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1、高等数学高等数学一、定积分的概念与性质一、定积分的概念与性质二、微分学基本公式二、微分学基本公式 第一节第一节 定积分的概念与性质定积分的概念与性质一、定积分问题举例一、定积分问题举例二、定积分的定义二、定积分的定义三、定积分的性质三、定积分的性质四、小结四、小结a ab bx xy yo o?A曲边梯形由连续曲线曲边梯形由连续曲线实例实例1 1（求曲边梯形的面积）（求曲边梯形的面积）)(xfy )0)(xf、bx 所所围围成成.一、定积分问题举例一、定积分问题举例)(xfy abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然，小矩形越多，矩形总面积越接显然
2、，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积近曲边梯形面积 （四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）曲边梯形如图所示，曲边梯形如图所示，,1210bxxxxxabann 个分点，个分点，内插入若干内插入若干在区间在区间abxyoi ix1x1 ix1 nx;,11 iiiiixxxxxnba长度为长度为，个小区间个小区间分成分成把区间把区间，上任取一点上任取一点在每个小区间在每个小区间iiixx,1 iiixfA )(为为高高的的小小矩矩形形面面积积为为为为底底，以以)(,1iiifxx iniixfA )(1 曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的近似值为iniixfA )(li
3、m10 时时，趋趋近近于于零零即即小小区区间间的的最最大大长长度度当当分分割割无无限限加加细细)0(,max,21 nxxx曲边梯形面积为曲边梯形面积为设设函函数数)(xf在在,ba上上有有界界，记记,max21nxxx ，如如果果不不论论对对,ba在在,ba中任意插入中任意插入若若干干个个分分点点各各小小区区间间的的长长度度依依次次为为1 iiixxx，),2,1(i，在在各各小小区区间间上上任任取取作作乘乘积积iixf)(),2,1(i二、定积分的定义二、定积分的定义0121nnaxxxxxb 定义定义 1niiiSfx 并并 作作 和和 怎怎样样的的分分法法，baIdxxf)(iinix
4、f )(lim10 被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积积分分区区间间,ba也也不不论论在在小小区区间间,1iixx 上上点点i 怎怎样样的的取取法法，只只要要当当0 时时，和和S总总趋趋于于记为记为积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和注意：注意：badxxf)(badttf)(baduuf)(（3 3）当函数）当函数)(xf在区间在区间,ba上的定积分存在时，上的定积分存在时，怎样的函数就可积？怎样的函数就可积？()f x,a b在在上可积，只要求上可积，只要求极限极限01lim()niiifx 存在。存在。定理定理1 1 若若()f x在在,a b上连续上连续()
5、f x在在,a b上可积。上可积。定理定理2 2 若若()f x在在,a b上有界，且只有有限个间断点上有界，且只有有限个间断点()f x在在,a b上可积。上可积。,0)(xf baAdxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积,0)(xf baAdxxf)(曲边梯形的面积的曲边梯形的面积的负值负值1A2A3A4A4321)(AAAAdxxfba 定积分的几何意义定积分的几何意义几何意义：几何意义：(),xf xxa xbxx它它是是介介于于轴轴、函函数数的的图图形形及及两两条条直直线线之之间间的的各各部部分分面面积积的的代代 数数和和在在轴轴上上方方的的面面积积取取正正号号；在在轴轴下下方方的
6、的面面积积取取负负号号 (高为高为a a，底边长为，底边长为a a的直角三角形的面积的直角三角形的面积)(圆心圆心O O半径半径R R的圆在第一象限的面积的圆在第一象限的面积)常用的几个几何意义常用的几个几何意义badxba(高为高为1 1，底边长为，底边长为b-ab-a的矩形面积的矩形面积)2012axdxa 222014RRx dxR 20sin0 xdx (正负面积相消正负面积相消)对定积分的对定积分的补充规定补充规定:（1）当）当ba 时，时，0)(badxxf；（2）当当ba 时时，abbadxxfdxxf)()(.说明说明 在下面的性质中，假定定积分都存在，在下面的性质中，假定定积
7、分都存在，且不考虑积分上下限的大小且不考虑积分上下限的大小三、定积分的性质 badxxgxf)()(badxxf)(badxxg)(.（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质性质5.15.1性质性质5.25.2 badxxf)(bccadxxfdxxf)()(.补充补充：不论：不论 的相对位置如何的相对位置如何,上式总成立上式总成立.cba,假设假设bca 性质性质5.35.3（定积分对于积分区间具有可加性）（定积分对于积分区间具有可加性）dxba 1dxba ab .则则0)(dxxfba.)(ba 性质性质5.45.4性质性质5.55.5如如
8、果果在在区区间间,ba上上0)(xf，性质性质5 5的推论：的推论：则则dxxfba)(dxxgba )(.)(ba 如如果果在在区区间间,ba上上)()(xgxf，设设M及及m分分别别是是函函数数（此性质可用于估计积分值的大致范围）（此性质可用于估计积分值的大致范围）则则 )()()(abMdxxfabmba .)(xf在在区区间间,ba上上的的最最大大值值及及最最小小值值，性质性质5.65.6如如果果函函数数)(xf在在闭闭区区间间,ba上上连连续续，性质性质7 7（定积分中值定理）（定积分中值定理）积分中值公式积分中值公式使使,)(1)(badxxfabfdxxfba)()(abf .)
9、(ba 在区间在区间,ba上至少存在一上至少存在一个点个点，即即积分中值公式的几何解释：积分中值公式的几何解释：xyoab)(f使使得得以以区区间间,ba为为以以曲曲线线)(xfy 底底边边，为曲边的曲边梯形的面积为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为等于同一底边而高为)(f的的一一个个矩矩形形的的面面积积。例5 估计定积分 的值(P119)上的最大值和最小值在闭区间先求-1,12-xe解eefffxxfxexfexfxx1)1()1(-,1)0(00)(,2-)()(1-22，而得到驻点再令求一阶导数，对22,1111-2dxeeemMx则，最小值所以最大值五、小结五、小结定积分的实质：特殊和式的极限定积分的实质：特殊和式的极限定积分的思想和方法：定积分的思想和方法：分割分割化整为零化整为零求和求和积零为整积零为整取极限取极限精确值精确值定积分定积分求近似以直（不变）代曲（变）求近似以直（不变）代曲（变）取极限取极限
