序数.解：解：(32514)0 练习：练习：求排列求排列 453162 的逆序数的逆序数.9t 解：解：因为因为3 3排在首位，故其逆序的个数为排在首位，故其逆序的个数为0 0；在在2 2的前面比的前面比2 2大的数有大的数有1 1个，故其逆序的个数为个，故其逆序的个数为1 1；在在5 5的前面比的前面比5 5大的数有大的数有0 0个，故其逆序的个数为个，故其
10、逆序的个数为0 0；在在1 1的前面比的前面比1 1大的数有大的数有3 3个，故其逆序的个数为个，故其逆序的个数为3 3；在在4 4的前面比的前面比4 4大的数有大的数有1 1个，故其逆序的个数为个，故其逆序的个数为1 1。易见所求排列的逆序数为易见所求排列的逆序数为 1 0 3 1 5 定义定义逆序数为偶数的排列称为逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列；逆序数为奇数的排列；逆序数为奇数的排列称为称为奇排列奇排列。定义定义把一个排列把一个排列 中某两个数中某两个数 ，的位置互的位置互换，而其余数不动，得到另一个排列换，而其余数不动，得到另一个排列 ，这样的变换称为一个这样的变换称为一个对换对换，
11、记为，记为 。siti1 2()tsni iiii 1 2()stni iiii ,stii将两个相邻元素对换，称为相邻对换将两个相邻元素对换，称为相邻对换 定理定理1 1任意一个排列经过一个对换后，改变奇偶性。任意一个排列经过一个对换后，改变奇偶性。即即经过一次对换，奇排列变为偶排列，偶排列变为奇排列。经过一次对换，奇排列变为偶排列，偶排列变为奇排列。证明：证明：第一种情形。第一种情形。先看相邻对换的情况先看相邻对换的情况 设排列为设排列为 ，对换，对换 与与 ，变为，变为 11lmaa abbbab11lmaa babb显然，显然，这些元素的逆序数经过对换并不改变，这些元素的逆序数经过对换
12、并不改变，1laa1mbb 与与 两元素的逆序数改变为：两元素的逆序数改变为：abab 当当 时，时，经对换后经对换后 的逆序数增加的逆序数增加1 1而而 的逆序数不变；的逆序数不变；ab当当 时，时，经对换后经对换后 的逆序数不变而的逆序数不变而 的逆序数减少的逆序数减少1 1；ab ba所以，所以，排列排列 与排列与排列 的奇偶性改变。的奇偶性改变。11lmaa abbb11lmaa babb第二种情形。第二种情形。再看一般情况。再看一般情况。设排列为设排列为 ，对它做，对它做 次相邻对换，变成次相邻对换，变成 111lmnaa abb bccm111lmnaa abbb cc再做再做 次
13、相邻对换，变成次相邻对换，变成 1m 111lmnaa bbb acc总之，经总之，经 次相邻对换，排列次相邻对换，排列 变成变成 21m 111lmnaa abb bcc111lmnaa bbb acc所以这两个排列的奇偶性改变。所以这两个排列的奇偶性改变。定理定理2 2 个自然数个自然数 共有共有 个个 级排列，其中奇偶排列各级排列，其中奇偶排列各占一半。占一半。n 1n !nn证明证明 级排列的总数为级排列的总数为 个。个。n!n设其中奇排列为设其中奇排列为 个，偶排列为个，偶排列为 个。个。pq若对每个奇排列都做同一对换，则由定理若对每个奇排列都做同一对换，则由定理1 1，个奇排列均变
14、成偶排列，故个奇排列均变成偶排列，故 ；ppq 同理，对每个偶排列做同一变换，则同理，对每个偶排列做同一变换，则 个偶排列均变成奇排列，故个偶排列均变成奇排列，故 。qqp 从而，从而，!2npq 三、三、n阶行列式的定义阶行列式的定义111213212223313233aaaDaaaaaa 112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a规律：规律：1.1.三阶行列式共有三阶行列式共有3!项。项。2.2.每项都是取自不同行、不同列的三个元素的乘积。每项都是取自不同行、不同列的三个元素的乘积。3.3.每项的符号
15、取决于：当该项元素的行标按自然数顺序排列后，每项的符号取决于：当该项元素的行标按自然数顺序排列后，如果对应的列标构成的排列是偶排列则取正号，奇排列则取如果对应的列标构成的排列是偶排列则取正号，奇排列则取负号。负号。所以，三阶行列式可以写成所以，三阶行列式可以写成 1 2 31231 2 3()123(1)j j jjjjj j jaaa 其中其中 表示对所有表示对所有3 3级排列求和级排列求和。1 2 3j j j 二阶行列式有类似规律二阶行列式有类似规律。下面将行列式推广到一般的情形下面将行列式推广到一般的情形 111213212223313233aaaDaaaaaa 11223312233
16、1132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a定义定义由由 个元素个元素 排成排成n行、行、n列构成列构成的记号：的记号：2n ,1,2,ijai jn 1 2121 21112121222()1212(1)nnnnnj jjjjnjj jjnnnnaaaaaaDaaaaaa 简记作简记作 ，其中其中 为行列式为行列式D的的(i,j)元元 detijaija称为称为n阶行列式阶行列式，其中，其中 表示对所有表示对所有n阶排列阶排列求和。求和。1 2nj jj 12nj jj规律规律1.n 阶行列式共有阶行列式共有 n!项项2.2.每项都是取自不同行不同列的每项都是取自不同行不同列的 n 个元素的乘积，个元素的乘积，每项各元素每项各元素行标按自然数顺序排列后就是行列式的一般项形式：行标按自然数顺序排列后就是行列式的一般项形式：3.3.若行列式每项的行标都按自然数的顺序排列，其中若行列式每项的行标都按自然数的顺序排列，其中 是指项的符号，且列序构成是指项的符号，且列序构成 n 级排列级排列 ，若此排列为，若此排列为奇排列则此项
